матанализ лекции. Лекция Натуральные числа
 Скачать 352.24 Kb.
|
|
a, b], то производные в точках a и b не определены, так как можно вычислить только пределы lim ∆x →0−0 f (b + ∆x) − f(b) ∆x и lim ∆x →0+0 f (a + ∆x) − f(a) ∆x . В этих случаях говорят об односторонней производной в точке b слева (f ′ − (b)) и односторонней производной в точке a справа (f ′ + (a)). Прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку M 0 (x 0 , f (x 0 )), называется нормалью к графику функции в этой точке. Уравнение нормали y = f (x 0 ) − 1 f ′ (x 0 ) (x − x 0 ). Теорема 49. Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке. Доказательство. Пусть существует f ′ (x 0 ). Из определения производной как предела ∆y ∆x = f ′ (x 0 ) + α(∆x), где α(∆x) — бесконечно малая при ∆x → 0. Отсюда ∆y = f ′ (x 0 )∆x + α(∆x)∆x. Следовательно, ∆y → 0 при ∆x → 0, что и означает непрерывность f(x) в точке x 0 17. Производная суммы, произведения и частного. 42 Обратное утверждение не верно: из непрерывности не следует существование производной. Например, для непрерывной функции y = |x| производная в точке x 0 = 0 не существует. Действительно, по определению производной y ′ (0) = lim ∆x →0 f (0 + ∆x) − f(0) ∆x = lim ∆x →0 |∆x| ∆x . Последний предел не существует, так как y ′ − (0) = lim ∆x →0−0 |∆x| ∆x = −1, y ′ + (0) = lim ∆x →0+0 |∆x| ∆x = 1. Вспоминая график функции |x|, имеющий в точке x = 0 угол, убеждаемся, что и касательная к графику функции в этой точке не существует. Лекция 17. Производная суммы, произведения и частного. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производная функции, заданных параметрически и неявно. Производные элементарных функций Теорема 50 1. Производная постоянной. Пусть функция f (x) ≡ C ∈ R. Тогда f ′ (x) ≡ 0. Доказательство. Для f (x) ≡ const касательная к графику функции в любой точке x 0 совпадает с самой функцией, то есть параллельна оси OX и, следовательно, f ′ (x 0 ) = 0. Теорема 51 2. Производная суммы (разности). Пусть функции f (x) и g(x) в точке x 0 имеют производные f ′ (x 0 ) и g ′ (x 0 ). Тогда функция y(x) = f (x) ± g(x) имеет производную y ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 ) ± g ′ (x 0 ). Доказательство. Следует из правила вычисления предела суммы (разности). Теорема 52 3. Производная произведения. Пусть функции f (x) и g(x) в точке x 0 имеют производные f ′ (x 0 ) и g ′ (x 0 ). Тогда функция y(x) = f (x)g(x) имеет производную y ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 )g(x 0 ) + g ′ (x 0 )f (x 0 ). Доказательство. Пусть x = x 0 + ∆x. Приращению аргумента ∆x будет соответствовать приращение функций ∆f = f (x 0 + ∆x) − f(x 0 ) и ∆g = g(x 0 + ∆x) − g(x 0 ). Тогда ∆y = y(x 0 + ∆x) − y(x 0 ) = = f (x 0 + ∆x)g(x 0 + ∆x) − f(x 0 )g(x 0 ) = (∆f + f (x 0 ))(∆g + g(x 0 )) − f(x 0 )g(x 0 ) = = ∆f ∆g + ∆f ·g(x 0 ) + f (x 0 ) ·∆g+f(x 0 )g(x 0 ) −f(x 0 )g(x 0 ) = ∆f ∆g + ∆f ·g(x 0 ) + ∆g ·f(x 0 ). Отсюда ∆y ∆x = ∆f ∆x ∆g + ∆f ∆x g(x 0 ) + f (x 0 ) ∆g ∆x , ∆x ̸= 0. Учитывая, что в точке x 0 lim ∆x →0 ∆f ∆x = f ′ (x 0 ), lim ∆x →0 ∆g ∆x = g ′ (x 0 ), и в силу непрерывности функции g(x) в x 0 lim ∆x →0 ∆g = 0, 17. Производная суммы, произведения и частного. 43 то существует lim ∆x →0 ∆y ∆x и y ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 )g(x 0 ) + f (x 0 )g ′ (x 0 ). Теорема 53 4. Производная дроби. Пусть функции f (x) и g(x) в точке x 0 имеют производные f ′ (x 0 ) и g ′ (x 0 ) ̸= 0. Тогда функция y(x) = f (x) g(x) имеет производную y ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 )g(x 0 ) − g ′ (x 0 )f (x 0 ) g 2 (x 0 ) . Доказательство. Пусть x = x 0 + ∆x. Приращению аргумента ∆x будет соответствовать приращение функций ∆f = f (x 0 + ∆x) − f(x 0 ) и ∆g = g(x 0 + ∆x) − g(x 0 ). Тогда при ∆x ̸= 0 ∆y ∆x = f (x 0 + ∆x) g(x 0 + ∆x) − f (x 0 ) g(x 0 ) ∆x = f (x 0 + ∆x)g(x 0 ) − g(x 0 + ∆x)f (x 0 ) ∆x · g(x 0 )g(x 0 + ∆x) = = (f (x 0 + ∆x) − f(x 0 ))g(x 0 ) ∆x − (g(x 0 + ∆x) − g(x 0 ))f (x 0 ) ∆x g(x 0 )g(x 0 + ∆x) = ∆f ∆x g(x 0 ) − f(x 0 ) ∆g ∆x g 2 (x 0 ) + g(x 0 )∆g . Учитывая существование производных f ′ (x 0 ) и g ′ (x 0 ) и непрерывность функции g(x) в x 0 , при ∆x → 0 получим y ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 )g(x 0 ) − g ′ (x 0 )f (x 0 ) g 2 (x 0 ) . Теорема 54 5. Производная сложной функции. Пусть функция f (x) в точке x 0 имеет производную f ′ (x 0 ), а функция g(y) в точке y 0 = f (x 0 ) имеет производную g ′ (y 0 ). Тогда сложная функция z(x) = g(f (x)) имеет производную z ′ (x 0 ) = g ′ (y 0 )f ′ (x 0 ). Доказательство. Пусть x = x 0 + ∆x. Тогда ∆z ∆x = g(f (x 0 + ∆x)) − g(f(x 0 )) ∆x = g(f (x 0 + ∆x)) − g(f(x 0 )) f (x 0 + ∆x) − f(x 0 ) · f (x 0 + ∆x) − f(x 0 ) ∆x . Из существования производных f ′ (x 0 ) и g ′ (y 0 ) и непрерывности f (x) в точке x 0 получим z ′ (x 0 ) = g ′ (y 0 )f ′ (x 0 ). Теорема 55 6. Производная обратной функции. Пусть функция f (x) в точке x 0 имеет производную f ′ (x 0 ) и в окрестности точки y 0 = f (x 0 ) существует обратная функция f −1 (y). Тогда эта обратная функция имеет производную в точке y 0 равную (f −1 (y 0 )) ′ = 1 f ′ (x 0 ) . Доказательство. Пусть x = x 0 + ∆x и y = y 0 + ∆y. Тогда ∆(f −1 ) ∆y = f −1 (y) − f −1 (y 0 ) y − y 0 = x = f −1 (y) x 0 = f −1 (y 0 ) y = f (x) y 0 = f (x 0 ) = x − x 0 f (x) − f(x 0 ) = 1 f (x) − f(x 0 ) x − x 0 = 1 ∆f ∆x . Учитывая существование производной f ′ (x 0 ) и непрерывность обратной функции f −1 (y) в точке y 0 , получим ( −1 (y 0 )) ′ = 1 f ′ (x 0 ) . 17. Производная суммы, произведения и частного. 44 Теорема 56 7. Производная параметрически заданной функции. Пусть x = x(t), y = y(t) : [α, β] → [a, b] и существует t = t(x) : [a, b] → [α, β]. Тогда y = y(t(x)) : [a, b] → R. Отсюда функция y ′ x (тоже параметрически заданная), такова y ′ x : x = x(t), y ′ x = y(t(x)) ′ x = y ′ t · t ′ x = y ′ t · 1 x ′ t . Таким образом x = x(t), y ′ x = y ′ t (t) x ′ t (t) , t ∈ [α, β]. Теорема 57 8. Производная неявно заданной функции. Производная неявно заданной функции F (x, y) = 0 вычисляется по обычным правилам. При этом надо учитывать, что в выражении F есть как независимая переменная x, так и функция y = f (x). Теорема 58. (x n ) ′ = nx n −1 , n ∈ R. При n = 0 равенство очевидно. При n = 1: (x) ′ = lim ∆x →0 ∆x ∆x = 1. При n = 2: (x 2 ) ′ = (x · x) ′ = x + x = 2x, и так далее. Это равенство выполняется не только для n ∈ Z, но и для n ∈ θ а, делая предельный переход, и для любого действительного числа n ∈ R. Доказательство общего случая рассмотрим позже. Теорема 59. (a x ) ′ = a x · ln a, (e x ) ′ = e x , (log a x) ′ = 1 x ln a , (ln a x) ′ = 1 x . Вычислим предел lim ∆x →0 a x+∆x − a x ∆x = a x lim ∆x →0 a ∆x − 1 ∆x = a x lim ∆x →0 e ∆x ln a − 1 ∆x = a x lim ∆x →0 ∆x ln a ∆x = a x ln a. Теперь вычислим производную обратной к a x функции (log a x) ′ = ( y = log a x x = a y ) = 1 (a y ) ′ = 1 a y ln a = 1 x ln a . Теорема 60. (sin x) ′ = cos x, (cos x) ′ = − sin x, (tg x) ′ = 1 cos 2 x , (ctg x) ′ = − 1 sin 2 x , (arcsin x) ′ = 1 √ 1 − x 2 , (arccos x) ′ = − 1 √ 1 − x 2 , (arctg x) ′ = 1 1 + x 2 , (arccos x) ′ = − 1 1 + x 2 . Имеем (sin x) ′ = lim ∆x →0 sin(x + ∆x) − sin x ∆x = lim ∆x →0 2 sin ∆x 2 cos ( x + ∆x 2 ) ∆x = cos x lim ∆x →0 sin ∆x 2 ∆x 2 = cos x. Далее Из обратных тригонометрических функций вычислим (arcsin x) ′ . Остальные производные будут вычисляться аналогично. Имеем В заключение укажем метод логарифмического дифференцирования на примере вычисления производной функции y = x n , n ∈ R, x > 0. 18. Дифференцируемость и дифференциал функции. 45 Так как в этом случае x n > 0, то ln y = ln x n = n ln x. Производную левой части равенства вычисляем как производную сложной функции (ln y) ′ = (n ln x) ′ = ⇒ 1 y · y ′ = n x = ⇒ y ′ = n x · y = n x · x n = nx n −1 . Найти производную параметрически заданной функции { x = cos t, y = sin t, t ∈ [0, 2π]. y ′ x : x = cos t, y ′ x = (sin t) ′ (cos t) ′ = − ctg t, t ∈ [0, 2π]. Найти производную неявно заданной функции sin x + sin y = 2x. Вычислим производные от левой и правой части (sin x) ′ + (sin y) ′ = (2x) ′ = ⇒ cos x + cos y · y ′ = 2 = ⇒ y ′ = − 2 − cos x cos y . Лекция 18. Дифференцируемость и дифференциал функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости Функция f (x) называется дифференцируемой в точке x 0 , если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде f (x 0 + ∆x) − f(x 0 ) = A · ∆x + r(∆x), где линейная часть A · ∆x (a ∈ R, A = const) называется главной частью или дифференциалом (первым дифференциалом) функции, а |