матанализ лекции. Лекция Натуральные числа
 Скачать 352.24 Kb.
|
|
x), f (x 2 ) = inf x ∈[a,b] f (x). Доказательство. По предыдущей теореме f ([a, b]) = [c, d], и следовательно, c 6 f (x) 6 d, то есть f ограничена и для некоторых x 1 , x 2 ∈ [a, b] sup x ∈[a,b] f (x) = d = f (x 1 ), inf x ∈[a,b] f (x) = c = f (x 2 ). Теорема 46 о промежуточных значениях. Всякая непрерывная на отрезке [a, b] функция f (x) принимает все промежуточные значения между наименьшим и наибольшим значениями. (Если f (x) — непрерывная на [a, b] функция и x 1 , x 2 ∈ [a, b], f(x 1 ) < f (x 2 ), то ∀ y ∈ (f(x 1 ), f (x 2 )) ∃ x 0 ∈ [a, b] : y = f(x 0 ).) Доказательство. Доказательство следует из того, что f ([a, b]) = [c, d], а отрезок [c, d] содержит все промежуточные значения между c и d. (Так как f ([a, b]) = [c, d], (f (x 1 ), f (x 2 )) ⊂ [c, d], то (f(x 1 ), f (x 2 )) — образ функции f , то есть ∀ y ∈ (f(x 1 ), f (x 2 )) ∃ x 0 ∈ [a, b] : f(x 0 ) = y.) Для функции f (x) = x на интервале [0, 1) sup x ∈[0,1) f (x) = 1, но он не достигается ни в одной точке, хотя функция непрерывная и ограниченная. (Функция определена не на отрезке (не на компактном множестве), хотя непрерывна и ограничена.) Функция, определенная на отрезке [0, 1], f (x) = 1 x , 0 < x 6 1, 0, x = 0 разрывна при x = 0 и не ограничена на [0, 1]. (Функция определена на отрезке, но не непрерывна.) Функция f (x) = x на [0, 1] ∪ [3, 4] непрерывна и ограничена, но не принимает промежуточное значение 2. (Функция определена не на отрезке (не на связном множестве), хотя непрерывна и ограничена.) Доказать, что любое кубическое уравнение ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, a > 0 имеет хотя бы один действительный корень. 15. Свойства непрерывных функций на отрезке. 38 Так как lim x →+∞ (ax 3 + bx 2 + cx + d) = lim x →+∞ x 3 ( a + b x + c x 2 + d x 3 ) = + ∞, lim x →−∞ (ax 3 + bx 2 + cx + d) = lim x →−∞ x 3 ( a + b x + c x 2 + d x 3 ) = −∞, и функция f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d непрерывна всюду, то существование корня следует из теоремы о промежуточных значениях, так как она принимает все значения между −∞ и + ∞, в частности и 0. 15.1. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора para1. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора Сформулируем еще раз определение непрерывности функции f (x) на интервале I (конечном или бесконечном, замкнутом или открытом): ∀ x ′ ∈ I ∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε, x ′ ) > 0 ∀ x ′′ ∈ U δ (x ′ ) ∩ I : |f(x ′ ) − f(x ′′ ) | < ε. В этом определении δ > 0 зависит как от ε, так и от x ′ . Понятие равномерной непрерывности связано с требованием независимости δ от x ′ Функция f (x) : I → R называется равномерно непрерывной на множестве I ⊂ R, если ∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 ∀ x ′ , x ′′ ∈ I |x ′ − x ′′ | < δ : |f(x ′ ) − f(x ′′ ) | < ε. Из равномерной непрерывности функции на множестве следует обычная непрерывность на этом же множестве. Обратное неверно. Функция f (x) : I → R не является равномерно непрерывной на множестве I ⊂ R, если ∃ ε 0 > 0 ∀ δ > 0 ∃ x ′ , x ′′ ∈ I |x ′ − x ′′ | < δ : |f(x ′ ) − f(x ′′ ) | > ε 0 или ∃ x ′ n , x ′′ n ⊂ I : |x ′ n − x ′′ n | → 0 (n → ∞), но |f(x ′ n ) − f(x ′′ n ) | ̸→ 0 (n → ∞). Функция f (x) = 1 x является непрерывной, но не является равномерно непрерывной на (0, 1]. Используя определение отрицания равномерной непрерывности для двух последовательностей x ′ n = 1 n , x ′′ n = 1 n + 1 получим, что 1 n − 1 n + 1 = 1 n(n + 1) → 0 (n → ∞), а f ( 1 n ) − f ( 1 n + 1 ) = |n − n − 1| = 1 ̸→ 0 (n → ∞). Оказывается, что отсутствие равномерной непрерывности в этом примере связано со структурой множества (0, 1]. Теорема 47 Кантора. Непрерывная на отрезке функция является на нем равномерно непрерывной. Доказательство. Пусть f (x) непрерывна на [a, b]. Тогда, по определению, ∀ x ∈ [a, b] ∀ ε > 0 ∃ δ x (ε) > 0 ∀ y ∈ U δ x (x) ∩ [a, b] : |f(x) − f(y)| < ε 2 . (1) 15. Свойства непрерывных функций на отрезке. 39 Рассмотрим интервалы U δ x /2 (x), x ∈ [a, b]. Они образуют открытое покрытие [a, b]. Используя компактность [a, b], получим [a, b] ⊂ n ∪ i=1 U δ xi /2 (x i ). Положим δ = min {δ x 1 /2, . . . , δ x n /2 } > 0. Если теперь x, y ∈ [a, b], |x − y| < δ, x ∈ U δ xi /2 (x i ) для некоторого i, то y ∈ U δ xi (x i ) ( |y − x i | 6 |y − x| + |x − x i | < δ 2 + δ 2 = δ) и, согласно (1) |f(x) − f(y)| = |f(x) − f(x i ) + f (x i ) − f(y)| 6 |f(x) − f(x i ) | + |f(x i ) − f(y)| < ε 2 + ε 2 = ε. А это и доказывает равномерную непрерывность f (x) на [a, b]. Пусть f (x) — ограниченная на [a, b] функция и 0 6 δ 6 b−a. Тогда функция ω f (δ) ≡ ω(δ, f) = sup x 1 ,x 2 ∈[a,b] |x 1 −x 2 |6δ |f(x) − f(y)| называется модулем непрерывности функции f (x) на [a, b]. Отметим некоторые свойства модуля непрерывности функции f : 1. ω(δ, f ) : [0, b −a] → R + (неотрицательность). 2. ω(δ, f ) ↗ на [0, b−a] (неубывание). 3. ω(δ 1 + δ 2 , f ) 6 ω(δ 1 , f ) + ω(δ 2 , f ) (полуаддитивность). 4. Если функция f непрерывна на [a, b], то ω(δ, f ) непрерывна в точке 0 (непрерывность в нуле). 5. Если функция f непрерывна на [a, b], то ω(δ, f ) непрерывна на [0, b −a]. 6. Если ω(δ, f ) = o(δ) (δ → 0+0), то f(x) ≡ const. Теорема 48 о модуле непрерывности равномерно непрерывной функции. Функ- ция f (x) равномерно непрерывна на [a, b] тогда и только тогда, когда lim δ →0+0 ω(δ, f ) = 0 = ω(0, f ). Доказательство. Необходимость. Пусть f (x) равномерно непрерывная на [a, b] функция. Тогда ∀ ε > 0 ∃ δ ε > 0 ∀ x 1 , x 2 ∈ [a, b] |x 1 − x 2 | 6 δ ε = ⇒ |f(x 1 ) − f(x 2 ) | < ε. Отсюда из определения модуля непрерывности ω(δ, f ) ∀ ε > 0 ∃ δ ε > 0 ∀ 0 6 δ 6 δ ε : −ε < 0 6 ω(δ, f) 6 ω(δ, f) 6 ε, то есть lim δ →0+0 ω(δ, f ) = 0. Достаточность. Пусть теперь lim δ →0+0 ω(δ, f ) = 0. Тогда ∀ ε > 0 ∃ δ ε > 0 ∀ 0 6 δ 6 δ ε : 0 6 ω(δ ε , f ) 6 ε. Следовательно, ∀ ε > 0 ∃ δ ε > 0: sup x 1 ,x 2 ∈[a,b] |x 1 −x 2 |6δ ε |f(x 1 ) − f(x 2 ) | 6 ε или ∀ ε > 0 ∃ δ ε > 0 ∀ x 1 , x 2 ∈ [a, b] |x 1 − x 2 | 6 δ ε = ⇒ |f(x 1 ) − f(x 2 ) | < ε. Последнее утверждение означает равномерную непрерывность f (x) на [a, b]. 16. Производная функции в точке. 40 Найти модуль непрерывности функции f (x) = √ x на [0, 1]. Для любых x, y ∈ [a, b] справедливо неравенство √ x − √ y 6 √| x − y|. (2) Действительно, если x > y, то а последнее неравенство очевидно. В силу (2) ω(δ, f ) = sup |x 1 −x 2 |6δ | √ x 1 − √ x 2 | 6 sup |x 1 −x 2 |6δ √ |x 1 − x 2 | = δ 1/2 . Если x 1 = δ, x 2 = 0, то √ x 1 − √x 2 = δ 1/2 , поэтому ω(δ, f ) = δ 1/2 . Найти модуль непрерывности функции f (x) = x 2 на [0, 1]. Сначала оценим ω(δ, f ). По определению модуля непрерывности ω(δ, x 2 ) = sup |x 1 −x 2 |6δ x 1 ,x 2 ∈[0,1] |x 2 1 − x 2 2 | = sup |x 1 −x 2 |6δ x 1 ,x 2 ∈[0,1] |x 1 + x 2 ||x 1 − x 2 | 6 2δ. Полученная оценка достаточно грубая. Вычислим теперь модуль непрерывности точно. Так как ω(δ, f ) описывает, согласно определения, наибольший рост функции на отрезке длины δ, то чтобы получить модуль непрерывности в данном случае следует взять отрезок [1 −δ, 1], на котором исследуемая функция растет наиболее быстро. Так как для 0 6 x 2 − δ 6 x 1 6 x 2 6 1 x 2 2 − x 2 1 6 x 2 2 − (x 2 − δ) 2 = 2x 2 δ − δ 2 6 2δ − δ 2 , то ω(δ, x 2 ) = sup |x 1 −x 2 |6δ |x 2 1 − x 2 2 | 6 2δ − δ 2 . Если теперь положить x 1 = 1 − δ, x 2 = 1, то ω(δ, x 2 ) = 2δ − δ 2 . Из последнего рассуждения, в частности, видно, что ω(δ, f ) = + ∞, если x ∈ [0, + ∞). Найти ω ( δ, sin 1 x ) на (0, 1]. В дальнейшем множество всех непрерывных на отрезке [a, b] функций будем обозначать C[a, b]. Лекция 16. Производная функции в точке. Геометрический и физический смысл производной. Непрерывность функции, имеющей производную. Уравнение касательной и нормали к кривой Пусть функция y = f (x) определена на некотором открытом множестве M и x, x 0 ∈ M. Если существует lim x →x 0 f (x) − f(x 0 ) x − x 0 , то говорят, что функция f (x) имеет производную в точке x 0 и производная f ′ (x 0 ) = df (x 0 ) dx равна этому пределу. Величина ∆x = x − x 0 называется приращением аргумента, а ∆y = f (x) − f(x 0 ) — приращением функции. С учетом этого, производная в любой точке x 0 множества M f ′ (x 0 ) = lim ∆x →0 ∆y ∆x . Рассмотрим на (a, b) функцию f (x), непрерывную в точке x 0 ∈ (a, b) и возьмем x ∈ (a, b). 16. Производная функции в точке. 41 Уравнение секущей, проходящей через точки M (x, y) и M 0 (x 0 , y 0 ) запишется в виде: X − x 0 x − x 0 = Y − y 0 y − y 0 или Y = y 0 + y − y 0 x − x 0 (X − x 0 ). Устремим x к x 0 . Если x → x 0 , то ∆x → 0 и в силу непрерывности f(x) в точке x 0 ∆y → 0. Поэтому и длина секущей |MM 0 | = √ (∆x) 2 + (∆y) 2 → 0, то есть M → M 0 Предельное положение секущей при стремлении точки x к точке x 0 (M → M 0 ) называется касательной к графику функции f (x) в точке x 0 Выясним теперь, когда существует касательная. Переходя к пределу при x → x 0 в уравнении секущей lim x →x 0 Y = lim x →x 0 y 0 + lim x →x 0 y − y 0 x − x 0 · lim x →x 0 (X − x 0 ), получаем Y = y 0 + lim x →x 0 y − y 0 x − x 0 · (X − x 0 ). Так как (X − x 0 ) не зависит от x, то окончательно получаем уравнение касательной к графику функции f (x) в точке x 0 : (1) Y = y 0 + f ′ (x 0 )(X − x 0 ), если |f ′ (x 0 ) | < ∞. Следовательно, условие существования касательной эквивалентно условию существования производной, а f ′ (x 0 ) есть тангенс угла наклона касательной к оси OX в точке x 0 (геометрический смысл производной); (2) X = x 0 , если |f ′ (x 0 ) | = ∞ (производная не существует). В этом случае касательная в точке x 0 параллельна оси OY . Заметим, что мы определили производную только во внутренних точках. Если функция определена на [ |