матанализ лекции. Лекция Натуральные числа
 Скачать 352.24 Kb.
|
|
r(∆x) = o(∆x) (∆x → 0). Теорема о связи между дифференцируемостью и существованием производной. Функция f (x) дифференцируема в точке x 0 тогда и только тогда, когда существует ее производная в этой точке и A = f ′ (x 0 ). Доказательство. Необходимость. Пусть функция f (x) дифференцируема в точке x 0 . Следовательно, f (x 0 + ∆x) − f(x 0 ) = A · ∆x + r(∆x), r(∆x) = o(∆x) (∆x → 0). Разделим обе части равенства на ∆x f (x 0 + ∆x) − f(x 0 ) ∆x = ∆f (x 0 ) ∆x = A + r(∆x) ∆x . Устремим теперь ∆x к 0. Получим, что существует lim ∆x →0 ∆f (x 0 ) ∆x = A = f ′ (x 0 ). Достаточность. Пусть существует f ′ (x 0 ). Следовательно, существует lim ∆x →0 ∆f (x 0 ) ∆x = f ′ (x 0 ), или ∆f (x 0 ) ∆x = f ′ (x 0 ) + α(∆x), α(∆x) → 0 (∆x → 0). Домножив обе части равенства на ∆x, получим ∆f (x 0 ) = f (x 0 + ∆x) − f(x 0 ) = f ′ (x 0 ) · ∆x + α(∆x) · ∆x = f ′ (x 0 ) · ∆x + r(∆x), где r(∆x) = o(∆x) (∆x → 0). 19. Производные и дифференциалы высших порядков. 46 Для дифференциала функции f (x) в точке x 0 принято обозначение df (x 0 ) и df (x 0 ) = A · ∆x = f ′ (x 0 ) · ∆x. Если f (x) = x, то ∀ x 0 : df (x 0 ) = dx = 1 · ∆x и df (x) = f ′ (x) · dx =⇒ df (x) dx = f ′ (x). Эта формула позволяет находить дифференциалы функций, если известны их производные. Инвариантность формы первого дифференциала относительно преобразования независимой переменной. Пусть функция y = f (x) в точке x 0 имеет производную f ′ (x 0 ), а функция z = g(y) в точке y 0 = f (x 0 ) имеет производную g ′ (y 0 ). Тогда дифференциал сложной функции z(x) = g(f (x)) в точке x 0 имеет вид: dz = g ′ (y 0 )dy = z ′ (x 0 )dx, где dy = f ′ (x)dx — дифференциал функции, а dx — дифференциал независимой переменной. Таким образом, дифференциал функции имеет один и тот же вид: произведение производной по некоторой переменной на дифференциал этой переменной — независимо от того, является эта переменная, в свою очередь, функцией или независимой переменной. Доказательство. По определению дифференциала функции z(x) в точке x 0 dz = z ′ (x 0 )dx. Отсюда, применив формулу для производной сложной функции, получим dz = g ′ (y 0 ) · f ′ (x 0 )dx. Но f ′ (x 0 )dx = dy. Поэтому dz = g ′ (y 0 )dy. Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Производные второго порядка от сложной функции, обратной функции, функции, заданной параметрически и неявно Пусть функция f (x) определена на интервале (a, b) и имеет в каждой точке этого интервала производную. Если в некоторой x 0 ∈ (a, b) существует производная от функции f ′ (x), то она называется производной второго порядка функции f (x) в этой точке и обозначается По существованию производной f (n −1) аналогично определяется производная f (n) : f (n) = (f (n −1) ) ′ , n ∈ N. При этом подразумевается, что сама функция f = f (0) Теорема 61 Производные высших порядков суммы, разности и произведения. Пусть функции y 1 = f 1 (x), y 2 = f 2 (x) имеют производные n-го порядка в точке x 0 . Тогда функции y 1 ± y 2 и y 1 y 2 также имеют производные n-го порядка в точке x 0 , причем (y 1 ± y 2 ) (n) = y (n) 1 ± y (n) 2 , (y 1 y 2 ) (n) = n ∑ k=0 C k n y (n −k) 1 y (k) 2 (формула Лейбница). Если c — постоянная, а y = f (x) — функция, имеющая производную n-го порядка, то функция cf (x) также имеет производную порядка n, причем (y) (n) = y (n) . 19. Производные и дифференциалы высших порядков. 47 Теорема 62 Производные высших порядков сложной функции. Пусть функция y = y(x) имеет вторую производную в точке x 0 , а z = z(y) — вторую производную в точке y 0 = y(x 0 ). Тогда сложная функция z(y(x)) имеет в точке x 0 вторую производную z ′′ xx = (z ′ x ) ′ x = (z ′ y y ′ x ) ′ x = (z ′ y ) ′ x y ′ x + z ′ y y ′′ xx = z ′′ yy (y ′ x ) 2 + z ′ y y ′′ xx . Аналогично, при соответствующих предположениях, вычисляются производные более высоких порядков сложной функции. Теорема 63 Производные высших порядков обратной функции. Пусть функция y = y(x) строго монотонна в некоторой окрестности точки x 0 и существуют y ′ (x 0 ) ̸= 0 и y ′′ (x 0 ). Тогда обратная функция x = x(y) имеет вторую производную в точке y 0 = y(x 0 ) и она может быть выражена через значения производных y ′ и y ′′ функции f (x) в точке x 0 : x ′′ yy = (x ′ y ) ′ y = ( 1 y ′ x ) ′ x x ′ y = − 1 (y ′ x ) 2 (y ′ x ) ′ x · 1 y ′ x = − y ′′ xx (y ′ x ) 2 · 1 y ′ x = − y ′′ xx (y ′ x ) 3 . Аналогично, при соответствующих предположениях, вычисляются производные более высоких порядков для обратной функции. Теорема 64 Производные высших порядков параметрически заданной функции. Пусть x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β] — параметрически заданная функция и существуют x ′ t (t) ̸= 0, y ′ t (t), x ′′ tt (t), y ′′ tt (t) во внутренних точках интервала (α, β). Тогда существует y ′′ xx (тоже параметрически заданная): y ′′ xx : x = x(t), y ′′ xx = ( y ′ t x ′ t ) ′ x = ( y ′ t x ′ t ) ′ t t ′ x = y ′′ tt x ′ t − y ′ t x ′′ tt (x ′ t ) 3 , t ∈ [α, β]. Аналогично вычисляются производные более высоких порядков параметрически заданной функции. Пусть у функции y = f (x) существует f ′′ (x 0 ). Тогда дифференциал от первого дифференциала (d(dy)) в точке x 0 вычисленный в предположении, что dx постоянен называется вторым дифференциалом функции f в этой точке (обозначение d 2 f (x 0 )) и d 2 f (x 0 ) = d(df (x 0 )) = d(f ′ (x 0 )dx) = (f ′ (x 0 )dx) ′ dx = f ′′ (x 0 )(dx) 2 или d 2 y = y ′′ dx 2 , где через dx 2 обозначается (dx) 2 Заметим, что в силу этого определения d 2 x = 0, так как при вычислении дифференциалов считаем приращение dx постоянным. Аналогичным образом при условии дифференцируемости f (x) в некоторой точке производной (n − 1) порядка, определяется дифференциал n-го порядка d n f (x) = d(d n −1 f (x)). Теорема 65 Второй дифференциал сложной функции. Пусть функция y = y(x) непрерывна и дважды дифференцируема в точке x 0 , а функция z = z(y) непрерывна и дважды дифференцируема в точке y 0 = y(x 0 ). Тогда второй дифференциал сложной функции z(x) = z(y(x)) в точке x 0 имеет вид: d 2 z = d(dz) = d(z ′ y dy) = d(z ′ y )dy + z ′ y d(dy) = z ′′ yy dy 2 + z ′ y d 2 y, где d(z ′ y ) = z ′′ yy dy в силу инвариантности формы первого дифференциала. Нетрудно видеть, что форма второго дифференцила сложной функции отлична от формы второго дифференциала функции y(x), т.к., вообще говоря, d 2 y ̸= 0. 20. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. 48 Лекция 20. Основные теоремы о дифференцируемых функциях: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши Пусть функция f (x) определена в окрестности точки x 0 Точка x 0 называется точкой локального максимума (строгого локального максимума) для функции f (x), если ∃ U(x 0 ) ∀ x ∈ U(x 0 ) : f (x) 6 f(x 0 ) (f (x) < f (x 0 ), x ̸= x 0 ). Локальный максимум есть не что иное, как наибольшее значение функции в окрестности исследуемой точки. Точка x 0 называется точкой локального минимума (строгого локального минимума) для функции f (x), если ∃ U(x 0 ) ∀ x ∈ U(x 0 ) : f (x) > f(x 0 ) (f (x) > f (x 0 ), x ̸= x 0 ). Таким образом, локальный минимум — наименьшее значение функции в окрестности исследуемой точки. Точки (строгого) локального максимума и локального минимума называются точками (строгого) локального экстремума. Теорема 66 Ферма. В точке локального экстремума производная либо не существует, либо равна нулю. Доказательство. 1. Производная не существует. Рассмотрим функцию y = |x|. Точка x = 0 является точкой локального минимума (более того, в этой точке — глобальный минимум), однако производная в ней не существует, как было доказано ранее. 2. Производная равна нулю. Пусть x 0 — точка локального максимума. Для точки локального минимума доказательство аналогично. Так как существует f ′ (x 0 ), то f ′ (x 0 ) = f ′ − (x 0 ) = f ′ + (x 0 ). Далее, так как x 0 — точка локального максимума, то ∃ U(x 0 ) ∀ x ∈ U(x 0 ) : f (x) − f(x 0 ) 6 0. Следовательно, f ′ (x 0 ) = f ′ + (x 0 ) = lim x →x 0 +0 (x →x 0 , x>x 0 ) f (x) − f(x 0 ) x − x 0 6 0, f ′ (x 0 ) = f ′ − (x 0 ) = lim x →x 0 −0 (x →x 0 , x 0 ) f (x) − f(x 0 ) x − x 0 > 0. Значит f ′ (x 0 ) = 0. Теорема 67 Ролля. Непрерывная на отрезке функция, дифференцируемая во всех внутренних точках и принимающая одинаковые значения на концах отрезка, имеет внутри этого открытого интервала хотя бы одну точку, в которой производная равна нулю. (Между двумя нулями дифференцируемой функции всегда лежит хотя бы один нуль ее производной.) Доказательство. Пусть f (x) ∈ C[a, b], ∀ x ∈ (a, b) ∃ f ′ (x) и f (a) = f (b). По теореме Вейерштрасса существуют m = min x ∈[a,b] f (x) и M = max x ∈[a,b] f (x). Далее возможны два случая: 1) m = M . Значит, f (x) = const, и f ′ (x) = 0 ∀ x ∈ (a, b). 20. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. 49 2) m ̸= M. Тогда наибольшее или наименьшее значение достигается внутри [a, b], то есть некоторая точка x 0 ∈ (a, b) является точкой локального экстремума и по теореме Ферма f ′ (x 0 ) = 0. Теорема 68 Геометрический смысл теоремы Ролля. У графика функции, удовлетворяющей трем условиям теоремы Ролля, существует точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс. Привести контрпримеры к теореме Ролля, в которых не выполняется хотя бы одно из условий: непрерывность, дифференцируемость внутри, равенство значений функции на концах. Теорема 69 Лагранжа (теорема о конечных приращениях). 1 Если f (x) ∈ C[a, b] и ∀ x ∈ (a, b) ∃ f ′ (x), то ∃ c ∈ (a, b): f(b) − f(a) = f ′ (c)(b − a). Доказательство. Очевидно, что эта теорема является обобщением теоремы Ролля, которая получается из нее при дополнительном условии f (a) = f (b). Рассмотрим вспомогательную функцию F (x) = f (x) −λx. Определим число λ так, чтобы F (a) = F (b), то есть f (a) − λa = f(b) − λb или λ = f (b) − f(a) b − a . Для функции F (x) выполнены все условия теоремы Ролля. Поэтому существует хотя бы одна точка c ∈ (a, b) такая, что F |