матанализ лекции. Лекция Натуральные числа
 Скачать 352.24 Kb.
|
|
имеющая предел, ограничена (см. теорему 16) Что насчет бесконечного произведения???????????? 9.1. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями Лемма 5. Для того чтобы число l являлось пределом последовательности {x n }, необходимо и достаточно, чтобы ее член x n имел вид x n = l + α n , n = 1, 2, . . ., где {α n } есть бесконечно малая последовательность. Доказательство необходимости. Пусть {x n } — сходящаяся последовательность и lim n →∞ x n = l. Положим α n = x n − l, n = 1, 2, . . .; согласно определению предела, для любого ϵ > 0 существует такой номер N , что |x n − l| < ϵ для всех n > N, т.е. |α n | < ϵ при n > N, а это и означает, что lim n →∞ α n = 0. Доказательство достаточности. Пусть x n = l+α n , n = 1, 2, . . ., и lim n →∞ α n = 0. Согласно определению предела, для любого ϵ > 0 существует такой номер N , что |α n | < ϵдля всех n > N. Замечая, что α n = x n − l, имеем, что |x n − l| < ϵ для всех n > N , а это и означает, что lim n →∞ x n = l. Лемма доказана. Эта лемма показывает особую роль бесконечно малых последовательностей при изучении понятия предела, так как общее понятие предела последовательности с помощью этой леммы сводится к понятию нулевого предела. Это обстоятельство далее широко используется при изучении ряда свойств сходящихся последовательностей. Теорема 20. Если последовательность {x n } и {y n } сходятся, то последовательности {x n ± y n } также сходятся и lim n →∞ x n ± y n = lim n →∞ x n + lim n →∞ y n . Доказательство. Пусть lim n →∞ x n = l 1 , lim n →∞ y n = l 2 . Согласно необходимости условий леммы 5 для существования предела, имеем x n = l 1 + α n , y n = l 2 + β n , n = 1, 2, . . . , где lim n →∞ α n = lim n →∞ β n = 0. Следовательно, x n ±y n = (l 1 ±l 2 )+(α n ±β n ), n = 1, 2, . . ., где в силу теоремы 17 lim n →∞ (α n ±β n ) = 0. Поэтому, согласно достаточности условий леммы 5 для существования предела, имеем lim n →∞ (x n ± y n ) = l 1 ± l 2 = lim n →∞ x n ± lim n →∞ y n Теорема доказана. Теорема 21. Если последовательность {x n } и {y n } сходятся, то последовательности {x n y n } также сходится и lim n →∞ x n y n = lim n →∞ x n lim n →∞ y n . Доказательство. Пусть lim n →∞ x n = l 1 , lim n →∞ y n = l 2 , тогда x n = l 1 + α n , y n = l 2 + β n , n = 1, 2, . . . , где lim n →∞ α n = lim n →∞ β n = 0; поэтому x n y n = (l 1 +α n )(l 2 +β n ) = l 1 l 2 +(α n l 2 +β n l 1 +α n β n ). В силу свойств бесконечно малых последовательностей (см. ) lim n →∞ (α n l 2 + β n l 1 + α n β n ) = 0; поэтому lim n →∞ x n y n = l 1 l 2 = lim n →∞ x n lim n →∞ y n . 9.Определение предела последовательности. 22 Следствие 3. Если последовательность {x n } сходится, то для любого числа c последовательность {cx n } также сходится и lim n →∞ cx n = c lim n →∞ x n . Следствие 4. Если {x n } — сходящаяся последовательность и k — натуральное число, то lim n →∞ x k n = ( lim n →∞ x n ) k . Теореме о частном двух сходящихся последовательностей предпошлем следующую лемму Лемма 6. Если последовательность {y n } сходится к отличному от нуля пределу l, то, начиная с некоторого номера, определено частное {1/y n }, которое представляет собой ограниченную последовательность. Доказательство. Учитывая, что l ̸= 0, обозначим через ϵ число |l|/2. Для этого ϵ найдется номер N такой, что при n > N справедливо неравенство |y n − l| < ϵ, или, что то же самое, |y n − l| < |l|/2. (13) Итак, для всех номеров n, начиная с номера N , выполняется неравенство 13. Исходя из тождества l = (l − y n ) + y n и используя неравенство 13, мы получим |l| 6 |l − y n | + |y n | < |l| 2 + |y n |. Отсюда вытекает неравенство |y n | > |l|/2, (14) которое тем самым оказывается справедливым также для всех номеров n, начиная с номера N . Неравенство 14 позволяет утверждать, что при n > N элементы y n не обращаются в нуль и, начиная с номера N , можно рассматривать частное {1/y n }. Из 14, в свою очередь, вытекает, что для всех n > N справедливо неравенство 1 y n < 2 |l| . Это последнее неравенство и доказывает, что последовательность {1/y n }, если ее рассматривать, начиная с номера N , является ограниченной. Лемма доказана. Теорема 22. Если последовательности {x n } и {y n } сходятся, y n ̸= 0, n = 1, 2, . . ., и lim n →∞ y n ̸= 0, то последовательность {x n /y n } сходится и lim n →∞ x n y n = lim n →∞ x n lim n →∞ y n . Доказательство. Предположим, что последовательности {x n } и {y n } сходятся к пределам l 1 и l 2 ̸= 0 соответственно. В силу леммы 6 найдется номер N такой, что при n > N элементы y n не обращаются в нуль, определена последовательность {1/y n } и эта последовательность является ограниченной. Начиная с указанного номера N , мы и будем рассматривать частное {x n /y n }. В силу леммы 5 достаточно доказать, что последовательность { x n y n − l 1 l 2 } является бесконечно малой. Будем исходить из тождества x n y n − l 1 l 2 = x n · l 2 − y n · l 1 y n · l 2 . (15) Так как x n = l 1 + α n , y n = l 2 + β n , то x n y n − l 1 l 2 = 1 y n ( α n − l 1 l 2 β n ) . (16) 9.Определение предела последовательности. 23 Остается доказать, что в правой части (16) стоит элемент бесконечно малой последовательности. Но это сразу вытекает из того, что последовательность {1/y n } (в силу леммы 6)является ограниченной, а последовательность { α n − l 1 l 2 β n } (как разность двух бесконечно малых)является бесконечно малой последовательностью. Замечание 3. В случае последовательностей, имеющих бесконечные пределы, утверждения, аналогичные сформулированным в теоремах 20–22, вообще говоря, не имеют места. Например, пусть x n = n + 1, y n = n, тогда lim n →∞ x n = lim n →∞ y n = + ∞ и lim n →∞ (x n − y n ) = 1. Если x n = 2n, y n = n, то lim n →∞ x n = lim n →∞ y n = + ∞ и lim n →∞ (x n − y n ) = + ∞. Если же x n = n + cos πn, y n = n, то lim n →∞ x n = lim n →∞ y n = + ∞, а последовательность {x n −y n } = {cos πn} не имеет ни конечного, ни бесконечного предела. Однако отдельные обобщения теорем 20–22 на случай последовательностей с бесконечными пределами всетаки имеют место. Например, если lim n →∞ x n = + ∞ и lim n →∞ y n = + ∞ (или lim n →∞ y n конечен), то lim n →∞ (x n + y n ) = + ∞ (рекомендуется доказать самостоятельно). Теорема 23. Если все элементы сходящейся последовательности {x n }, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x n > b [x n 6 b], то и предел l этой последовательности удовлетворяет неравенству l > b [l 6 b]. Доказательство. Предположим, что все элементы x n , по крайней мере начиная с некоторого номера N ∗ , удовлетворяют неравенству x n > b. Докажем, что и предел этой последовательности удовлетворяет неравенству l > b. Допустим, что это не так, т.е. справедливо неравенство l < b. Тогда по определению сходящейся последовательности для положительного числа ϵ = b − l найдется такой номер N (этот номер мы возьмем еще и таким, чтобы он превосходил N ∗ ), что при n > N будет справедливо неравенство |x n − l| < ϵ или |x n − l| < b − l. Последнее неравенство эквивалентно неравенствам −(b − l) < x n − l < b − l, правое из которых означает, что x n < b при всех n > N, а это противоречит условию теоремы. Полученное противоречие означает, что наше предположение о том, что l < b, неверно, т.е. x > b. Случай x n 6 b рассматривается аналогично. Теорема доказана. Замечание 4. Если все элементы сходящейся последовательности {x n } удовлетворяют строгому неравенству x n > b, то отсюда, вообще говоря, не вытекает, что и предел l этой последовательности удовлетворяет строгому неравенству l > b. (Можно лишь утверждать, что l > b). Например, если x n = 1/n, то для всех номеров x n > 0, однако предел lim n →∞ 1 n = 0 не удовлетворяет неравенству l > 0 Следствие 5. Если все элементы двух сходящихся последовательностей {x n } и {y n }, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенствам x n 6 y n , то и пределы этих последовательностей удовлетворяют такому же неравенству lim n →∞ x n 6 lim n →∞ y n . 10.Предел монотонной последовательности. 24 В самом деле, начиная с указанного номера, все элементы последовательности {y n − x n } неотрицательны. В силу теоремы 23 и предел указанной последовательности не отрицателен. В силу теоремы 18 lim n →∞ (y n − x n ) = lim n →∞ y n − lim n →∞ x n и мы получим, что lim n →∞ y n − lim n →∞ x n > 0, т.е. lim n →∞ y n > lim n →∞ x n Теорема 24. Пусть {x n } и {y n } — две сходящиеся последовательности, имеющие общий предел l. Пусть, кроме того, все элементы третьей последовательности, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенствам x n 6 z n 6 y n . (17) Тогда последовательность {z n } сходится к тому же самому пределу l. Доказательство. Предположим, что неравенства (18) справедливы, начиная с некоторого номера N ∗ . Тогда, начиная с того же самого номера N ∗ , справедливы и неравенства x n − l 6 z n − l 6 y n − l. (18) Из неравенства (18) вытекает, что для каждого номера n, превосходящего N ∗ , |z n − l| 6 max{|x n − l|, |y n − l|}. (19) Фиксируем произвольное положительное число ϵ. Тогда в силу сходимости последовательностей {x n } и {y n } к пределу l найдутся такие номера N 1 и N 2 такие, что { |x n − l| < ϵ при n > N 1 , |y n − l| < ϵ при n > N 2 . (20) Если мы теперь обозначим через N наибольший из трех номеров N ∗ , N 1 и N 2 , то при n > N будут справедливы оба неравенства в (20) и мы получим в силу (19), что при n > N справедливо неравенство |z n − l| < ϵ. Это и доказывает сходимость последовательности {z n } к пределу l. Теорема доказана. Лекция 10. Предел монотонной последовательности. Число e. Частичные пределы, верхний и нижний пределы последовательности. Неравенства для верхнего и нижнего пределов. Критерий предельной точки. 10.1. Предел монотонной последовательности. Последовательность {x n } называется монотонной, если она является либо неубывающей, либо невозрастающей. Если элементы неубывающей последовательности для всех номеров n удовлетворяют строгому неравенству |