матанализ лекции. Лекция Натуральные числа
 Скачать 352.24 Kb.
|
|
x) 1 x = e. Рассмотрим случай x → +∞. Другие случаи будут доказываться аналогично. Воспользуемся определением предела по Гейне. Пусть последовательность x n → +∞ (n → ∞), x n > 1. Следовательно, существует m n ∈ N: m n 6 x n 6 m n + 1 и m n → +∞. То есть, справедливы неравенства ( 1 + 1 m n + 1 ) m n 6 ( 1 + 1 x n ) x n 6 ( 1 + 1 m n ) m n +1 . Вспоминая, что lim n →∞ ( 1 + 1 n ) n = e, получим lim m n →∞ ( 1 + 1 m n + 1 ) m n = lim m n →∞ ( 1 + 1 m n + 1 ) m n +1 · m n + 1 m n + 2 = = e lim m n →∞ m n + 1 m n + 2 = e lim m n →∞ 1 + 1 m n 1 + 2 m n = e. 13. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. 33 Аналогично lim m n →∞ ( 1 + 1 m n ) m n +1 = e lim m n →∞ ( 1 + 1 m n ) = e. Поэтому по теореме «о двух милиционерах» из последнего неравенства следует, что существует lim x n →+∞ ( 1 + 1 x n ) x n = e. Следствие 6. lim x →0 ln(1 + x) x = 1, lim x →0 e x − 1 x = 1. Возможность перестановки предела и логарифмической функции будет обоснована позже. 13.3. Сравнение функций Функция f (x) называется эквивалентной (асимптотически равной) функции g(x) при x → a, если lim x →a f (x) g(x) = 1. Факт эквивалентности записывается так: f (x) ∼ g(x). Учитывая вычисленные замечательные пределы и следствия из них, выпишем список некоторых функций, эквивалентных функции x при x → 0: sin x, tg x, arcsin x, arctg x, ln(1 + x), e x − 1. При вычислении предела в произведении сомножители можно заменять на более простые эквивалентные функции. Действительно, пусть f 1 (x) ∼ f 2 (x) при x → a. Следовательно, lim x →a f 1 (x)g(x) = lim x →a f 2 (x)g(x) f 1 (x) f 2 (x) = lim x →a f 2 (x)g(x). При вычислении предела в сумме, в общем случае, так делать нельзя! Функция f (x) ограничена по сравнению с функцией g(x) при x → a (обозначение f (x) = O(g(x)) = O(g(x)) (x → a)), если f (x) g(x) ограничена при x → a, то есть ∃ M > 0 ∃ U(a) ∀ x ∈ U(a) : f (x) g(x) 6 M. Функция f (x) бесконечно малая по сравнению с функцией g(x) при x → a (обозначение f (x) = o(g(x)) = o(g(x)) (x → a)), если lim x →a f (x) g(x) = 0. Функции f (x) и g(x) имеют один порядок при x → a (обозначение f(x) ≍ g(x) (x → a)), если f(x) = O(g(x)) (x → a) и g(x) = O(f(x)) (x → a). Таким образом, если существует lim x →a f (x) g(x) ∈ R, то f(x) = O(g(x)) (x → a). Если lim x →a f (x) g(x) ̸= 0, то f(x) ≍ g(x) (x → a). В частности, это будет иметь место, если f(x) ∼ g(x) (x → a). Сравнить функции f (x) = x 2 − x + 1 x − 1 , g(x) = 2x при x → ∞. 14. Непрерывность функций в точке и на множестве. 34 Вычислим lim x →∞ f (x) g(x) = lim x →∞ x 2 − x + 1 2x(x − 1) = lim x →∞ 1 − 1 x + 1 x 2 2 ( 1 − 1 x ) = 1 2 . Поэтому f (x) = O(g(x)) (x → ∞), g(x) = O(f(x)) (x → ∞) и, следовательно, f(x) ≍ g(x) (x → ∞). Эквивалентности и сравнения o-малое нет. Лекция 14. Непрерывность функций в точке и на множестве. Непрерывность элементарных функций. Операции над непрерывными функциями. Локальные свойства непрерывных функций. Одностороннии предлы. Классификация точек разрыва. Точки разрыва монотонных функций. Введем теперь понятие одностороннего предела функции в данной точке a. Число b называется правым пределом (левым пределом) функции y = f (x) в точке a, если для любой последовательности значений аргумента {x n }, сходящейся к a и состоящей из чисел, больших a (меньших a), соответствующая последовательность значений функции {f(x n ) } сходится к числу b. Число b называется правым пределом (левым пределом) функции y = f (x) в точке a, если для любого положительного числа ϵ найдется отвечающее ему положительное число δтакое, что для всех значений аргумента x, удовлетворяющих условию a < x < a + δ (условию a − δ < x < a), справедливо неравенство (??). Для обозначения правого (левого) предела функции f (x) в точке a используют следующую символику: lim x →a+0 f (x) = b ( lim x →a−0 f (x) = b) или более краткую символику f (a + 0) = b (f (a − 0) = b). В полной аналогии с предыдущей теоремой может быть доказана эквивалентность определений : следует лишь во всех проведенных при доказательстве этой теоремы рассуждениях брать значения аргумента x и элементы последовательности {x n } большими числа a (меньшими числа a). В качестве примера рассмотрим функцию f (x) = sgn x = 1, если x > 0, 0, если x = 0, −1, если x < 0. 14.1. Локальные свойства Теорема 38. Если функция f (x) имеет предел в точке a, то существует окрестность этой точки, на которой (за вычетом самой точки a, если функция f (x) в ней не определена) функция f (x) ограничена. Доказательство. Пусть функция f (x) имеет предел в точке a. Зафиксируем некоторое ϵ > 0, например ϵ = 1. Тогда, согласно определению предела функции по Коши, существует δ = δ(1) > 0, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам 0 < |x − a| < δ выполняются неравенства b − 1 < f(x) < b + 1. (1) Таким образом, если взять δ–окрестность точки a с указанным δ, то для всех точек x этой окрестности, кроме, быть может, точки x 0 , функция f (x) будет определена и для ее значений будет выполняться неравенство (1), т.е. эти значения образуют ограниченной множество. Поскольку кроме указанных значений функции f (x) на окрестности U (a, δ) 14. Непрерывность функций в точке и на множестве. 35 существует, быть может, еще только одно, а именно f (x 0 ) (если функция определена в точке a), то теорема доказана. Теорема 39. Если при стремлении x к a функция имеет конечный предел b, и b > p (b < q), то для достаточно близких к a значений x (отличных от a) и сама функция удовлетворяет неравенству f (x) > p, (f (x) < q). (2) Доказательство. Выбрав положительное число ϵ < b − p (ϵ < q − b), будем иметь b − ϵ > p, (b + ϵ < q). Но, по определению предела, для этого ϵ найдется такое δ, что лишь только 0 < |x−a| < δ, тот час же b − ϵ < f(x) < b + ϵ. Для этих значений x и подавно будет выполняться (2). Следствие 7. Если lim x →a f (x) = b, b — конечное число и b ̸= 0, то существует U (a), для любого отличного от a значения x ⊂ U(a) : sgn f(x) = sgn b. Теорема 40. Если lim x →a f 1 (x) = b 1 , lim x →a f 2 (x) = b 2 и на некоторой окрестности U (a), x ̸= a f 1 (x) 6 f 2 (x), то b 1 < b 2 . Доказательство. Пусть x n → a, x n ̸= a; тогда для достаточно большого N имеет место неравенство f 1 (x n ) 6 f 2 (x n ) (n > N) и после перехода к пределу согласно следствию 5 неравенство b 1 6 b 2 Теорема 41. Пусть в некоторой проколотой окрестности точки a заданы три функции f (x), h(x) и g(x), две из которых f (x) и g(x) имеют в точке a общий предел, равный b. Тогда если всюду в указанной проколотой δ–окресности точки a справедливы неравенства f (x) 6 h(x) 6 g(x), (3) то и функция h(x) имеет в точке a предел, равный b. Доказательство. Пусть {x n } — произвольная, сходящаяся к a последовательность значений аргумента, все элементы которой отличны от a. Тогда, с одной стороны, в силу определения предела по Гейне, обе последовательности соответствующих значений функций {f(x n ) } и {g(x n ) } сходятся к b, а с другой стороны, в силу (3), для всех номеров n справедливы неравенства f (x n ) 6 h(x n ) 6 g(x n ). В силу теоремы 24 мы можем утверждать, что последовательность h(x n ) также сходится к b, а это и означает, что число b является пределом функции h(x) в точке a. 15. Свойства непрерывных функций на отрезке. 36 Лекция 15. Критерий непрерывности функции в R. Теорема о непрерывном образе отрезка. Свойства непрерывных функций на отрезке. Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора.модуль непрерывности. Теорема 42 Критерий непрерывности функции в R. Функция f(x) непрерывна в R тогда и только тогда, когда прообраз открытого множества является открытым, то есть ∀ G ⊂ R открытого, f −1 (G) — открытое. Доказательство. Необходимость. Пусть f : R → R — непрерывная, G ⊂ R — открытое, x 0 ∈ f −1 (G). Покажем, что x 0 — внутренняя точка множества f −1 (G). Так как функция f (x) непрерывна в точке x 0 , то для y 0 = f (x 0 ) и для окрестности U (y 0 ) ⊂ G существует U(x 0 ) такая, что f (U (x 0 )) ⊂ U(y 0 ). Отсюда следует, что U (x 0 ) ⊂ f −1 (U (y 0 )) ⊂ f −1 (G), и, следовательно, f −1 (G) — открытое. Достаточность. Пусть ∀ G ⊂ R открытого, f −1 (G) — открытое, x 0 ∈ R, y 0 = f (x 0 ). Тогда f −1 (U (y 0 )) — открытое и x 0 ∈ f −1 (U (y 0 )) — внутренняя. Значит ∃ U(x 0 ) ⊂ f −1 (U (y 0 )) и f (U (x 0 )) ⊂ U(y 0 ), то есть f (x) — непрерывна в x 0 Теорема 43 о непрерывном образе отрезка. Непрерывный образ отрезка является отрезком. Доказательство. Среди всех подмножеств прямой отрезок выделяется наличием двух свойств: компактности и связности. Докажем наличие этих свойств у непрерывного образа отрезка. 1. Пусть f (x) непрерывна на [a, b], а F (x) — ее непрерывное продолжение на R. Для него F ([a, b]) = f ([a, b]). Пусть система открытых множеств {G α } — произвольное открытое покрытие F ([a, b]), то есть F ([a, b]) ⊂ ∪ α G α . Тогда [a, b] ⊂ ∪ α F −1 (G α ), то есть [a, b] лежит в объединении прообразов множеств G α и все множества F −1 (G α ) открытые по критерию непрерывности на прямой. Из компактности [a, b] получим, что для некоторых множеств F −1 (G α i ), i = 1, . . . , n [a, b] ⊂ n ∪ i=1 F −1 (G α i ), поэтому F ([a, b]) ⊂ n ∪ i=1 G α i . Откуда и следует компактность образа F ([a, b]). 2. Покажем теперь, что F ([a, b]) — связное множество. Предположим противное. Допустим, что F ([a, b]) — несвязное. Это означает, что существуют открытые множества G 1 , G 2 ⊂ R, для которых 1) F ([a, b]) ⊂ G 1 ∪ G 2 , G 1 ∩ G 2 = ∅, 2) F ([a, b]) ∩ G 1 ̸= ∅, F ([a, b]) ∩ G 2 ̸= ∅. Тогда множества F −1 (G 1 ), F −1 (G 2 ) — открытые из критерия непрерывности функции в R, и для них выполнены свойства: 1) [a, b] ⊂ F −1 (G 1 ) ∪ F −1 (G 2 ), F −1 (G 1 ) ∩ F −1 (G 2 ) = ∅, 2) [a, b] ∩ F −1 (G 1 ) ̸= ∅, [a, b] ∩ F −1 (G 2 ) ̸= ∅. 15. Свойства непрерывных функций на отрезке. 37 Получается, что [a, b] — несвязное множество, а это противоречие связности отрезка. Таким образом, F ([a, b]) — связное множество. Анализ доказательства этой теоремы приводит к утверждению о справедливости двух фактов. Теорема 44 Утверждения. 1) непрерывный образ компактного множества — компактное множество; 2) непрерывный образ связного множества — связное множество. Из установленной теоремы следуют две классические теоремы математического анализа. Теорема 45 Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях. Непрерыв- ная на отрезке [a, b] функция f ограничена и достигает свои наибольшее и наименьшее значения, то есть ∃ M > 0 ∀ x ∈ [a, b] : |f(x)| 6 M и ∃ x 1 , x 2 ∈ [a, b] : f(x 1 ) = sup x ∈[a,b] f ( |