матанализ лекции. Лекция Натуральные числа

• Название: Лекция Натуральные числа
• Анкор: матанализ лекции
• Дата: 27.09.2021
• Размер: 352.24 Kb.
• Имя файла: palych_lections.pdf
• Тип: Лекция; #237963
• страница: 2 из 12

z
1
· z
2
= r
1
· r
2
(cos(ϕ
1
+ ϕ
2
) + i sin(ϕ
1
+ ϕ
2
))
z
1
z
2
=
r
1
r
2
· (cos(ϕ
1
− ϕ
2
) + i sin(ϕ
1
− ϕ
2
))
z
n
= (r(cos ϕ) + i sin ϕ)
n
= r
n
· (cos nϕ + i sin nϕ)
— формула Муавра.
Комплексное число cos ϕ + i sin ϕ обозначается символом e
iϕ
, т.е.
∀ ϕ ∈ R функция
e
iϕ
определяется формулой Эйлера
e
iϕ
= cos ϕ + i sin ϕ.
Последнее равенство находит обоснование в теории функций комплексной переменной.
Отсюда следует, что любое комплексное число можно записать в показательной форме
z = re
iϕ
, r =
|z|, ϕ = argz.
В таком случае
Извлечение корня.
Рассмотрим уравнение
z
n
= a,
(2)
где a
̸= 0 — комплексное число, n ∈ N (n > 1). Пусть z = re
iϕ
, a = ρe
iθ
; тогда
r
n
e
inϕ
= ρe
iθ
,
откуда
r
n
= ρ,
nϕ = θ + 2kπ,
k
∈ Z
r =
n
√
ρ,
ϕ
k
=
1
n
(θ + 2kπ).
Уравнение (2) имеет n различных корней
z
k
=
n
√
|a|e
iϕ
k
=
n
√
r
(
cos
ϕ + 2kπ
n
+ i sin
ϕ + 2kπ
n
)
, k = 0, 1, 2, . . . , n
− 1
На комплексной плоскости точки z
k
(k = 0, 1, . . . , n
−1) располагаются в вершинах правильного n–угольника, вписанного в окружность радиуса
n
√
|a| с центром в точке O.

3. Отображения множеств.
7
Лекция 3. Отображения множеств. Мощность множества. Счетные множества. Их свойства.
3.1. Отображение множеств.
Отображением f множества X в множество Y , или функцией, определенной на множестве X со значениями во множестве Y , называют соответствие, которое каждому элементу x
∈ X соотносит некоторый единственный элемент y ∈ Y . Элемент y ∈ Y
называется образом x при отображении f и это записывается так y = f (x).
Множество
f (X) =
{y ∈ Y : y = f(x) ∀ x ∈ X},
называется образом множества X.
При задонном элементе y
∈ Y совокупность всех таких элементов x ∈ X, что
f (x) = y, называют прообразом элемента y и обозначают
f
−1
(y) =
{x ∈ X : f(x) = y}
Если в множестве Y есть хотя бы один элемент, на который не указывает (рис а)), то это свидетельствует о том, что образ множества X не совпадает со множеством Y
(f (X)
⊂ Y ). Если же образ множества X совпадаетс с Y (f(X) = Y ), то такое отображение называют сюръективным, или сюръекцией или отображением «на».
Итак, отображение f : X
→ Y — сюръекция, если ∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X : f(x) = y.
На рисунке в таком случае к каждому элементу множества Y ведет хотя бы одна стрелка
(рис б). При этом к некоторым элементам из Y могут вести несколько стрелок.
Если к любому элементу y
∈ Y ведет не более одной стрелки, то отображение
f называют инъективным или инъекцией или отображением «в». Это отображение не обязательно сюръективно, т.е. стрелки ведут не ко всем элементам множества Y (рис а).
Итак, отображение f : X
→ Y — инъекция, если ∀ x
1
, x
2
∈ X, x
1
̸= x
2
: f (x
1
)
̸=
f (x
2
).
Отображение f : X
→ Y называется биективным, или биекцией, если каждый элемент y
∈ Y является образом некоторого и притом единственного элемента из X, т.е.
∀ y ∈ Y ∃! x ∈ X : f(x) = y.
Очевидно, что отображение является биекцией тогда и только тогда, когда оно одновременно инъективно и сюръективно. (рис г).
Биективное отображение называется еще взаимно однозначным соответствием.
3.2. Мощность множества. Счетные множества. Их свойства.
Первым вопросом, возникшим в связи с бесконечными множествами, был вопрос о возможности их количественного сравнения между собой.
Множества A и B называются эквивалентными, или равномощными (имеющими одинаковую мощность), если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.
Записывают это так A
∼ B. Нетрудно видеть, что из самого определения эквивалентности вытекают следующие его свойства
1) A
∼ A (рефлексивность);
2) если A
∼ B, то B ∼ A (симметричность);
3) если A
∼ B и B ∼ C, то A ∼ C (транзитивность).
Очевидно, между двумя конечными множествами можно установить биекцию тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же числа элементов.
Мощность множества или кардинальное число будем обозначать card(A). Мощность конечного множества равна количеству его элементов, мощность пустого множества полагают равной нулю.
Бесконечное множество E, эквивалентное множеству
N натуральных чисел,
называют счетным и записывают card(E) = card(
N) = ℵ
0
(произносят «алеф–нуль»).

3. Отображения множеств.
8
Таким образом, чтобы установить счетность некоторого бесконечного множества,
надо установить взаимно однозначное соответствие между рассматриваемым множеством и множеством
N.
Мощность счетных множеств есть наименьшая мощность, которую может иметь бесконечное множество. Такое заключение можно сделать на основании следующей теоремы
Теорема 1.
Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
Доказательство.
Пусть X — бесконечное множество. Следовательно существует
x
1
∈ X. Тогда в силу бесконечности X будет существать и x
2
= X
\ {x
1
}. Аналогично,
существует x
3
= X
\ {x
1
, x
2
} и т.д. В итоге получаем счетное множество {x
1
, x
2
, x
3
, . . .
}.
Например, в бесконечном счетном множестве
N возьмем подмножество четных чисел. Функция f (k) = 2k является биекцией между множеством
N и множеством четных натуральных чисел.
Теорема
2.
Объединение конечного или счетного числа счетных множеств
является счетным множеством.
Доказательство.
Пусть A
1
, A
2
, . . . , A
n
. . . — счетные множества. Рассмотрим
A =
∪
m
n=1
A
n
. Зададим алгоритмы нумерации элементов множества A следующим образом:
a) m = k — конечно:
A
1
:
a
11
a
12
→ a
13
. . .
↓
↑
↓
A
2
:
a
21
a
22
a
23
. . .
↓
↑
↓
↓
↑
↓
A
k
:
a
k1
→ a
k2
a
k3
→ . . .
б) m — бесконечно:
A
1
:
a
11
→ a
12
a
13
→ . . .
↙
↗
↙
A
2
:
a
21
a
22
a
23
. . .
↓ ↗
↙
A
3
:
a
31
a
32
a
33
. . .
↙
Теорема 3.
Декартово произведение конечного числа счетных множеств является
счетным.
Доказательство.
Пусть A
1
, A
2
, . . . , A
n
— счетные множества и
A = A
1
× A
2
× · · · × A
n
=
{(a
1
, a
2
, . . . , a
n
)
}
— декартово произведение. Так как
A =
∪
a
n
∈A
n
· · ·
∪
a
2
∈A
2
∪
a
1
∈A
1
(a
1
, a
2
, . . . , a
n
),
то оно — счетное.
Теорема 4.
Если A — бесконечное множество, B
⊂ A — счетное или конечное
подмножество и A
\ B — бесконечное, то A ∼ A \ B.

4. Множества мощности континуума.
9
Доказательство.
A = B
∪ (A \ B) = B ∪ C ∪ ((A \ B) \ C), где C — счетное подмножество A
\ B и A \ B = C ∪ ((A \ B) \ C). Так как B ∪ C — счетное, то B ∪ C ∼ C,
тогда B
∪ C ∪ ((A \ B) \ C) ∼ C ∪ ((A \ B) \ C) и, следовательно, A ∼ A \ B.
Множество всех алгебраических чисел счетно.
Из курса алгебры известно, что алгебраическим числом называется действительное
(или комплексное число??????????), являющееся корнем уравнения с целыми коэффициентами:
a
n
x
n
+ a
n
−1
x
n
−1
+
· · · + a
1
x + a
0
= 0,
где n — натуральное число.
Доказательство.
Вектор A
n
=
{(a
n
, a
n
−1
, . . . , a
1
, a
0
)
} однозначно определяет любой многочлен степени n. Множество A
n
счетное по теореме 3. Мощность множества
P (a
n
, . . . , a
0
) корней многочлена не превосходит n (при фиксированных коэффициентах).
Пусть B
n
=
∪P (a
n
, . . . , a
0
) — множество всех корней у многочленов степени n. По теореме 2
B
n
— счетное множество как объединение счетного числа конечных множеств. Тогда также по теореме2 будет счетным и множество алгебраических чисел A =
∪
∞
n=1
B
n
Лекция 4. Множества мощности континуума. Их несчетность Мощности множества и множества всех его подмножеств.
Бесконечное множество, мощность которого превышает мощность счетного множества,
называют несчетным.
Покажем, что множество всех бесконечных счетных последовательностей, составленных из нулей и единиц — несчетно.
Предположим противное, т.е. предположим, что занумеровали все такие последо- вательности:
a
11
a
12
a
13
. . .
a
21
a
22
a
23
. . .
a
31
a
32
a
33
. . .
Последовательность
a
11
a
22
a
33
· · · a
mm
· · · ,
где
a
mm
=
{
0,
если a
mm
= 1,
1,
если a
mm
= 0,
не присутствует в таблице. Значит множество всех бесконечных счетных последовательностей составленных из нулей и единиц — несчетно.
Множество, эквивалентное отрезку [0, 1], называется множеством мощности континуума.
Покажем, что множество всех последовательностей, составленных из нулей и единиц, имеет мощность континуума. Для этого каждому действительному числу x
∈ [0, 1]
поставим в соответствие некоторую последовательность (будем считать, что x не двоично–
рациональное число, то есть x
̸=
n
2
m
). Разделим отрезок [0, 1] пополам и положим
a
1
=





0,
0 < x <
1 2
,
1,
1 2
< x < 1.
Потом разделим пополам отрезок которому опять принадлежит x и положим ???????
a
2
=
{
0,
если x лежит левее точки деления,
1,
если x лежит правее точки деления,

4. Множества мощности континуума.
10
и так далее. В итоге получим последовательность отрезков, длины которых будут стремиться к нулю 0 и все они будут содержать точку x. Позднее покажем, что точка
x будет единственной точкой пересечения этих отрезков.
Каждая такая последовательность отрезков определяет некоторую последовательность нулей и единиц по указанному правилу. Таким образом мы устанавливаем взаимно–
однозначное соответствие между множеством всех не двоично–рациональных чисел и некоторым подмножеством из нулей и единиц.
Заметим, что двоично–рациональному числу соответствует 2 типа последовательностей,
у которых, начиная с некоторого места, все нули или все единицы. Таких последовательностей счетное число.
Обозначим далее A — множество не двоично–рациональных чисел, B — множество отвечающих им последовательностей, C
0
— множество последовательностей, у которых с некоторого места все элементы равны 0, C
1
— множество последовательностей, у которых с некоторого места все элементы равны 1, D =
{
n
2
m
}
. Так как D — счетное и D
∼ C
0
,
D
∼ C
1
, то? C
0
, C
1
— счетные. По теореме 4 , множество
[0, 1] = A
∪ D ∼ B ∪ C
0
∪ C
1
эквивалентно множеству всех двоичных последовательностей.
Таким образом, множество мощности континуума несчетное.
Множество всех действительных чисел имеет мощность континуума
Доказательство.
Установим взаимно однозначное соответствие между элементами
y
∈ R и элементами x ∈ (0, 1). Это соответствие устанавливается следующим законом:
При сравнении мощностей множеств возникает вопрос: существует ли наибольшая мощность? Ответ «нет» очевидным образом вытекает из следующей теоремы.
Теорема
5
Теорема о мощности множества всех подмножеств. Если M —
некоторое множество мощности m(M ), ˜
M — множество всевозможных подмножеств
из M , то m( ˜
M ) > m(M ).
Доказательство.
Пусть M =
{a, b, c, . . .}, ˜
M =
{A, B, C, . . .}, где A, B, C, · · · ⊆
M . Так как одноэлементные множества из M образуют в ˜
M часть, эквивалентную M , то,
очевидно, что m(M )
≯ m( ˜
M ). Значит, m(M )
6 m( ˜
M ). Убедимся теперь, что равенства тоже быть не может. Доказательство поведем от противного.
Пусть m(M ) = m( ˜
M ), т.е. M
∼ ˜
M и существует взаимно однозначное соответствие между элементами M и
˜
M : a
←→ A, b ←→ B, . . .. Покажем, что в ˜
M есть такое подмножество X элементов из M , которому нет соответствующего элемента в M .
Образуем это подмножество следующим образом:
если a
←→ A и a ∈ A, то a не берем в X,
если a
←→ A и a /∈ A, то a берем в X.
Допустим, что существует x
←→ X. Посмотрим будет ли он содержаться в X.
Пусть x /
∈ X. Но, по определению, в X входит любой элемент, не содержащийся в подмножестве, которое ему соответствует, следовательно, x должен быть включен в X.
Обратно, предположив, что x содержится в X, получим, что x не может содержаться в
X, так как в X включены только те элементы, которые невходят в соответствующие им подмножества. Итак, элемент x, отвечающий подмножеству X, должен одновременно и содержаться, и не содержаться в X. Следовательно, такого элемента вообще не существует и, значит, нет взаимнооднозначного соответствия между элементами множества и всеми его подмножествами.
Примером множества, мощность которого превышает мощность континуума,
является множество P (
R) всех подмножеств множества R. Мошность множества P (R)

5. Точные верхняя и нижняя грани.
11
иногда называют мощностью гиперконтинуума. Однако не существует множества с наибольшей мощностью, поскольку для любого множества E мощность cardP (E) множества всех его подмножеств всегда больше cardE. Например, если card
N = ℵ
0
, то cardP (
N) =
ℵ > ℵ
0
В 1878г. Г.Кантор высказал так называемую континуум–гипотезу, впоследствии вошедшую под первым номером в список проблем Д.Гильберта. Соглласно этой гипотезе
ℵ является мощностью множества, непосредственно следующим за ℵ
0
, или, иначе, не существует бесконечного множества, мощность которого больше мощности счетного множества, но меньше мощности континуума. В 1963 г. американский математик П. Коэн доказал, что континуум–гипотеза неразрешима в рамках существующей теории множеств —
ее невозможно ни доказать, ни опровергнуть, можно лишь принять ее или противоположное ей утверждение как аксиому.
Лекция 5. Расширенная система действительных чисел. Ограниченные подмножества в
R. Точные верхняя и нижняя грани.
Арифметические свойства верхней и нижней граней. Принцип
Архимеда. Лемма о вложенных отрезках. Двоичные и десятичные дроби.
Множество
R = R∪{+∞, −∞} Называется расширенной системой действительных чисел.
Оперировать с бесконечностями можно по следующим правилам. Если x
∈ R, то
1) x + (
±∞) = ±∞,
2 x
· (±∞) =
{
±∞, x > 0,
∓∞, x < 0,
3)
x
±∞
= 0,
4) (
±∞) + (±∞) = ±∞,
5) (
±∞) · (±∞) = +∞, (±∞) · (∓∞) = −∞.
Остальные операции с бесконечностями не определены. Иногда будет идти речь просто о бесконечности
∞ не выделяя знака.
Множество X
⊂ R называется ограниченным сверху, если ∃ M ∈ R такое, что
∀ x ∈ X x 6 M.
Множество X
⊂ R называется ограниченным снизу, если ∃ m ∈ R такое, что
∀ x ∈ X x > m.
Множество ограниченное сверху и снизу называется ограниченным. Для ограниченного множества X
∃ M > 0 такое, что |X| 6 M.
Пусть X
⊂ R ограничено сверху. Наименьшее из чисел, ограничивающих X сверху,
называется его точной верхней гранью и обозначается sup X. Если X не ограничено сверху,
то полагаем sup X = +
∞.
Пусть X
⊂ R ограничено снизу. Наибольшее из чисел, ограничивающих X снизу,
называется его точной нижней гранью и обозначается inf X. Если X не ограничено снизу,
то полагаем inf X =
−∞.
Очевидно, sup X = M
∈ R тогда и только тогда, когда
1) X
6 M,
2)
∀ ϵ > 0 ∃ x
ϵ
∈ X : x
ϵ
> M
− ϵ
или иначе
∀ M
′
< M
∃ x
M
′
∈ X : x
M
′
> M
′
.

5. Точные верхняя и нижняя грани.
12
Аналогично, inf X = m
∈ R тогда и только тогда, когда
1) X
> m,
2)
∀ ϵ > 0 ∃ x
ϵ
∈ X : x
ϵ
< m + ϵ
или иначе
∀ m
′
> m
∃ x
m
′
∈ X : x
a
′
< a
′
.
Теорема
6.
Числовое множество не может иметь больше одной верхней
(нижней) грани.
Доказательство.
Доказательство проведем лишь для случая верхней грани.
Допустим противное, т.е. предположим, что каждое из чисел b и b
′
являются верхней гранью множества X. Пусть, для определенности, b
′
< b. Тогда, в силу того, что b = sup X,
из определения верхней грани следует, что для числа b
′
∃ x
b
′
∈ X, x
b
′
> b
′
. Но тогда
b
′
не является верхней гранью X. Из полученного противоречия следует ошибочность предположения и утверждение теоремы.
Заметим, что в условиях теоремы не предполагается существование верхней
(нижней) грани. Теорема утверждает, что, если верхняя (нижняя) грань существует, то она единственна.
Значительно более глубокой (эквивалентный аксиоме непрерывности) является теорема о существовании верхней грани.
Теорема 7.
Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множество
имеет верхнюю (нижнюю) грань.
Доказательство.
Доказательство проведем лишь для верхней грани. Пусть A —
непустое ограниченное сверху множество. Рассмотрим непустое множество B, элементами которого являются все числа b, ограничивающие множество A сверху. Тогда
a
6 b ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B.
Из аксиомы непрерывности следует, что для некоторого c
∈ R
a
6 c 6 b ∀ a ∈ A ∀ b ∈ B.
(1)
Покажем, что sup A = c. Первое условие из определения верхней грани выполнено в силу левого из неравенств (1). Покажем, что выполняется и второе. Пусть c
′
< c. Тогда c
′
/
∈ B,
так как для каждого элемента из B выполняется правое из неравенств (1). Следовательно,
c
′
не ограничивает множество A сверху, т.е.
∃ x
c
′
∈ A : x
c
′
> c
′
,
так что второе условие также выполнено. Следовательно, c = sup A и теорема доказана.
Отметим без доказательства арифметические свойства верхних и нижних граней.
1) sup(X + Y ) = sup X + sup Y,
4) sup λX = λ sup X
(λ
> 0),
2) sup(X
− Y ) = sup X − inf Y,
inf λX = λ inf X
(λ
> 0),
3) sup XY = sup X sup Y
(X, Y
> 0),
sup λX = λ inf X
(λ < 0),
inf XY = inf X inf Y
(X, Y
> 0),
inf λX = λ sup X
(λ < 0),

5. Точные верхняя и нижняя грани.
13 5.1. Принцип Архимеда
Теорема 8
(принцип Архимеда). Для любого a
∈ R: ∃ n ∈ N: n > a.
Доказательство.
Допустим, что теорема неверна. Это значит, что
∃ a ∈ R: n 6
a
∀ n ∈ N. Следовательно, a ограничивает сверху множество N, тогда по теореме (9)
∃, b ∈ R: b = sup N. Тогда по определению верхней грани для числа b
′
:= b
− 1 ∃ n ∈ N:
n > b
− 1. Но тогда n + 1 > b, n + 1 ∈ N, что противоречит тому, что b = sup N. Этим теорема доказана.
Следствие 1.
Каковы бы ни были числа a и b, 0 < a < b, существует такое
n
∈ N, что na > b.
Это утверждение имеет простой геометрический смысл: если взять два отрезка соответственно длин a и b, 0 < a < b, то последовательно откладывая на большем отрезке от одного из его концов меньший отрезок, мы через конечное число шагов выйдем за пределы большего отрезка.
Определение.
Множество отрезков
{[a
1
, b
1
], [a
2
, b
2
], . . .
} , −∞ < a
n
< b
n
< +
∞ forall n ∈ N
называется системой вложенных отрезков, если [a
n
, b
n
]
⊃ [a
n+1
, b
n+1
]
∀ n ∈ N, т.е. каждый отрезок содержит следующий за ним.
В следующей теореме сформулировано свойство, эквивалентное аксиоме непрерывности и называемое непрерывностью множества действительных чисел по Кантору.
Теорема
9.
Для всякой системы вложенных отрезков существует точка,
принадлежащая всем отрезкам данной системы.
Доказательство.
Для системы вложенных отрезков
{[a
n
, b
n
]
} рассмотрим два непустых множества A =
{a
n
} и B = {b
n
}.
Очевидно, что
∀ n, m ∈ N
a
n
6 a
n+m
6 b
n+m
6 b
m
.
В силу аксиомы непрерывности существует число c такое, что
a
n
6 c 6 b
m
∀ n, m ∈ N.
В частности, при n = m получаем, что
c
∈ [a
n
, b
n
]
∀ n ∈ N,
что и требовалось доказать.
Определение.
Система вложенных отрезков
{[a
n
, b
n
]
}
∞
n=1
называется стягивающейся системой вложенных отрезков, если
∀ ϵ > 0 ∃ n ∈ N : b
n
− a
n
< ϵ.
Теорема 10.
Стягивающаяся система вложенных отрезков имеет ровно одну
точку, принадлежащую всем отрезкам.
Доказательство.
По крайней мере одна общая точка для отрезков рассматриваемой системы имеется в силу предыдущей теоремы. Покажем, что общих точек не больше одной.
Допуская противное, предположим, что каждая из двух различных точек c и c
′
является общей для всех отрезков системы. Пусть, для определенности, c
′
< c, т.е. ϵ := c
−c
′
> 0. По определению стягивающей системы,
∃ n ∈ N: b
n
− a
n
< ϵ. Тогда a
n
6 c
′
< c
6 b
n
. Отсюда,
c
− c
′
6 c − a
n
6 b
n
− a
n
< ϵ, что противоречит выбору ϵ. Теорема доказана.

6. Открытые и замкнутые множества в
R.
14
Лекция 6. Открытые и замкнутые множества в
R. Их свойства. Связь между ними. структура открытых множеств в
R.
Точка x
0
∈ X ⊂ R называется внутренней точкой множества X, если существует окрестность U
δ
(x
0
)
⊂ X.
множество состоящее только из внутренних точек называется открытым.
В частности, открытым является открытый интервал.
Отметим простейшие свойства открытых множеств.
1.
R, ∅ — открытые множества.
2. Пересечение конечного числа открытых множеств является открытым множеством.
3. Объединение любого числа открытых множеств является открытым множеством.
Свойства 2.
Пусть G
1
, . . . , G
n
— открытые множества. Если пересечение пустое множество, то тривиально. Возьмем произвольную точку x
0
∈ G = ∩
n
i=1
G
i
. Покажем, что
x
0
— внутренняя для множества G. Так как для i = 1, . . . , n точка x
0
— внутренняя точка множества G
i
, то существует такое δ
i
> 0, что U
δ
i
(x
0
)
⊂ G
i
. Следовательно, U
δ
(x
0
) =
∩
n
i=1
U
δ
i
(x
0
)
⊂ ∩
n
i=1
G
i
= G, где δ = min
{δ
1
, δ
2
, . . . , δ
n
} > 0. Таким образом, x
0
— внутренняя для G.
Привести пример бесконечной системы открытых множеств, пересечение которой не является открытым.
Например,
G
i
=
(
−
1
i
,
1
i
)
(i
∈ N).
Свойства 3.
Пусть G
1
, G
2
, . . . — открытые множества и G =
∪
α
G
α
. Следовательно,
любая точка x
0
∈ G попадает в какое–то G
α
, то есть
∃ α
0
: x
0
∈ G
α
0
. Но, так как G
α
0
и
U (x
0
)
⊂ ∪
α
G
α
= G.
Точка x
0
∈ R называется предельной для множества X ⊂ R, если в любой ее окрестности есть точки множества M , не совпадающие с ней. (x
0
∈ X — предельная, если для любой U (x
0
) существует y
∈ X ∩ U(x
0
) и y
̸= x
0
).
Множество X
⊂ R называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Точки множества, не являющиеся предельными, называются изолированными.
(Если в некоторой окрестности точки x
0
∈ X нет других точек множества X, то x
0
называется изолированной). (x
0
∈ X — изолированная, если существоует U(x
0
) такая,
что для любого y
∈ M ∩ U(x
0
), y = x
0
).
Очевидно, что отрезок является замкнутым множеством, а открытый интервал —
нет.
ЗАДАЧА. Показать, что замкнутый интервал является замкнутым множеством.
ЗАДАЧА. Показать, что в любой окрестности предельной точки некоторого множества X на самом деле бесконечно много точек X.
Отметим, что всякая точка множества является либо предельной, либо изолированной
Замкнутое множество без изолированных точек называется соверщенным.
Операция присоединения к множеству его предельных точек называется замыканием множества. Замыкание множества M обозначается M .
Имеем
(a, b) = [a, b].
Привести пример бесконечной системы замкнутых множеств, объединение которых не является замкнутым.
Например, G
i
= [0, 1
−
1
i
] (i
∈ N).

7. Компактные множества в
R.
15
Лемма
1
Лемма о связи между открытыми и замкнутыми множествами..
Множество G
⊂ R — открытое тогда и только тогда, когда множество F = R \ G —
замкнутое.
Доказательство.
Пусть G
⊂ R — открытое, F = R \ G, а x
0
— предельная для
F и x
0
/
∈ F . Тогда x
0
∈ G — внутренняя и для некоторой окрестности U
δ
(x
0
)
⊂ G. Значит,
U
δ
(x
0
)
∩ F = ∅ и x
0
— не предельная (по определению) для F . Полученное противоречие доказывает замкнутость F .
Пусть F
⊂ R — замкнутое, G = R \ F и x
0
∈ G — не внутренняя точка. Тогда в любой окрестности x
0
будут точки из F (а не вся она лежит в G). Значит x
0
— предельная для F и x
0
/
∈ F . Полученное противоречие замкнутости F доказывает открытость G.
Для оперирования с открытыми и замкнутыми множествами удобно использовать формулы де Мограна
1)
R \
∪
α
G
α
∩
α
(
R \ G
α
),
2)
R
∩
α
F
α
=
∪
α
(
R \ F
α
).
Отметим простейшие свойства замкнутых множеств.
1.
R, ∅ — замкнутые множества.
2. Объединение конечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.
3. Пересечение любого числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.
Пользуясь формулами Де Моргана и исходя из свойств открытых множеств,
докажем свойства замкнутых множеств.
2. F
i
(i = 1, . . . , n) — замкнутые
⇒ R \ F
i
— открытые
⇒
n
∩
i=1
(
R \ F
i
) — открытое
⇒ R \
(
n
∪
i=1
F
i
)
— открытое
⇒
n
∪
i=1
F
i
— замкнутое.
3. F
i
(i = 1, 2, . . .) — замкнутое
⇒ R \ F
i
— открытые
⇒
∞
∪
i=1
(
R \ F
i
) — открытое
⇒
R \
(
∞
∩
i=1
F
i
)
— открытое
⇒
∞
∩
i=1
F
i
— замкнутое.
Теорема 11.
Любое открытое множество на прямой является объединением
не более чем счетного числа непересекающихся открытых интервалов.
Лекция 7. Компактные множества в
R. Их описание.
Пусть A
⊂ R. Множество B подмножеств V
i
⊂ R, i ∈ J ∈ N, таких, что
A
⊂
∪
i
∈J
V
i
,
образует покрытие множества A
⊂ R. Покрытие называют конечным, если оно состоит из конечного числа J подмножеств V
i
. Покрытие является открытым, если все подмножества V
i
открыты в
R. Любое подмножество множества B, образованное из V
i
∈ B
и включающее A, называют подпокрытием данного покрытия B.
Множество интервалов (n
−1, n+1) ⊂ R при целых значениях n образует открытое покрытие множества
R. У этого покрытия не существует подпокрытий, поскольку достаточно удалить какой–либо интервал (n
− 1, n + 1) и соответствующая точка n не будет покрыта.
Множество K
⊂ R называют компактным (или просто компактом), если из любого его открытого покрытия можно выделить хотя бы одно конечное подпокрытие.
Очевидно, что множество, содержащее только конечное число точек, компактно.
Множество
R не является компактным. В самом деле, интервалы (−n, n) ⊂ R при n ∈ N

7. Компактные множества в
R.
16
образуют открытое покрытие
R. Любое конечное число таких интервалов содержится в одном интервале конечного радиуса, и, следовательно, не покрывает всего множества
R.
Изучим свойства компактных множеств.
Лемма 2
Лемма об ограниченности компактного множества.. Любое компактное
множество является ограниченнымю
Доказательство.
Пусть K — компактное множество. Пусть x
∈ K и рассмотрим интервал (x
− 1, x + 1). Так как
K
⊂
∪
x
∈K
(x
− 1, x + 1),
то в силу компактности K
K
⊂
n
∪
i=1
(x
i
− 1, x
i
+ 1).
Отсюда, m = min
{x
1
− 1, . . . , x
n
− 1} 6 K 6 max{x
1
+ 1, . . . , x
n
+ 1
} = M. Это и означает ограниченность K. (Очевидно, чтоь если бы вычислялся min и max бесконечного числа точек, то он мог быть равен
∞).
Лемма
3
Лемма о замкнутости компактного множества.. Любое компактное
множество является замкнутым.
Доказательство.
Пусть K — компактное множество. предположим противное.
Пусть K — незамкнутое, то есть существует предельная точка y /
∈ K. Каждому x ∈ K
поставим в соответствие две окрестности U
δ
x
(x) и U
δ
x
(y), для которых U
δ
x
(x)
∩U
δ
x
(y) =
∅.
Так как
K
⊂
∪
x
∈K
U
δ
x
(x),
то в силу компактности K
K
⊂
n
∪
i=1
U
δ
xi
(x
i
).
Тогда окрестность U
δ
(y) =
∩
n
i=1
U
δ
xi
(y) не пресекается ни с одной из окрестностей U
δ
xi
(x
i
)
∀ i = 1, . . . , n. Поэтому U
δ
(y)
∩ K = ∅. Это противоречит предельности точки y. Значит
K — замкнутое множество.
Теорема 12
Теорема о компактности отрезка. Любой отрезок является компактным
множеством.
Доказательство.
Предположим противное. Пусть существует покрытие отрезка
[a, b] системой открытых множеств
{G
α
}, из которого нельзя выделить конечное покрытие.
Разобьем отрезок [a, b] на два равных отрезка и обозначим [a
1
, b
1
] тот из них,
который не допускает конечного покрытия. Далее из отрезка [a
1
, b
1
] аналогично выделим отрезок [a
2
, b
1
], который не допускает конечного покрытия и т.д. Этот процесс не остановитсяни на одном шаге и, в итоге, получится последовательность вложенных отрезков
[a, b]
⊃ [a
1
, b
1
]
⊃ · · · ⊃ [a
n
, b
n
]
· · · ⊃ · · · ,
b
n
− a
n
=
b
− a
2
n
и не один из них не допускает конечного покрытия. Так как
b
−a
2
n
→ 0 (n → ∞), То по лемме о вложенных отрезках существует x
0
∈
∩
n
i=1
[a
n
, b
n
]. Так как x
0
∈ [a, b], То существует
G
α
0
∋ x
0
. Внутренняя точка x
0
∈ (α, β) ⊂ G
α
0
. Но для достаточно больших n все отрезки
[a
n
, b
n
]
⊂ (α, β) будут покрываться одним множеством G
α
0
, что противоречит построению этих отрезков. Полученное противоречие доказывает компактность отрезка [a, b].

8. Граница, внутренность и внешность множества в
R.
17
Лемма 4
Лемма о компактности замкнутого подмножества. Любое замкнутое
подмножество компактного множества является компактным.
Доказательство.
Пусть K
⊂ R — компактное множество, а F ⊂ K — замкнутое подмножество. Возьмем произвольное открытое покрытие
{G
α
} такое, что F ⊂
∪
α
G
α
Тогда система открытых множеств (
R \ F ) ∪ {G
α
} будет образовыать открытое покрытие
K. Из компактности K следует, что K
⊂ (R \ F ) ∪
n
i=1
G
α
0
. Поэтому F
⊂ ∪
n
i=1
G
α
i
. Итак,
из любого покрытия F открытыми множествами можно выделить конечное покрытие, а значит, F — компактное.
Теорема 13
Критерий компактности в
R. Множество K ⊂ R — компактное
тогда и только тогда, когда K — ограниченное и замкнутое.
Доказательство.
Необходимость. Необходимость следует из свойств компактного множества (леммы об ограниченности и замкнутости компактного множества).
Достаточность. Пусть K — ограниченное и замкнутое множество. Тогда существует отрезок [a, b] такой, что K
⊂ [a, b] и компактность K следует из леммы о компактности замкнутого подмножества компактного множества.
Лекция 8. Граница, внутренность и внешность множества в
R. Связные множества в
R. Их описание.
Внутренностью множества X (обозначение Int X) называется множество всех внутренних точек множества X. Очевидно, что Int — открытое множество.
Внешностью множества X (обозначение: Ext X) называется множество внутренних точек его дополнения (CX =
R \ X). Множество Ext X — открытое.
Точка x
0
∈ R называется граничной точкой для множества X, если в любой ее окрестности есть как точки множества X, так и его дополнения.
Множество всех граничных точек множества X называется границей множества
X (обозначение ∂ X). ∂ X — замкнутое множество.
Любое множество X
⊂ R разбивает все R на три непересекающихся подмножества
R = Int X ∪ Ext X∂ X.
Множество X
⊂ R называется несвязным, если существуют открытые множества
G
1
и G
2
, для которых
1) X
⊂ (G
1
∪ G
2
),
G
1
∩ G
2
=
∅,
2) X
∩ G
1
̸= ∅, X ∩ G
2
̸= ∅.
Множество, не являющееся несвязным, называется связным.
Простейшими связными множествами являются интервалы
(a, b),
[a, b],
(a, b],
[a, b),
(a, b
∈ R).
Оказывается, что в
R других связных множеств нет.
Теорема 14
Теорема о связном множестве в
R. Любое связное множество в R
является интервалом.
Доказательство.
Gecnm X
∈ R — связное множество, a = inf X, b = sup X,
a, b
∈ R. Покажем, что ∀ x
0
, a < x
0
< b лежит в X. Предположим противное:
∃ x
0
/
∈ X,
x
0
∈ (a, b). Образуем два открытых множества
G
1
= (
−∞, x
0
),
G
2
= (x
0
, +
∞).
Очевидно, что G
1
∩ G
2
=
∅, X ⊂ (G
1
∪ G
2
). Так как a = inf X, то существует x
∈ X,
a < x < x
0
. Поэтому G
1
∩ X ̸= ∅. Аналогично показывается, что G
2
∩ X ̸= ∅. Но это приводит к противоречию со связностью X. Значит (a, b)
⊂ X.

9.Определение предела последовательности.
18
Лекция 9. Определение предела последовательности. Его свойства. Теорема о
«двух милиционерах». Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства.
Если каждому значению n из натурального ряда чисел 1, 2, . . . , n, . . . ставится в соответствие по определенному закону некоторое действительное число x
n
, то множество занумерованных действительных чисел
x
1
, x
2
, . . . , x
n
, . . .
(1)
мы и будем называть числовой последовательностью или просто последовательностью.
Отдельные числа x
n
мы будем называть элементами или членами последовательности
(1). Для сокращенной записи последовательности (1) будем использовать символ
{x
n
}.
Рассмотрим наряду с последовательностью (1) еще одну последовательность
y
1
, y
2
, . . . , y
n
, . . . .
(2)
Назовем последовательности x
1
+ y1, x
2
+ y
2
, . . . , x
n
+ y
n
, . . .; x
1
−y1, x
2
−y
2
, . . . , x
n
−
y
n
, . . .; x
1
· y1, x
2
· y
2
, . . . , x
n
· y
n
, . . .;
x
1
y1
,
x
2
y
2
, . . . ,
x
n
y
n
, . . .; соответственно суммой, разностью,
произведением и частным последовательностей (1) и (2).
Конечно, при определении частного последовательностей (1) и (2)необходимо требовать, чтобы все элементы последовательности (2) были отличны от нуля.
Совокупность всех элементов произвольной последовательности
{x
n
} образует некоторое числовое множество. Отправляясь от понятий ограниченного сверху , снизу или с обеих сторон множества, мы приходим к следующим определениям.
Последовательность
{x
n
} называется ограниченной сверху (снизу), если существует действительное число M (действительное число m) такое, что каждый элемент этой последовательности
{x
n
} удовлетворяет неравенству
x
n
6 M, (x
n
> m).
(3)
При этом число M (число m) называется верхней гранью (нижней гранью) последовательности
{x
n
}, а неравенство (3) называется условием ограниченности этой последовательности сверху (снизу).
Отметим, что любая ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет бесконечное множество верхних (нижних) граней и что в (3) в качестве M (m) может браться любая из верхних (нижних) граней.
Последовательность
{x
n
} называется ограниченной с обеих сторон (или просто ограниченной), если она ограничена и сверху, и снизу., т.е. если существуют два действительных числа M и m такие, что каждый элемент этой последовательности x
n
удовлетворяет неравенствам
m
> x
n
6 M.
(4)
Заметим, что условие ограниченности (3) последовательности можно записать в другой эквивалентной форме: последовательность
{x
n
} является ограниченной тогда и только тогда, когда существует положительное действительное число A такое, что каждый элемент последовательности x
n
удовлетворяет неравенству
| x
n
|> A.
(5)
В самом деле, если каждый элемент x
n
удовлетворяет неравенству (5), то, положив
m =
−A, M = +A, мы получим, что x
n
удовлетворяет неравенствам (4). Если, наоборот,
каждый элемент x
n
удовлетворяет неравенствам (4), то, обозначив через A наибольшее из двух чисел
|m| и |M|, мы можем утверждать, что x
n
удовлетворяет неравенству (5).
Последовательность
{x
n
} называется сходящейся, если существует такое действительное число l, что для любого положительного действительного числа ϵ найдется номер

9.Определение предела последовательности.
19
N (вообще говоря зависящий от ϵ) такой, что при всех n
> N элементы x
n
этой последовательности удовлетворяют неравенству
|x
n
− l| < ϵ.
(6)
При этом число l называется пределом последовательности
{x
n
}.
Если последовательность
{x
n
} является сходящейся и имеет своим пределом число
l, то символически это записывают так:
lim
n
→∞
x
n
= l
или
x
n
→ l при n → ∞.
Последовательности, не являющиеся сходящимися, принято называть расходящимися.
Неравенство (6) можно записать в эквивалентной форме
l
− ϵ < x
n
< l + ϵ.
(7)
На геометрическом языке неравенства (7) означают, что элементы x
n
при n
> N
лежат в интервале (l
−ϵ, l+ϵ), который мы договорились обозначать ϵ–окрестностью точки
l.
Это позволяет сформулировать еще одно определение сходящейся последовательности.
Последовательность
{x
n
} называется сходящейся, если существует такое число
l, что в любой ϵ–окрестности точки l находятся все элементы последовательности
{x
n
},
начиная с некоторого номера (зависящего, конечно, от ϵ).
Замечание
1.
Из определения сходящейся последовательности и ее предела сразу же вытекает, что удаление любого конечного числа элементов последовательности не влияет на сходимость этой последовательности и величину ее предела.
Теорема 15.
Последовательность не может иметь более одного предела.
Доказательство.
Допустим противное. Пусть существует последовательность
{x
n
}, у которой имеется по крайней мере два различных предела l
1
и l
2
, и пусть для определенности l
1
< l
2
Выберем ϵ так, чтобы окрестности U (l
1
, ϵ) и U (l
2
, epsilon) не пересекались (рис????).
Например, можно взять ϵ = (l
2
− l
1
)/2. Существует такой номер N
1
, что для всех номеров
n
> N
1
будем иметь x
n
∈ U(l
1
, ϵ), и существует такой номер N
2
, что для всех номеров
n
> N
2
будем иметь x
n
∈ U(l
2
, ϵ). Обозначим через N наибольший из номеров N
1
, N
2
,
тогда для любого n
> N получим x
n
∈ U(l
1
, ϵ) и x
n
∈ U(l
2
, ϵ), что невозможно в силу того,
что указанные окрестности не пересекаются.
Полученное противоречие доказывает теорему.
Теорема 16.
Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.
Доказательство.
Пусть
{x
n
} — сходящаяся последовательность и l — ее предел.
Фиксируем некоторое положительное число ϵ и по нему номер N такой, что
|x
n
− l| < ϵ
при n
> N или, что то же самое, l − ϵ < x
n
< l + ϵ при n
> N. Обозначим через A
наибольшее из следующих (N + 1) чисел:
|l − ϵ|, |l + ϵ|, x
1
, x
2
, . . . , x
N
−1
. Тогда, очевидно,
|x
n
| < A для всех номеров n, а это и доказывает ограниченность последовательности {x
n
}.
Теорема доказана.
Замечание 2.
Не всякая ограниченная последовательность является сходящейся.
Последовательность
{x
n
} называют бесконечно большой, если для любого числа ϵ
существует такой номер N , что для всех n
> N выполняется неравенство |x
n
| > ϵ. В этом случае, употребляя специальный символ
∞, пишут lim
n
→∞
x
n
=
∞

9.Определение предела последовательности.
20
и говорят, что
{x
n
} стремиться к бесконечности. Такая терминология считается удобной,
несмотря на то, что знак
∞ не обозначает никакого числа и бесконечно большая последовательность не имеет предела в смысле определения???
Последовательность
{α
n
} называется бесконечно малой последовательностью,
если lim
n
→∞
α
n
= 0.
Теорема 17.
Сумма
{α
n
+β
n
} двух бесконечно малых последовательностей {α
n
}
и
{β
n
} представляет собой бесконечно малую последовательность.
Доказательство.
Фиксируем произвольное положительное число ϵ. Так как последовательность
{α
n
} является бесконечно малой, то для положительного числа ϵ/2
найдется номер N
1
такой, что при n
> N
1
справедливо неравенство
|α
n
| < ϵ/2.
(8)
Аналогично, так как последовательность
{β
n
} является бесконечно малой, то для положительного числа ϵ/2 найдется номер N
2
такой, что при n
> N
2
справедливо неравенство
|β
n
| < ϵ/2.
(9)
Обозначим через N наибольший из двух номеров N
1
и N
2
. Тогда при n
> N будут справедливы оба неравенства (8) и (9).
Учитывая, что модуль суммы двух чисел не превосходит суммы их модулей, мы получим, что для всех номеров n
> N
|α
n
+ β
n
| 6 |α
n
| + |β
n
|.
(10)
Из соотношений (8), (9) и (10) вытекает, что при n
> N справедливо неравенство
|α
n
+ β
n
| < ϵ.
Теорема 18.
Разность
{α
n
− β
n
} двух бесконечно малых последовательностей
{α
n
} и {β
n
} представляет собой бесконечно малую последовательность.
Доказательство этой теоремы отличается от доказательства теоремы 17 только тем, что вместо неравенства (10) следует взять неравенство
|α
n
− β
n
| 6 |α
n
| + |β
n
|.
Следствие 2.
Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых
последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность.
Теорема
19.
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно
малую последовательность представляет собой бесконечно малую последовательность.
Доказательство.
Пусть
{x
n
} — ограниченная и {α
n
} — бесконечно малая последовательности. По определению ограниченной последовательности найдется действительное число A такое, что для всех элементов x
n
справедливо неравенство
|x
n
| 6 A.
(11)
Фиксируем произвольное положительное число ϵ. Так как последовательность
{α
n
}
является бесконечно малой, то для положительного числа ϵ/A найдется номер N такой,
что при n
> N справедливо неравенство
|α
n
| 6 ϵ/A.
(12)
Учитывая, что модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел, мы получим с помощью неравенств (11) и (12), что для всех n
> N
|x
n
· α
n
| = |x
n
| · |α
n
| < A ·
ϵ
A
= ϵ.
Это и означает, что последовательность
{x
n
· α
n
} является бесконечно малой. Теорема доказна.

9.Определение предела последовательности.
21
Следствие.
произведение двух (и любого конечного числа) бесконечно малых
последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность.
Это сразу следует по индукции из теоремы 19, если заметить, как и всякая последовательность,