глоссарий. Лекция 1 z множество целых чисел (2,1,0,1,2) Q
 Скачать 33.94 Kb.
|
|
Лекция 1 Z- множество целых чисел (…-2,-1,0,1,2…) Q- множество рациональных чисел (5;0,2) N- множество натуральных чисел (1,2,3…) Рациональные числа + иррациональные числа образуют множество действительных чисел (R) Комплексные числа I2=-1 I=-1(под корнем) i-мнимая часть С помощью мнимой единицы i может быть выражен корнем из отрицательного числа. Числа вида a+bi, где a и b- действительные числа, называются комплексными числами. Число a-действительная часть, bi- мнимая часть. Лекция 2 Корни, степени и логарифм Степень с натуральным показателем Произведение нескольких равных между собой множителей, называется степенью. Правило 1: чётная степень положительного или отрицательного числа, есть число положительное. Правило 2: нечётная степень положительного числа, есть число положительное. Правило 3: нечётная степень отрицательного числа, есть число отрицательное. Свойства степени: 1) При умножении степеней с одинаковыми основаниями, показатели степеней складываются, а при делении вычитаются. 2) При возведении произведения в степень можно возвести в эту степень каждый множитель и полученные результаты перемножить. 3) При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются. 4) Если возводится в степень дробь, то можно возвести в эту степень отдельно числитель и множитель. Квадрат многочлена Правило: квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов+ удвоенное произведение каждого числа на все последующие. Степень с целым показателем 1) Все свойства степеней с натуральным показателем верны и для степеней с целым показателем. 2) Любую дробь можно представить в виде степени с отрицательным показателем. Степень с целым показателем Все свойства степеней с натуральным показателем верны и для степеней с целым показателем Любую дробь можно представить в виде степени с отрицательным показателем Лекция 3 Логарифмы Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a больше 0, a не равно 1 называется показатель степени, в которую надо возвести a чтобы получить b. Свойства логарифмов Logab+ logac= loga (bc) Logab- logac= loga (b/c) logabm= mlogab loganb= 1/n logab log10a=lga – десятичный логарифм logea= ln a -натуральный логарифм Лекция 5 Логарифмические неравенства Область допустимых значений -ОДЗ Лекция 7 Стереометрия Стереометрия- раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. В стереометрии основные фигуры: точка, прямая, плоскость. Плоскость следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны. Аксиомы стереометрии Через любые 3 точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и при этом только одна. Если 2 точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Если 2 плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Теоремы: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и при этом только одна. Через 2 пересекающиеся прямые проходит плоскость и при этом только одна. Параллельные прямы в пространстве 2 прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Свойство: Если 2 прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. Скрещивающиеся прямые в пространстве 2 прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Признак скрещивающихся прямых: Если 1 из 2 прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает это плоскость в точке, не лежащей на 1 прямой, то эти прямые скрещивающиеся. Взаимное расположение прямых в пространстве Прямые пересекаются, т.е. имеют 1 общую точку. Прямые параллельны, т.е. лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Параллельность прямой и плоскости Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Признак параллельности прямой и плоскости: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Свойства: Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Если 1 из 2 параллельных прямых параллельна другой плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в данной плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей Плоскости пересекаются, т.е. имеют общую прямую. Плоскости параллельны. 2 плоскости называются параллельными, если они не пересекаются Признак параллельности двух плоскостей: Если 2 пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Свойства: Если 2 параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. Углы между двумя прямыми Если прямые пересекаются, то угол между ними берется наименьший. Угол между двумя параллельными прямыми равен 0. Угол между двумя скрещивающимися прямыми Перпендикулярность Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Свойства: Если 1 из 2 параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Если 2 прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Признак: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. Расстояние Расстояние от точки до плоскости называется перпендикуляром проведенным из данной точки к плоскости. MH- проекция наклонной плоскости Перпендикуляр проведенный к плоскости, меньше любой наклонной проведенной из той же точки. Расстояние от произвольной точки, одной из параллельных плоскостей, до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями. Расстояние от произвольной точки прямой, параллельной плоскости, до данной плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью. Расстояние между 1 из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми. Лекция 8 Теорема о трех перпендикулярах Теорема: Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярна к ее проекции, перпендикулярна и к самой наклонной. Обратная теорема: Прямая проведенная через основание наклонной перпендикулярна к ней, перпендикулярна и к ее проекции. Угол между прямой и плоскостью Определение: Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярна к ней называется угол между прямой и ее проекцией на плоскости. Двугранный угол Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости. Отметим на ребре двугранного угла какую-нибудь точку и в каждой грани из этой точки проведем луч перпендикулярно ребру. Образованный этими лучами угол называется линейным углом двугранного угла. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. Признак перпендикулярности двух плоскостей Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90. Признак: Если 1 из 2 плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. Следствие из признака: Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются 2 данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей. Прямоугольный параллелепипед Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основание представляет собой прямоугольник. Свойства: В прямоугольном параллелепипеде все 6 граней прямоугольники. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. (длина, ширина, высота) Тетраэдр Тетраэдр-это пространственная фигура состоящая из 4 треугольников. Лекция 9 d- расстояние Понятие двугранного угла Куб- прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны. Все свойства прямоугольного параллелепипеда удовлетворяют кубу. Лекция 10 Комбинаторика Комбинаторными задачами принято называть задачи, в которых необходимо подсчитать, сколькими способами можно осуществить то или иное требование, выполнить какое-либо условие, сделать тот или иной выбор. Правило произведения: Если существует n вариантов выборов одного элемента и для каждого из них имеется m вариантов второго элемента, то все существует nm различных пар с выборными таким образом 1 и 2 элемента. Перестановки Перестановками из n элементов называются соединения, которые состоят из одних и тех же n элементов и отличаются одно от другого только порядком их расположения. P- перестановка Рn- n! (n факториал) n! = 123…n Размещение Размещениями из m элементов по n элементов называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов взятых из данных m разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения. Число всевозможных размещений из м элементов по n элементов обозначают А n/m (а из m по n). A n/m=m! / (m-n)! Сочетания и их свойства Сочетаниями из m элементов по n элементов называются соединения, каждое из которых содержит n элементов взятых из m разных элементов и которые отличаются одно от другого по крайней мере 1 элементом. Число возможных сочетаний из m по n обозначается С n/m. C n/m=A n/m/Pn Свойства: С n/m=C m-n/m C n/m + C n+1/m=C n+1/m+1 Бином Ньютона Бином- алгебраическая сумма в некоторой степени Треугольник Паскаля 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 26 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 Лекция 11 Векторы в пространстве Вектор- это направленный отрезок Любая точка пространства называется нулевой вектор Сонаправленные вектора- это коллинеарные вектора, направленные в одну сторону Сложение векторов Правило треугольника Правило параллелограмма Правило многоугольника Формула в тетради Копланарные вектора 3 вектора называются компланарными, если при откладывании от 1 точки они лежат в 1 плоскости Для компланарных векторов справедливы правила треугольника и правила параллелограмма Для некомпланарных правило параллелепипеда среди которых есть 2 коллинеарных, компланарные вектора Метод координат в пространстве Оx- ось абсцисс Оy- ось ординат Oz- ось апликат Координаты любой точки пространства равны соответствующим координатам её радиус вектора Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и его начала Простейшие задачи в координатах Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов 3 вектора Лекция 12 Скалярное произведение векторов Чтобы найти угол между векторами а и b нужно отложить их от 1 точки Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними Скалярные произведения не нулевых векторов равно 0 тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины Нулевой вектор называется направляющим вектором прямой а, если он лежит либо на прямой а, либо на прямой параллельной а Угол между двумя прямыми равен углу между направляющими векторами Уравнение вектора Сферой называется поверхность, состоящая их всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки Взаимное расположение сферы и плоскости Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только 1 общую точку Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек Лекция 13 Основы тригонометрии Радианная мера угла P=180 p/6=180/6=30 альфа радиан= (180/p умножить на альфа) Поворот точки вокруг начала координат Z- множество целых чисел Определение sin, cos, tg, ctg угла sin угла альфа называется ордината точки, полученная поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол альфа cos угла альфа называется абсцисса точки, полученная поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол альфа tg=sin/cos ctg=cos/sin Лекция 14 Sin, cos и tg углов альфа и -альфа sin(-альфа)=-sin альфа tg(-альфа)=-tg альфа ctg(-альфа)=-ctg альфа cos(-альфа)=cos альфа Формула сложения cos(альфа+ бетта)=cos альфа х cos бетта-sin альфа х sin бетта cos(альфа- бетта)=cos альфа х cos бетта+sin альфа х sin бетта sin(альфа+ бетта)=sin альфа х cos бетта+cos альфа х sin бетта sin(альфа- бетта)=sin альфа х cos бетта-cos альфа х sin бетта sin, cos и tg двойного угла sin2 альфа=2sin альфа х cos альфа cos2 альфа=cos2 альфа-sin2 альфа tg2 альфа=2tg альфа/1-tg2 альфа Формула приведения Определить знак исходной функции Если в скобках дано выражение не дробное, то не меняем; Если дана дробь, то меняем Лекция 15 Тригонометрические уравнения cosx=1 cosx=-1 cosx=0 arccos числа a, принадлежащего отрезку от -1 до 1 называется такое число альфа, принадлежащее отрезку от 0 до P, cos которого равен a arccos(-a)= P-arccos a cosx=a x= +- arccos a + 2P n sinx=1 sinx=-1 sinx=0 arcsin числа a, a принадлежит отрезку от 1 до -1 называется такое число альфа из отрезка -P/2 до P/2, sin которого равен a x= (-1)n arcsin a+P n arctg числа a принадлежит r, т.к. tg числа a называется такое число альфа, лежащее на промежутке от – P/2 до P/2, tg которого равен a x= arctg a+P n Лекция 17 Функции и их свойства Функция- зависимость одной переменной от другой Способы задания функций: Аналитический (с помощью формулы) Графический Табличный Область определения функции (ООФ)- то множество значений числовой прямой, которое может принимать её аргумент (х) Множество значений функции (МЗФ)- то множество значений числовой прямой, которое может принимать её функция (у) у=0 - нули функции (точки пересечения оу) Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция возрастает Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то функция убывает Функция называется чётной, если f(-x)=f(x) Функция называется нечётной, если f(-x)=-f(x) Функция называется периодичной, если значение функции будет равно f(x+T) T- период Элементарные функции У чётной функции график симметричен относительно оси оу, у нечётной функции график симметричен относительно точки (0;0) Взаимно обратные функции Если функция y=f(x) принимает каждое своё значение только при одном значении х, то эту функцию называют обратимой Область определения обратной функции совпадает со множеством значений исходной функции, а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции График обратной функции симметричен графику исходной функции относительно прямой у=х Лекция 18 Свойство показательной функции у=ax Если а больше 1, то функция возрастающая Если а больше 0 и меньше 1, то функция убывающая Лекция 19 Логарифмическая функция Loga1=0 Logaa= 1 Логарифмическая функция у=logax является возрастающей на промежутке от 0 до + бесконечности, если а больше 1 и убывающей, если а больше 0 и меньше 1 |