матанализ лекции. Лекция Натуральные числа
 Скачать 352.24 Kb.
|
|
| 6 |x n − l| + |x m − l| < ϵ 2 + ϵ 2 , т.е. выполняется условие Коши. Доказательство достаточности. Пусть последовательность {x n } удовлетворяет условию Коши, т.е. для всякого ϵ > 0 существует такое N , что если n > N и m > N, то |x n − m m | < ϵ. Возьмем, например ϵ = 1, тогда существует такое N 1 , что при n > N 1 и m > N 1 выполняется неравенство |x n − x m | < 1. В частности, если n > N 1 и m = N 1 , то |x n −x n 1 | < 1, т.е. x n 1 −1 < x n < x n 1 +1 при n > N 1 . Это значит, что последовательность x n , n = n 1 , n 1 + 1, . . . ограничена. Поэтому существует ее сходящаяся подпоследовательность {x n k }. Пусть lim k →∞ x n k = a. Покажем, что вся данная последовательность {x n } также сходится и имеет своим пределом число a. 12. Действительные функции. 29 Зададим некоторое ϵ > 0. Тогда, во–первых, по определению предела последовательности существует такое k 1 , что для всех номеров k > k 1 , или, что тоже самое согласно определению подпоследовательности, для всех n k > n k 1 выполняется неравенство |x n k − a| < ϵ 2 . (3) Во-вторых, так как последовательность {x n } удовлетворяет условию Коши, то существует такое N , что для всех n > N и всех m > N выполняется неравенство |x n − x m | < ϵ 2 . Положим N ∗ = max {N, n k 1 } и зафиксируем некоторое n k > N ∗ . Тогда для всех n > N ∗ получим |x n − a| = |(x n − x n k ) + (x n k − a)| > |x n − x n k | + |x n k − a| < ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ, а это и доказывает, что lim n →∞ x n = a. 12.2. Критерий Коши Критерий Коши существования предела функции Будем говорить, что функция y = f (x) удовлетворяет в точке a условию Коши, если для любого положительного числа ϵнайдется отвечающее ему положительное число δтакое, что для любых двух значений x ′ и x ′′ , удвлестворяющих условиям 0 < |x ′ − a| < δ, 0 < |x ′′ − a| < δ, (4) справедливо неравенство |f(x ′ ) − f(x ′′ ) | < ϵ. (5) Теорема 29. Для того чтобы функция y = f (x) имела в точке a конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы функция y = f (x) удовлетворяла в точке a условию Коши. Доказательство. 1) Необходимость. Пусть существует конечный предел lim x →a f (x) = b. Фиксируем произвольное положительное число ϵ. В силу определения предела функции по Коши для положительного ϵ/2 найдется положительное число δтакое, что, каковы бы ни были два значения x ′ и x ′′ , удовлетворяющие условиям 0 < |x ′ − a| < δ, 0 < |x ′′ − a| < δ, для соответствующих значений функции справедливы неравенства |f(x ′ ) − b| < ϵ 2 , |f(x ′′ ) − b| < ϵ 2 . (6) В силу данных неравенств мы получаем, что |f(x ′ ) − f(x ′′ ) | = |(f(x ′ ) − b) + (b − f(x ′′ )) | 6 |f(x ′ ) − b| + |f(x ′′ ) − b| < ϵ, а это и означает, что функция y = f (x) удовлетворяет в точке a условию Коши. 2) Достаточность. Пусть функция f (x) удовлетворяет в точке a условию Коши. Требуется доказать, что функция f (x) имеет предел в точке a. Пусть {x n } — произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к a и состоящая из чисел, отличных от a. В силу определения предела по Гейне достаточно доказать, что соответствующая последовательность значений функции {f(x n ) } сходится к некоторому числу b и что это число b одно и то же для всех сходящихся к a последовательностей {x n }, состоящих из чисел, отличных от a. Докажем сначала, что для каждой сходящейся к a последовательности {x n } значений аргумента, отличных от a, соответствующая последовательность значений функции {f(x n ) } сходится к некоторому пределу. Фиксируем произвольное положительное число ϵ и по нему отвечаеющее ему, согласно условию Коши, положительное число δ. В силу сходимости последовательности {x n } к aи в силу условия x n ̸= a для этого δ > 0 12. Действительные функции. 30 найдется номер N такой, что 0 < |x n − a| < δ при n > N. Если теперь p — любое натуральное число, то тем более 0 < |x n+p − a| < δ при n > N. Таким образом, при n > N и для любого натурального p справедливо два неравенства: 0 < |x n+p − a| < δ, 0 < |x n − a| < δ. Из этих двух неравенств и из условия Коши вытекает, что при n > N и для любого натурального p |f(x n+p ) − f(x n ) | < ϵ, а это и означает фундаментальность последовательности {f(x n ) }. В силу критерия Коши сходимости числовой последовательности последовательность {f(x n ) } сходится к некоторому числу b. Остается доказать, что для любых двух сходящихся к a пследовательностей значений аргумента {x n } и {x ′ n }, все элементы которых отличны от a, соответствующие последовательности значений функции {f(x n ) } и f(x ′ n ) сходятся к одному и тому же пределу. Предположим, что последовательности {f(x n ) } и f(x ′ n ) сходятся к пределам b и b ′ соответственно.Рассмотрим новую последовательность x 1 , x ′ x , x 2 , x ′ 2 , x 3 , x ′ 3 , . . . , x n , x ′ n , . . . , также сходящуюся к a и состоящую из чисел, отличных от a. В силу доказанного выше соответствующая последовательность значений функции f (x 1 ), f (x ′ 1 ), f (x 2 ), f (x ′ 2 ), . . . , f (x n ), f (x ′ n ), . . . обязана сходится к некоторому пределу b ′′ . Но тогда в силу утверждения, доказанного ??????, и любая подпоследовательность этой последовательности обязана сходится к тому же самому пределу b ′′ . Значит, как подпоследовательность нечетных элементов f (x 1 ), f (x 2 ), . . . , f (x n ), . . . ,так и подпоследовательность четных элементов f (x ′ 1 ), f (x ′ 2 ), . . . , f (x ′ n ), . . . обе сходятся к b ′′ . Отсюда вытекает, что b = b ′ = b ′′ . Теорема полностью доказана. Теорема 30. Пусть существуют пределы lim x →x o f (x) = y 0 и lim y →y 0 F (y), пусть, кроме того, f (x) ̸= y 0 при x ̸= x 0 , тогда при x → x 0 существует предел сложной функции F [f (x)] и lim x →x 0 F [f (x)] = lim y →y 0 F (y). (7) Из определения предела функции следует, что при сделанных предположениях функции f и F определены в некоторых окрестностях соответственно точек x 0 и y 0 , кроме, быть может самих этих точек. Пусть функция F (y) определена в ϵ–окрестности точки y 0 , кроме, быть может, самой точки y 0 , тогда из существования lim x →x o f (x) = y 0 следует существование такого δ = δ(ϵ) > 0, что при 0 < |x − x 0 | < δфункция f(x) определена и |f(x) − y 0 | < ϵ. Поскольку, кроме того, по предположению, f (x) ̸= y 0 при x ̸= x 0 , то для x ∈ U(x 0 , δ), x ̸= x 0 имеет смысл суперпозиция F [f (x)]. Пусть теперь {x n } — какая–либо последовательность такая, что lim n →∞ x n = x 0 , x n ̸= x 0 , x n ∈ U(x 0 , δ), n = 1, 2, . . . , и пусть y n = f (x n ), n = 1, 2, . . .. По условию теоремы, y n ̸= y 0 , n = 1, 2, . . . и lim n →∞ y n = y 0 . В силу существования предела lim y →y 0 F (y), который обозначим через b, имеем lim n →∞ F [f (x n )] = lim n →∞ F [y n ] = b. Поскольку это верно для любой указанной последовательности {x n }, то это и означает, что lim x →x 0 F [f (x)] = b. Теорема доказана. 13. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. 31 Лекция 13. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Их свойства. Арифметические операции над пределами функций. Два замечательных предела. Сравнение функций: эквивалентность, O–большое, o–малое, одинаковый порядок. Таблица эквивалентных функций. Функция f (x) называется бесконечно малой при x → a, если lim x →a f (x) = 0. Понятие предела можно расширить и для l = ±∞, ∞. В этом случае функцию f (x) называется бесконечно большой при x → a. Например, высказывание lim x →+∞ f (x) = ∞ означает, что ∀ M > 0 ∃ N > 0 ∀ x, x > N : |f(x)| > M. Дать определение lim x →a = l для всех возможных случаев a, l ∈ R. Одна и та же функция может быть и бесконечно малой, и бесконечно большой. Всё зависит от того, в окрестности какой точки берется предел. Функция y = 1 x является бесконечно малой при x → ∞ и бесконечно большой при x → 0. Из определения предела по Гейне и свойств бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей вытекают соответствующие свойства функций. Все они носят локальный характер, то есть справедливы в окрестности какой-либо точки. Теорема 31. Сумма конечного числа бесконечно малых функций при x → a является бесконечно малой функцией при x → a. Теорема 32. Произведение бесконечно малой функции при x → a на ограниченную функцию при x → a является бесконечно малой функцией при x → a. Теорема 33. Функция α(x) — бесконечно малая при x → a тогда и только тогда, когда 1 α(x) — бесконечно большая функция при x → a. Показать, что lim x →0 x sin 1 x = 0. Так как sin 1 x — ограниченная, а x — бесконечно малая при x → 0, то x sin 1 x — бесконечно малая при x → 0. Теорема 34. Существует lim x →a f (x) = l ∈ R тогда и только тогда, когда f(x) = l + α(x), где α(x) — бесконечно малая функция при x → a. 13.1. Арифметические операции над пределами функций Опять же, опираясь на определение предела по Гейне и используя операции над пределами последовательностей, выводим следующие свойства предела функций. 1) lim x →a (α 1 f 1 (x) + α 2 f 2 (x)) = α 1 lim x →a f 1 (x) + α 2 lim x →a f 2 (x), α 1 , α 2 ∈ R (линейность), 2) lim x →a f 1 (x)f 2 (x) = lim x →a f 1 (x) · lim x →a f 2 (x), 3) lim x →a f 1 (x) f 2 (x) = lim x →a f 1 (x) lim x →a f 2 (x) . Во всех случаях необходимо предполагать существование соответствующих пределов, а в случае 3, дополнительно, lim x →a f 2 (x) ̸= 0. 13. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. 32 13.2. Два замечательных предела Теорема 35 (1-й замечательный предел). lim x →0 sin x x = 1. следует, что S △OAB 6 S сектор OAB 6 S △OAC . Отсюда, для 0 < x < π 2 1 2 r 2 sin x 6 r 2 x 2 6 r 2 2 tg x или sin x 6 x 6 tg x. Разделив все части неравенств на sin x, получим cos x 6 sin x x 6 1. (1) В силу четности это неравенство верно и при − π 2 < x < 0. При x = 0 доопределим функцию sin x x единицей. Таким образом, при |x| 6 π 2 | sin x| 6 |x|. (2) Для |x| > π 2 (2) очевидно потому, что | sin x| 6 1. Используя это неравенство, раннее показали, что lim x →0 cos x = 1. Поэтому по теореме «о двух милиционерах» из (1) следует, что существует lim x →0 sin x x = 1. Теорема 36 Следствия. lim x →0 tg x x = lim x →0 sin x x · 1 cos x = 1, lim x →0 arcsin x x = 1, lim x →0 arctg x x = 1. Например, для вычисления последнего предела следует сделать замену y = arctg x. Тогда lim x →0 arctg x x = lim y →0 y tg y = 1. Теорема 37 2-й замечательный предел. lim x →∞ (x →±∞) ( 1 + 1 x ) x = lim x →0 (x →0±0) (1 + |