матанализ лекции. Лекция Натуральные числа
 Скачать 352.24 Kb.
|
|
x n < x n+1 , то эту последовательность называют возрастающей. Аналогично, если все элементы невозрастающей последовательности для всех номеров n удовлетворяют строгому неравенству x n > x n+1 , то эту последовательность называют убывающей. Заметим, что всякая монотонная последовательность заведомо ограничена с одной стороны (либо сверху, либо снизу). В самом деле, всякая неубывающая последовательность ограничена снизу (в качестве нижней грани можно взять величину ее первого элемента), а всякая невозрастающая последовательнсоть будет ограничена сверху (в качестве верхней грани также можно взять величину ее первого элемента). Отсюда следует, что неубывающая последовательнсоть будет ограничена с обеих сторон, или просто ограниченной, тогда и только тогда, когда она ограничена сверху, а невозрастающая последовательнсть будет ограниченной тогда и только тогда, когда она ограничена снизу. 10.Предел монотонной последовательности. 25 Теорема 25. Всякая ограниченная сверху (снизу) монотонно возрастающая (монотонно убывающая)последовательность x n имеет предел, причем lim n →∞ x n = sup {x n } (соответственно lim n →∞ x n = inf {x n }) Доказательство. Пусть последовательность {x n } монотонно возрастает и ограничена сверху. В силу последнего условия она имеет конечную верхнюю грань sup {x n } = a. Покажем, что a = lim n →∞ x n Зафиксируем произвольное ϵ > 0. Из того, что a = sup {x n }следует, что для всех номеров n = 1, 2, . . . справедливо неравенство x n 6 a и что существует такой номер N, что x N > a − ϵ. Тогда в силу монотонности заданной последовательности для всех номеров n > N имеем a − ϵ < x N 6 x n 6 a. Поэтому для всех n > N выполняется неравенство |x n − a| < ϵ, что и означает, что lim n →∞ x n = a. Аналогично доказывается существование предела для ограниченной снизу монотонно убывающей последовательности. Теорема доказана. Пусть x n = ( 1 + 1 n ) n , n = 1, 2, . . . . Покажем, что эта последовательность сходится. Применяя формулу бинома Ньютона, получим x n = ( 1 + 1 n ) n = 1 + n · 1 n + n(n − 1) 1 · 2 · 1 n 2 + n(n − 1)(n − 2) 1 · 2 · 3 · 1 n 3 + · · · + n(n − 1) · · · (n − k + 1) 1 · 2 · · · k · 1 n k + · · · + n(n − 1) · · · 1 1 · 2 · · · n · 1 n n = = 1 + 1 + 1 2! ( 1 − 1 n ) + 1 3! ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) + · · · + 1 k! ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) · · · ( 1 − k − 1 n ) + · · · + 1 n! ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) · · · ( 1 − n − 1 n ) . (1) Поскольку при переходе от n к n + 1 число слагаемых, которые все положительны, возрастает и, кроме того, каждое слагаемое увеличивается: 1 − s n < 1 − s n + 1 , s = 1, 2, . . . , n − 1, то x n < x n+1 , n = 1, 2, . . . . Далее, замечая, что в (1) каждая из скобок вида ( 1 − s n ) меньше единицы и 1 n! 6 1 2 n −1 для всех n = 1, 2, 3, . . ., получим x n < 2 + 1 2! + + 1 3! + · · · + + 1 n! 6 2 + 1 2 + 1 4 + · · · + 1 2 n −1 . Сумма 1 2 + 1 2 2 + ·+ 1 2 n −1 при любом n = 1, 2, . . . (которую легко подсчитать как сумму геометрической прогрессии, она равна 1 − 1 2 n ) меньше единицы, поэтому окончательно 2 < x n < 3. (2) Таким образом, последовательность {x n } монотонно возрастает и ограничена сверху, а значит, согласно теореме ???, имеет предел. Этот предел обозначается буквой e. Из (2) следует, что 2 < e < 3. 11.Фундаментальные последовательности. 26 Более точными оценками можно получить, что e ≈ 2, 71828182859045. 10.2. Частичные пределы Рассмотрим некоторую последовательность x 1 , x 2 , . . . , x n , . . . и произвольную возрастающую последовательность натуральных чисел k 1 , k 2 , . . . , k n , . . .. Выберем из последовательности {x n }элементы с номерами k 1 , k 2 , . . . , k n , . . . и расположим их в порядке возрастания указанных номеров. Мы получим при этом новую последовательность x k 1 , x k 2 , . . . , x k n , . . . , которую принято называть подпоследовательностью исходной последовательности {x n }. Так последовательнсоть 1, 3, 5, . . . , 2n + 1, . . . является, а последовательность 2, 1, 3, 4, . . . , n, . . . не является подпоследовательностью натурального ряда чисел. В первом случае члены последовательности расположены в том же порядке, как в натуральном ряде чисел, а во втором случае этот порядок нарушен. Предел любой сходящейся подпоследовательности данной последовательности называется ее частичным пределом. Наибольший частичный предел последовательности {x n } называется ее верхним пределом и обозначается lim n →∞ x n , а наименьший частичный предел называется нижним пределом и обозначается.... Лекция 11. Фундаментальные последовательности. Теорема Больцано–Вейерштрасса. Критерий Коши существования предела последовательности. 11.1. Теорема Больцано–Вейерштрасса. Теорема 26 Болцано–Вейерштрасс. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. (Любая ограниченная подпоследо- вательность имеет конечный частичный предел). Доказательство. Пусть последовательность {x n } ограничена, т.е. существует такой отрезок [a, b], что a 6 x n 6 b для всех n = 1, 2, . . . Разделим отрезок [a, b] на два равных отрезка. По крайней мере один и получившихся отрезков содержит бесконечно много элементов данной последовательности. Обозначим его через [a 1 , b 1 ]. Пусть x n 1 — какой–либо из членов данной последовательности, лежащий на отрезке [a 1 , b 1 ]. Разделим отрезок [a 1 , b 1 ] на два равных отрезка; снова хоть один из получившихся двух отрезков содержит бесконечно много членов исходной последовательности, обозначим его через [a 2 , b 2 ]. В силу того, что на отрезке [a 2 , b 2 ] бесконечно много членов последовательности {x n }, найдется такой член x n 2 , что x n 2 ∈ [a 2 , b 2 ] и n 2 > n 1 . Продолжая этот процесс, получим последовательность отрезков [a k , b k ] и последовательность таких элементов x n k данной последовательности, что x n k ∈ [a k , b k ], k = 1, 2, . . . и n k 1 > n k 2 при k 1 > k 2 Последовательность {x n k } является подпоследовательностью последовательности {x n }. Покажем, что эта подпоследовательность сходится. Последовательность отрезков [a k , b k ], k = 1, 2, . . ., является последовательностью вложенных отрезков с длинами b k − a k = b −a 2 k . Так как последовательность левых концов a k не убывает и ограничена сверху числом b, то существует lim k →∞ a k = a. Аналогично, последовательность правых концов b k не возрастает и ограничена снизу числом a. Поэтому существует lim k →∞ b k = b. Так как последовательность b k −a k — бесконечно малая, то b = a. Тогда по теореме о двух милиционерах из неравенства a k 6 x n k 6 b k будет следовать, что существует lim k →∞ x n k = a = b. 11.Фундаментальные последовательности. 27 11.2. Критерий Коши существования предела последовательности. До сих пор не было дано достаточно общего критерия, с помощью которого можно было бы узнать, сходится ли данная последовательность. Само определение сходящейся последовательности для этого мало удобно, так как в него входит значение предела, которое может быть и неизвестно. Поэтому желательно иметь такой критерий для определения сходимости и расходимости последовательностей, который базировался бы только на свойствах элементов данной последовательности. Будем говорить, что последовательность {x n } удовлетворяет условию Коши, если для любого ϵ > 0 существует такой номер N , что для всех номеров n и m, удовлетворяющих условию n > N, m > N справедливо неравенство |x n − x m | < ϵ. (1) Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, называются также фундамент- альными последовательностями. Условие (1) можно сформулировать и таким образом. Для любого ϵ > 0 существует такой номер N , что для всех номеров n > N и для любого натурального p |x n+p − x n | < ϵ. (2) Для того чтобы убедиться в равносильности условий (1) и (2), достаточно положить p = n − m, если n > m, и p = m − n, если m > n. Теорема 27 Критерий Коши. Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальная. Доказательство необходимости. Пусть последовательность {x n } сходится и lim n →∞ x n = l. Зададим ϵ > 0; тогда, согласно определению предела последовательности, существует такое N , что для всех номеров n > N выполняется неравенство |x n − l| < ϵ 2 Пусть теперь n > N и m > N, тогда |x n − x m | = |(x n − l) + (l − x m ) | 6 |x n − l| + |x m − l| < ϵ 2 + ϵ 2 , т.е. выполняется условие Коши. Доказательство достаточности. Пусть последовательность {x n } удовлетворяет условию Коши, т.е. для всякого ϵ > 0 существует такое N , что если n > N и m > N, то |x n − m m | < ϵ. Возьмем, например ϵ = 1, тогда существует такое N 1 , что при n > N 1 и m > N 1 выполняется неравенство |x n − x m | < 1. В частности, если n > N 1 и m = N 1 , то |x n −x n 1 | < 1, т.е. x n 1 −1 < x n < x n 1 +1 при n > N 1 . Это значит, что последовательность x n , n = n 1 , n 1 + 1, . . . ограничена. Поэтому существует ее сходящаяся подпоследовательность {x n k }. Пусть lim k →∞ x n k = a. Покажем, что вся данная последовательность {x n } также сходится и имеет своим пределом число a. Зададим некоторое ϵ > 0. Тогда, во–первых, по определению предела последовательности существует такое k 1 , что для всех номеров k > k 1 , или, что тоже самое согласно определению подпоследовательности, для всех n k > n k 1 выполняется неравенство |x n k − a| < ϵ 2 . (3) Во-вторых, так как последовательность {x n } удовлетворяет условию Коши, то существует такое N , что для всех n > N и всех m > N выполняется неравенство |x n − x m | < ϵ 2 . 12. Действительные функции. 28 Положим N ∗ = max {N, n k 1 } и зафиксируем некоторое n k > N ∗ . Тогда для всех n > N ∗ получим |x n − a| = |(x n − x n k ) + (x n k − a)| > |x n − x n k | + |x n k − a| < ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ, а это и доказывает, что lim n →∞ x n = a. Лекция 12. Действительные функции. Основные понятия. Элементарные функции. Два определения предела функции по Коши и по Гейне. Их эквивалентность. Критерий Коши. Верхний и нижний пределы функции. Свойства предела функции. Предел сложной функции 12.1. Два определения предела функции по Коши и по Гейне. До сих пор не было дано достаточно общего критерия, с помощью которого можно было бы узнать, сходится ли данная последовательность. Само определение сходящейся последовательности для этого мало удобно, так как в него входит значение предела, которое может быть и неизвестно. Поэтому желательно иметь такой критерий для определения сходимости и расходимости последовательностей, который базировался бы только на свойствах элементов данной последовательности. Будем говорить, что последовательность {x n } удовлетворяет условию Коши, если для любого ϵ > 0 существует такой номер N , что для всех номеров n и m, удовлетворяющих условию n > N, m > N справедливо неравенство |x n − x m | < ϵ. (1) Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, называются также фундамент- альными последовательностями. Условие (1) можно сформулировать и таким образом. Для любого ϵ > 0 существует такой номер N , что для всех номеров n > N и для любого натурального p |x n+p − x n | < ϵ. (2) Для того чтобы убедиться в равносильности условий (1) и (2), достаточно положить p = n − m, если n > m, и p = m − n, если m > n. Теорема 28 Критерий Коши. Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальная. Доказательство необходимости. Пусть последовательность {x n } сходится и lim n →∞ x n = l. Зададим ϵ > 0; тогда, согласно определению предела последовательности, существует такое N , что для всех номеров n > N выполняется неравенство |x n − l| < ϵ 2 Пусть теперь n > N и m > N, тогда |x n − x m | = |(x n − l) + (l − x m ) |