вероятность. Ваша фамилия записана на карточках (по одной букве на карточке). Карточки перемешали и наугад выкладывают по одной слева направо. Найти вероятность того, что снова получилась ваша фамилия

• Название: Ваша фамилия записана на карточках (по одной букве на карточке). Карточки перемешали и наугад выкладывают по одной слева направо. Найти вероятность того, что снова получилась ваша фамилия
• Дата: 05.11.2022
• Размер: 103.07 Kb.
• Имя файла: вероятность.docx
• Тип: Документы; #771328

Вариант	N	M	K	L	p1	p2	p3	n	m	k1	k2	a	b
4	30	4	3	2	0,8	0,7	0,5	280	300	74	84	0	4	0,6	2

1. 
   Ваша фамилия записана на карточках (по одной букве на карточке). Карточки перемешали и наугад выкладывают по одной слева направо. Найти вероятность того, что снова получилась ваша фамилия.
   

В фамилии Гребнева 8 букв: 2 одинаковых, 6 разных. Вероятность выбрать из 8 букв, 1 букву «е» равна 2/8, вероятность выбрать следующей букву «г» при условии, что буква «е» выбрана, равна 1/7, т.к. букв останется 7. Вероятность выбора буквы «р» равна 1/6, буквы «б» - 1/5, буквы «н» - 1/4, буквы «е» - 1/3, буквы «в» - 1/2 и последней буквы «а» - 1

Искомая вероятность:

2. 
   В лотереи участвуют 30 билетов, из которых 4 выигрышных. Купили 3 билетов. Найти вероятность того, что из них
   

1. 
   не менее 2 выигрышных;
   

; ;

; ;

P=

2. 
   хотя бы один выигрышный;
   

Введем исходное событие: A= (Среди 3 купленных билетов, по крайней мере, один окажется выигрышным), а также противоположное ему событие, которое можно записать как: A¯= (Все три купленных билета будут без выигрыша).

Будем искать вероятность события A¯. Выпишем значения параметров: K=4 выигрышных билетов, N−K=30−4=26 невыигрышных (пустых) билета, всего N=24 билета. Выбираем n=3n=3 билета, из них должно быть k=0k=0 выигрышных и соответственно, n−k=3n−k=3 без выигрыша. Подставляем в формулу (1) и получаем:







P(A¯)=

Тогда вероятность искомого события (что, будет хотя бы один выигрышных билет), равна:

P(A)=1−P(A¯)=1−0.64=0.36.

3. 
   2 выигрышных.
   

3. 
   Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий:
   

а) Сумма выпавших очков равна 8;

в) Сумма очков не превышает 8;

с) Разность очков по модулю меньше 3

Задачи решаются по классической формуле вероятности:

P = m/n, где m — число благоприятствующих исходов n — число всевозможных исходов n = 6·6 = 36.

А вот благоприятствующие исходы m для каждого условия нужно считать

а) Сумма выпавших очков равна 8

m = {(2, 6); (3, 5); (4, 4); (6, 2); (5, 3); (4, 4)} = 6 способов

Тогда: P = m/n = 6/36 = 1/6

в) Сумма выпавших очков не превышает 8

m = {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6); (1,1);

(2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6); (2, 2);

(3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (3, 3);

(4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 4);

(5, 1); (5, 2); (5, 3)

(6, 1); (6, 2)} = 30 способов

Тогда: P = m/n = 30/36 = 5/8

с) Разность очков по модулю меньше 3

m = {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1,1);

(2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 2);

(3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (3, 3);

(4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 4); (4, 5); (4, 6);

(5, 3); (5, 4); (5, 5); (5, 6); (5, 5);

(6, 4); (6, 5); (6, 6); (6, 6)} = 30 способов

Тогда: P = m/n = 30/36 = 5/8

4. 
   Вероятность попадания в цель первым стрелком 0,8, вторым – 0,7, третьим – 0,5. Найти вероятности того, что при одновременном залпе:
   

а) Два стрелка поразят мишень

P2=p1⋅p2⋅q3+p1⋅q2⋅p3+q1⋅p2⋅p3==0.8⋅0.7⋅0.5+0.8⋅0.3⋅0.5+0.2⋅0.7⋅0.5=0.47

в) Хотя бы один стрелок поразит мишень

A = (Хотя бы один выстрел попал в цель) вводим сразу противоположное событие A¯ = (Ни один выстрел не попал в цель, 0 попаданий).

p1=0,8, p2=0,7, p3=0,5, q1=0,2, q2=0,3, q3=0,5

Получаем:

P(A¯) = P0=q1⋅q2⋅q3=0,2⋅0,3⋅0,5=0,03.

Искомая вероятность:

P(A)=1−P(A¯) =1−0,03=0,97.

5. 
   В урне 4 белых и 30 черных шаров. Наудачу по одному извлекают 3 шарf без возвращения. Найти вероятность того, что все 3 извлеченных шаров будут черными.
   

6. 
   Среди производимых первым заводом ламп 8% бракованных, вторым заводом - 7% бракованных, третьим заводом - 6% бракованных. В партии из 1000 ламп 280 изготовлено первым заводом, 300 - вторым, остальные - третьим. Найти вероятность того, что:
   

1. 
   Наудачу выбранная лампа бракованная;
   

2. 
   Выбранная наугад лампа изготовлена на втором заводе, при условии, что она оказалась бракованной.
   

7. 
   Вероятности попадания стрелком в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при четырех испытаниях стрелок попадет:
   

1. 
   Не менее двух раз;
   

Вероятность, что промахнется 1-0,8= 0,2



Вероятность попасть не менее 2 раз из 4 равна 0,99 или 99%

2. 
   Ровно один раз;
   

Вероятность, что промахнется 1-0,8= 0,2

3. 
   Хотя бы один раз.
   

Вероятность попасть хотя бы один раз из 4 равна 0,98 или 98%

8. 
   Произведено 100 независимых испытаний таких, что вероятность успеха в каждом испытании равна 0,8. Найти вероятность того, что
   

1. 
   Число успехов в этих испытаниях равно 74;
   

Решение. По условию задачи  

Так как n – достаточно большое число, воспользуемся локальной формулой Лапласа:


В таблице значений функции    находим φ(1,5)=0,1295.
Следовательно, 
b) Число успехов в этих испытаниях не меньше 74 и не больше 84.

Воспользуемся интегральной формулой Лапласа:

где

По условию задачи   Тогда, воспользовавшись таблицей значений функции Ф(х), получаем:



Ответ: а) ; б) 0,3715.

9. 
   Построить биномиальный закон распределения с параметрами n, p (n=M из задачи 2, из p=p1 задачи 4). Вычислить для него математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
   

Построить биномиальный закон распределения с параметрами 4, 0.8

Случайная величина X имеет область значений (0,1,2,...,n). Вероятности этих значений можно найти по формуле:

P_n(m) = C^m_np^mq^n-m

где C^m_n - число сочетаний из n по m.
Найдем ряд распределения X.

P₄(0) = (1-p)ⁿ = (1-0.8)⁴ = 0.0016

P₄(1) = np(1-p)^n-1 = 4(1-0.8)^4-1 = 0.0256

P₄(4) = pⁿ = 0.8⁴ = 0.41

Математическое ожидание.

M[X] = np = 4x0.8 = 3.2

Дисперсия.

D[X] = npq = 4x0.8x(1-0.8) = 0.64

Проверим найденные числовые характеристики исходя из закона распределения.

xi	0	1	2	3	4
pi	0.0016	0.026	0.15	0.41	0.41

Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x_ip_i.

Математическое ожидание M[X].

M[x] = 0*0.0016 + 1*0.0256 + 2*0.154 + 3*0.41 + 4*0.41 = 3.2

Дисперсию находим по формуле d = ∑x²_ip_i - M[x]².

Дисперсия D[X].

D[X] = 0²*0.0016 + 1²*0.0256 + 2²*0.154 + 3²*0.41 + 4²*0.41 - 3.2² = 0.64

Среднее квадратическое отклонение σ(x).

10. 
    Функция распределения непрерывной случайной величины Х равна
    

Найти функцию плотности вероятности, построить графики функции распределения и функции плотности. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, .

Решение:

Найдем плотность распределения f(x), как производную от функции распределения F(x):
f(x) = dF(x)/dx = 4*x³
Плотность распределения f(x):
0, x ≤ 0
4*x³, 0 < x < 1
0, x ≥ 1
Математическое ожидание.

M[x] = b∫ax·f(x) dx

Дисперсия.

D[x] = b∫ax²·f(x) dx - M[x]²


= = = 2* - - =
Среднеквадратическое отклонение.


Вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала [a,b] равна: P(a < x < b) = F(b) - F(a)

P(0.6 < x < 2) = F(2) - F(0.6) = (2-4 - (0.6-4 = 1 - 0.1296 = 0.8704


11. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины Х равна



Найти коэффициент с, функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение

Найдем параметр C из условия:

b∫af(x)·dx = 1


Для нашей функции:

1∫0A·(x-4)dx = 1

или

-7·A/2-1 = 0


Откуда, C = -2/7
Функция распределения.

F(x) = x∫-∞f(x)dx
F(x) = 0∫-∞0·dx = 0, x ≤ 0

F(x) = 1, x > 1


Математическое ожидание.

M[x] = b∫ax·f(x) dx


= = = -2* +4* - =
Дисперсия.

D[x] = b∫ax²·f(x) dx - M[x]²


= = = - +8* - - =
Среднеквадратическое отклонение.

12. 
    Известны математическое a ожидание и дисперсия b случайной величины Х, распределенной по нормальному закону. Найти .
    

Решение:
Среднеквадратическое отклонение:

Вероятность попадания величины X в заданный интервал (α ; β).

где Ф(x) — функция Лапласа