Занимательные задачи для 5-6 классов. В семье четверо детей. Им 5, 8, 13 и 15 лет, а зовут их Аня, Юра, Света и Лена. Сколько лет каждому из них, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше, чем Юра, а сумма лет Ани и Светы делится на три
 Скачать 182.5 Kb.
|
|
Ответ. Иван-царевич может срубить Змею Горынычу все головы и все Хвосты за 9 ударов. Первыми тремя ударами он срубит по одному хвосту за каждый удар — останутся 3 головы и 6 хвостов. Вторыми тремя ударами он срубит по 2 хвоста за каждый удар — останется 6 голов. Последними тремя ударами он срубит по 2 головы за каждый удар — ничего не останется. На волшебной яблоне выросли 15 бананов и 20 апельсинов. Одновременно разрешается срывать один или два плода. Если сорвать один из плодов — вырастет такой же, если сорвать сразу два одинаковых плода — вырастет апельсин, а если два разных — вырастет банан. В каком порядке надо срывать плоды, чтобы на яблоне остался ровно один плод? Можете ли вы определить, какой это будет плод? Можно ли срывать плоды так, чтобы на яблоне ничего не осталось? Ответ. Как бы мы ни срывали плоды, число бананов на яблоне всегда будет нечётным. Действительно, если мы сорвём 2 банана — вырастет апельсин, т. е. число бананов уменьшится на чётное число и останется опять нечётным. (Напомним, что вначале было 15 бананов.) Если же мы сорвём только банан (с апельсином ли, или без апельсина — всё равно), то вырастет снова банан, т. е. число бананов даже не изменится. А отсюда следует вот что: раз нам точно известно, что плод остался только один, то это банан. Другое дело, что здесь мы не обсуждаем вопрос, возможно ли, чтобы остался ровно один плод. Для того чтобы на яблоне остался только один плод, можно сорвать 7 раз по 2 банана — останется банан и 27 апельсинов, после этого 27 раз сорвать по банану и апельсину — останется только один банан. Из предыдущих рассуждений уже видно, что как бы мы ни срывали плоды, на яблоне всегда останется хотя бы один банан. Коля, Серёжа и Ваня регулярно ходили в кинотеатр. Коля бывал в нём каждый 3-й день, Серёжа — каждый 7-й, Ваня — каждый 5-й. Сегодня все ребята были в кино. Когда все трое встретятся в кинотеатре в следующий раз? Ответ. Начнём отсчитывать дни от первого посещения кинотеатра всеми мальчиками. Номер дня, когда в кинотеатр приходит Коля, делится на 3, когда приходит Серёжа — делится на 7 и т.д. Значит, чтобы вес трое пришли в кинотеатр, помер дня должен одновременно делиться па 3, на 5 и на 7. Таким образом, помер этого дня должен делиться на 105, т.е. 105, 210, 315 и т.д. Поскольку нас интересует самый первый день, то это день под номером 105 (это значит, что до встречи ребятам придётся ходить в кинотеатр больше 3-х месяцев). Два класса с одинаковым количеством учеников написали контрольную. Проверив контрольные, строгий директор Фёдор Калистратович сказал, что он поставил двоек на 13 больше, чем остальных оценок. Не ошибся ли строгий Фёдор Калистратович? Ответ. Конечно же, Фёдор Калиетратович ошибся. Число оценок должно быть чётным, поскольку четно число учеников, но если бы Фёдор Калиетратович был прав, то число учеников можно было бы выразить формулой 13 + 2а, где а — число «не двоек», т. е. получается, что число учеников нечётно. Противоречие и доказывает, что Фёдор Калиетратович был неправ. Какой знак надо поставить между 2 и 3, чтобы получилось число больше 2 и меньше 3? Ответ. Запятую Дорога от дома до школы занимает у Пети 20 мин. Однажды по дороге в школу он вспомнил, что забыл дома ручку. Если теперь он продолжит свой путь с той же скоростью, то придёт в школу за 3 мин до звонка, а если вернётся домой за ручкой, то, идя с той же скоростью, опоздает к началу урока на 7 мин. Какую часть пути он прошёл до того, как вспомнил о ручке? Ответ. 1/4 пути. Школьник сказал своему приятелю Вите Иванову: — У нас в классе тридцать пять человек. И представь, каждый из них дружит ровно с одиннадцатью одноклассниками... — Не может этого быть, — сразу ответил Витя Иванов, победитель математической олимпиады. Почему он так решил? Ответ. Представим себе, что между каждыми двумя друзьями протянута ниточка. Тогда каждый из 35 учеников будет держать в руке 11 концов ниточек, и значит, всего у протянутых ниточек будет 11 х 35 = 385 концов. Но общее число не может быть нечётным, так как у каждой ниточки 2 конца. Вы вошли в тёмную комнату. В коробке у вас всего одна спичка. В комнате находятся свеча, керосиновая лампа и готовая к растопке печь. Что вы зажжёте в первую очередь? Ответ. Начать придется со спички. Ира, Наташа, Алёша и Витя собирали грибы. Наташа собрала больше всех, Ира не меньше всех, а Алёша — больше, чем Витя. Верно ли, что девочки собрали грибов больше, чем мальчики? Ответ. Да. Наташа собрала грибов больше, чем Алёша, а Ира — не меньше, чем Витя. Девять одинаковых воробьев склёвывают меньше, чем 1001 зёрнышко, а десять таких же воробьев склёвывают больше, чем 1100 зёрнышек. По скольку зёрнышек склёвывает каждый воробей? Ответ. 111 зёрнышек. Обязательно ли среди двадцати пяти «медных» монет (т. е. монет достоинством 1, 2, 3, 5 коп.) найдётся семь монет одинакового достоинства? Ответ. Да. Если бы каждого из четырех типов монет было не более 6, то всего монет было бы не более 6x4 = 24, а их 25. В 100-значном числе 12345678901234...7890, вычеркнули все цифры, стоящие на нечётных местах; в полученном 50-значном числе вновь вычеркнули все цифры, стоящие на нечётных местах, и т.д. Вычёркивание продолжалось до тех пор, пока было что вычёркивать. Какая цифра была вычеркнута последней? Ответ. 4. Мастер спорта Седов, кандидат в мастера Чернов и перворазрядник Рыжов встретились в клубе перед тренировкой. — Обратите внимание, — заметил черноволосый, — один из нас седой, другой — рыжий, третий — черноволосый. Но ни у одного из нас цвет волос не совпадает с фамилией. Забавно, не правда ли? — Ты прав, — подтвердил мастер спорта. Какого цвета волосы у кандидата в мастера? Ответ. Седые. Король сказал королеве: «Сейчас мне вдвое больше лет, чем было Вам тогда, когда мне было столько лет, сколько Вам теперь. Когда же Вам будет столько лет, сколько мне теперь, нам вместе будет шестьдесят три года». Интересно, сколько лет каждому из них? Ответ. Королю 28 лет, королеве 21 год. Попытайтесь получить миллиард (1000000000), перемножая два целых сомножителя, в каждом из которых не было бы ни одного нуля. Ответ. 1 000 000 000 = 512 х 1 953 125. В сказочной стране Перра-Терра среди прочих обитателей проживают Карабасы и Барабасы. Каждый Карабас знаком с шестью Карабасами и девятью Барабасами. Каждый Барабас знаком с десятью Карабасами и семью Барабасами. Кого в этой стране больше — Карабасов или Барабасов? Ответ. Карабасов больше, чем Барабасов. Докажите, что из трех целых чисел всегда можно найти два, сумма которых делится на два. Ответ. Из трех чисел как минимум два являются одинаковой четности, значит, их сумма будет делится на 2. Для того чтобы разрезать металлическую балку на две части, нужно уплатить за работу 5 рублей. Сколько будет стоить работа, если балку нужно разрезать на 10 частей? Ответ. 45 рублей, так как распилов надо сделать 9. На улице, став в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя, Надя. Девочка в зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей. Какое платье носит каждая из девочек? Ответ. Из второго предложения ясно, что Аня и Валя не в зеленом платье, Надя — не в зеленом и не в голубом. Из третьего предложения следует, что Валя не в розовом и не в белом платье. Тогда Валя будет в голубом платье, а Галя в зеленом. Используя первое предложение, изобразив девочек по кругу, получим, что Галя будет стоять между Валей и Надей. Тогда Аня в белом, а Надя в розовом платье. Итак, Валя, Аня и Надя соответственно в голубом, белом и розовом платьях. Парусник отправляется в плавание в понедельник в полдень. Плавание будет продолжаться 100 часов. Назовите день и час его возвращения в порт. Ответ. В сутках 24 часа, поэтому 100 ч. = 4 х 24 ч. + 4 ч. = 4 сут. + 4 ч. Тогда, парусник вернется в пятницу в 16 ч. Если Сережа поедет в школу автобусом, а обратно пойдет пешком, то он затратит на весь путь 1 ч 30 мин. Если же в оба конца он поедет автобусом, то затратит всего 30 мин. Сколько времени потратит Сережа ва дорогу, если он пойдет пешком и в школу и обратно? Ответ. 30 мин : 2 = 15 мин — Сережа едет в школу автобусом в одну сторону. 1 ч 30 мин — 15 мин = 1 ч 15 мин — Сережа идет пешком в одну сторону. 1 ч 15 мин + 1 ч 15 мин = 2 ч 30 мин - Сережа идет пешком и в школу и обратно. Внучке столько месяцев, сколько лет дедушке. Вместе им 91 год. Сколько лет дедушке и сколько лет внучке? Ответ. Внучке 7 лет, дедушке 84 года. На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Мальчик сосчитал количество голов, их оказалось 30; а затем он сосчитал количество ног, их оказалось 84. Сколько гусей и сколько поросят было на скотном дворе? Ответ. 12 поросят и 18 гусей. Из 9 монет одна фальшивая, она легче остальных. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, какая монета фальшивая? Ответ. Разделим 9 монет на три кучки по 3 монеты. Произведем первое взвешивание: положим 2 кучки по 3 монеты иа каждую чашку весов. Возможны 2 случая: а) весы находятся в равновесии, тогда на весах находятся настоящие монеты; фальшивая монета находится среди тех монет, которые не взвешивались; б) равновесия на весах нет, тогда фальшивая монета среди тех монет, где кучка легче. Определив, таким образом, кучку с фальшивой монетой, выполним с ней второе взвешивание. Возьмем из трех монет любые две и положим их на чашки весов. Снова возможны 2 случая: а) весы находятся в равновесии, тогда фальшивая монета оставшаяся; б) равновесия нет, в этом случае фальшивая монета там, где вес меньше. Попрыгунья Стрекоза половину времени каждых суток красного лета спала, третью часть времени каждых суток танцевала, шестую часть — пела. Остальное время она решила посвятить подготовке к зиме. Сколько часов в сутки Стрекоза готовилась к зиме? Ответ. В сутках 24 ч, из них Стрекоза спала 24 : 2 = 12 (ч), танцевала 24 : 3 = 8 (ч), пела 24 : 6 = 4 (ч). Всего на эти дела она потратила 12 + 8 + 4 = 24 (ч), поэтому на подготовку к зиме времени у нее не осталось. К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15. Ответ. Могут быть числа: 1155, 3150, 4155, 6150, 7155, 9150 3 ученика делают 3 самолетика за 3 минуты. Сколько учеников сделают 9 самолетиков за 9 минут? Ответ. 3 ученика Три охотника варили кашу. Один положил 2 кружки крупы, второй 1 кружку, а у третьего крупы на было, Кашу же они съели все поровну. Третий охотнил и говорит: «Спасибо за кашу! — и вот вам задача: "Я даю вам 5 патронов. Как поделить эти патроны в соответствии с вашим вкладом в мою порцию каши?» Ответ. Второй охотник съел столько каши, сколько положил крупы, поэтому третий охотник от него ничего не получил. Поэтому все патроны надо отдать первому охотнику. Возраст старика Хоттабыча записывается числом с различными цифрами. Об этом числе известно следующее: - если первую и последнюю цифру зачеркнуть, то получится двузначное число, которое при сумме цифр, равной 13, является наибольшим; - первая цифра больше последней в 4 раза. Сколько лет старику Хоттабычу? Ответ. Так как после зачеркивания получается наибольшее число с суммой цифр 13, то вторая и третья цифры равны 9 и 4. Так как первая цифра больше последней в 4 раза и все цифры различны, то первая цифра будет 8, а последняя — 2. В результате получаем число 8942. Старику Хоттабычу 8942 года. Древнегреческая задача. — Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы? - Вот сколько, — ответил Пифагор, — половина изучает математику, четверть — природу, седьмая часть проводит время в размышлении и, кроме того, Есть еще три женщины. Сколько всего учеников посещает школу Пифагора? Ответ. Решая уравнение  , получаем, что школу посещают 28 учеников. Инопланетяне сообщили жителям Земли, что в системе их звезды три планеты А, Б, В. Они живут на второй планете. Далее передача сообщения ухудшилась из-за помех, но было принято еще два сообщения, которые, как установили ученые, оказались оба ложными: а) А — не третья планета от звезды; б) Б — вторая планета. Какими планетами от звезды являются А, Б, В? Ответ. Так как второе и третье сообщения ложны, то А является третьей планетой, А Б - не второй, поэтому Б - первая планета от звезды. Тогда В будет второй планетой, на которой живут инопланетяне. Задача Древнего Востока. Некий математик насчитал на выгоне 70 коров. «Какую долю от всего стада составляют эти коровы?» — спросил математик у пастуха. «Я выгнал пастись две трети от трети всего стада», -отвечал пастух. Сколько голов скота насчитывается во всем стаде? Ответ. 315 голов. Из сборника "1001 ночь". Одна женщина отправилась в сад собрать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину из собранных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Также она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у нее осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду? Ответ. Если х — число яблок, собранных женщиной в саду, то первому стражнику досталось х/2 яблок, второй получил х/4 яблок, третий - х/8 яблок и четвертый - х/16 яблок. Так как х/16 = 10, то х = 160. Женщина собрала в саду 160 яблок. Из четырех посетителей храма второй дал в 2 раза больше монет, чем первый, третий - в 3 раза больше монет, чем второй, а четвертый - в 4 раза больше монет, чем третий. Всего было дано 132 монеты. Сколько монет дал первый? Ответ. 4 монеты. Древнеиндийская задача. Есть кадамба цветок. На один лепесток Пчелок пятая часть опустилась. Рядом тут же росла вся в цвету сименгда, И на ней третья часть поместилась. Разность их ты найди, трижды их ты сложи, На кутай этих пчел посади. Лишь одна не нашла себе места нигде, Все летала то взад, то вперед И везде ароматом цветов наслаждалась. Назови теперь мне, подсчитавши в уме, Сколько пчелок всего здесь собралось? Ответ. 15 пчел.  Литература Альхова З.Н., Макеева А.В. Внеклассная работа по математике. - Саратов: ОАО "Издательство "Лицей", 2002. Козлова Е.Г. Сказки и подсказки. Задачи для математического кружка. - М.: МЦНМО, 2008. Павлов А.Н. Внеклассная работа. Математические олимпиады по лигам. 5-9 классы. - М.: "Издательство НЦ ЭНАС", 2007. Спивак А.В. Математический кружок. 6-7 классы. - М.: МЦНМО, 2009. Фарков А.В. Математические олимпиады. ко всем программам по математике за 5-6 классы. - М.: Издательство "Экзамен", 2009. Щербакова Ю.В. Занимательная математика на уроках и внеклассных мероприятиях. 5-8 классы. - М.: "Глобус", 2008. |