Магистерская работа. Магистерская курсач. Вдосконалення методу апроксимації даних
 Скачать 1.66 Mb.
|
|
1 НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ «КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ імені ІГОРЯ СІКОРСЬКОГО» Приладобудівний факультет Кафедра приладів і систем орієнтації і навігації «На правах рукопису» УДК 001.891.573: 519.651: 519.654 «До захисту допущено» Завідувач кафедри __________ Н. І., Бурау «___»_____________20__ р. Магістерська дисертація на здобуття ступеня магістра зі спеціальності 151 «Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології» («Комп'ютерно-інтегровані технології та системи навігації і керування») на тему: «Вдосконалення методу апроксимації даних» Виконала: студентка VI курсу, групи ПГ- 71мп Коменчук Ірина Євгеніївна __________ Керівник: к.т.н., доцент, Цибульник С.О. __________ Консультант з Розроблення стартап-проекту: к.е.н., доцент, Бояринова К.О. __________ Рецензент: __________ Засвідчую, що у цій магістерській дисертації немає запозичень з праць інших авторів без відповідних посилань. Студентка _____________ Київ – 2018 року 2 3 РЕФЕРАТ Завдання застосування тих чи інших методів наближення (апроксимації та інтерполяції) функцій і сигналів досить часто постає перед дослідниками і інженерами в різних областях науки і техніки. Ці області, як і множина методів наближення функцій, є доволі широкими і різноманітними. Вони використовуються при виконанні математичних розрахунків (найчастіше в економіці та соціології), для математичного моделювання (наприклад, прогнозування), при проектуванні обладнання, систем технічного зору, високоякісного медичного обладнання, а також систем багатокласової діагностики. У зв’язку з цим основними завданнями апроксимації даних у всіх вище перерахованих випадках є: знаходження математичного опису для дискретних даних (тобто встановлення аналітичної залежності між виміряними відліками сигналів для подальшого прогнозування можливих значень виміряної величини у майбутньому); відновлення втрачених даних при передачі сигналів через наявність опору в електричному дроті або втрата пакетів при передачі через оптичні лінії зв’язку; відновлення вихідних даних у процесі кодування та декодування сигналів; розпізнавання зображень та їх покращення; відновлення при архівації та стисненні даних. Отже, задача точного наближення виміряних даних є дуже актуальною в наш час. Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведені в дисертації дослідження пов’язані з науково-дослідними роботами, серед яких: «Методологія багатокласової діагностики складних просторових об‘єктів. 4 Метою дисертаційноїроботи є розробка алгоритмічного та програмного забезпечення апроксимації даних вимірювань за допомогою попереднього використання алгоритмів інтерполяції, а також рекомендації щодо його ефективного використання в системах багатокласової діагностики. Досягнення мети передбачає вирішення наступних задач: огляд та вибір методу апроксимації даних для системи багатокласової діагностики; огляд існуючих методів інтерполяції; дослідження ефективності інтерполяційних алгоритмів при використанні ідеальних (змодельованих) сигналів різної фізичної природи; розробка алгоритмічного забезпечення апроксимації даних за рахунок попереднього використання методів інтерполяції; розробка програмного забезпечення апроксимації даних в математичному пакеті MATLAB або на інших мовах програмування; розробка рекомендацій щодо ефективного використання розробленого програмного забезпечення в системах багатокласової діагностики. Об’єктом дослідження є процес апроксимації даних вимірювань в системах багатокласової діагностики. Предметом дослідження є вдосконалення існуючих алгоритмів апроксимації даних, підвищення їх точності за рахунок попереднього використання інтерполяційних алгоритмів. Методи дослідження – математичне моделювання процесів у програмному середовищі пакета MATLAB для дослідження використання інтерполяційних алгоритмів при апроксимації даних вимірювань в системах багатокласової діагностики. Наукова новизна дисертації полягає в наступному: вдосконалено метод апроксимації даних за рахунок розбиття початкового сигналу на відрізки рівної довжини, коригування апроксимованих 5 даних на стиках сусідніх відрізків, а також вибору (за допомогою порівняння коефіцієнта детермінації) найкращого поліному (з першого по п’ятий порядок) для апроксимації; вдосконалено метод апроксимації даних за рахунок використання алгоритмів інтерполяції для коригування довжини початкового сигналу. Практичне значення отриманих результатів визначається розробкою алгоритмічного та програмного забезпечення на основі розроблених методик, рекомендацій та математичних моделей, які можуть застосовуватись у складових блоках систем багатокласової діагностики. Розроблено рекомендації щодо ефективного використання розробленого програмного забезпечення в системах багатокласової діагностики. Можливе впровадження результатів у навчальний процес або наукову тему. Апробація результатів дисертації відбулася на наступних конференціях: новые направления развития приборостроения, БНТУ, приборостроительный факультет, Минск, 2017; погляд у майбутнє приладобудування, КПІ ім. Ігоря Сікорського, приладобудівний факультет, Київ, 2017; VIII Міжнародна Антарктична конференція, присвячена 25-річчю приєднання України до Договору про Антарктику, КПІ ім. Ігоря Сікорського, Київ, 2017. Публікації. За матеріалами дисертації було отримано два авторських свідоцтва України на комп’ютерні програми, опубліковано 3 тези доповідей на науково-практичних конференціях та 3 статті у фахових виданнях України. Структура дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, переліку посилань. Загальний обсяг дисертації становить 102 сторінок, 27 малюнків, 35 таблиць, 54 положення переліку посилань. СИСТЕМА БАГАТОКЛАСОВОЇ ДІАГНОСТИКИ, ІНТЕРПОЛЯЦІЯ, АПРОКСИМАЦІЯ, МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ, МЕТОД ЛАГРАНЖА 6 ABSTRACT The task of applying certain methods of approximation (approximation and interpolation) of functions and signals often appears to researchers and engineers in various fields of science and technology. These areas, as well as the set of methods for the approximation of functions, are quite wide and varied. They are used in mathematical calculations (most often in economics and sociology), for mathematical modeling (for example, prediction), in the design of equipment, systems of technical vision, high-quality medical equipment, as well as systems of multi-class diagnostics. In connection with this, the main tasks of data approximation in all the above cases are: • finding a mathematical description for discrete data (establishing an analytical dependence between measured signal samples for further prediction of possible values of the measured value in the future); • recovery of lost data in the transmission of signals due to the presence of resistance in the electric wire or the loss of packets when transmitted through optical communication lines; • restoring output data in the process of encoding and decoding signals; • image recognition and enhancement; • recovery when archiving and compressing data. Consequently, the problem of accurate approximation of measured data is very relevant in our time. Relationship of work with scientific programs, plans, themes. Researches carried out in the dissertation are connected with research work, among which: "Methodology of multiclass diagnostics of complex spatial objects. The purpose of the dissertation is to develop algorithms and software for the approximation of measured data with the help of preliminary use of interpolation algorithms, as well as recommendations for its effective use in systems of multi-class diagnostics. Achieving the goal involves solving the following tasks: 7 • review and select the method for data approximation for a multi-class diagnostic system; • review of existing interpolation methods; • research of the efficiency of interpolation algorithms using ideal (simulated) signals of different physical nature; • development of algorithmic support for data approximation at the expense of preliminary use of interpolation methods; • development of data approximation software in the MATLAB mathematical package or in other programming languages; • development of recommendations for the effective use of the developed software in systems of multi-class diagnostics. The object of the study is the process of approximation of the measured by multi-class diagnostic systems data. The subject of the study is the improvement of existing algorithms for data approximation, increasing their accuracy due to the previous use of interpolation algorithms. Research methods – mathematical modeling of processes in the software environment of the MATLAB package for the study of the use of interpolation algorithms for the approximation of measured by multiclass diagnostic systems data. The scientific novelty of the dissertation is as follows: • improved the method of data approximation by splitting the initial signal into segments of equal length, adjusting the approximated data at the junctions of adjacent segments, and also selecting (by comparing the determination coefficient) the best polynomial (from the first to the fifth order) for approximation; • The method of data approximation is improved by using interpolation algorithms to adjust the length of the original signal. The practical significance of the obtained results is determined by the development of algorithms and software based on the developed techniques, recommendations and mathematical models that can be used in the component blocks 8 of multi-class diagnostic systems. Recommendations on effective use of the developed software in systems of multiclass diagnostics are developed. Approbation of the results of the dissertation took place at the following conferences: • New trends in instrument making development, BNTU, Instrument-making Faculty, Minsk, 2017; • A look at the future of instrument making, Igor Sikorsky KPI, Instrument- making Faculty, Kyiv, 2017; • VIII International Antarctic Conference dedicated to the 25th anniversary of Ukraine's accession to the Antarctic Treaty, Igor Sikorsky KPI, Kyiv, 2017. Publications. On the basis of the dissertation materials, two author's certificates of Ukraine were received on computer programs, 3 reports at scientific-practical conferences and 3 articles in professional editions of Ukraine were published. Structure of the dissertation. The dissertation consists of an introduction, four sections, conclusions, a list of references. The total volume of the dissertation is 102 pages, 27 drawings, 35 tables, 54 positions of the reference list. SYSTEM OF MULTICLASS DIAGNOSTICS, INTERPOLATION, APROXIMATION, METHOD OF LEAST SQUARES, LAGRANGE METHOD 9 ЗМІСТ ВСТУП…………………………………………………………………………… 11 1 ОГЛЯД СТАНУ ПРОБЛЕМИ………………………………………………… 16 1.1 Апроксимація даних вимірювань………………………………………. 18 1.2 Багатокласова діагностика……………………………………………… 20 1.3 Огляд існуючих методів апроксимації даних…………………………. 24 1.4 Методи інтерполяції……………………………………………………... 27 1.5 Огляд досвіду інших авторів……………………………………………. 29 1.6 Мета і завдання досліджень…………………………………………….. 33 2 ІНТЕРПОЛЯЦІЯ ЗМОДЕЛЬОВАНИХ ІДЕАЛЬНИХ СИГНАЛІВ………... 35 2.1 Інтерполяційний метод Лагранжа……………………………………… 35 2.2 Інтерполяція методом Лагранжа……………………………………….. 38 2.2.1 Дослідження гармонічної функції з частотою 20Гц………………….. 38 2.2.2 Дослідження гармонічної функції з частотою 200Гц………………… 43 2.3 Порівняння результатів досліджень…………………………………… 44 2.4 Результати інтерполяції неперіодичного знакозмінного сигналу…… 51 Висновки до розділу 2…………………………………………………………... 54 3 ВДОСКОНАЛЕННЯ МЕТОДУ АПРОКСИМАЦІЇ ДАНИХ………………. 56 3.1 Метод найменших квадратів……………………………………………. 56 3.2 Огляд недоліків методу найменших квадратів………………………… 60 3.3 Вдосконалення методу апроксимації даних…………………………… 63 3.4 Рекомендації щодо використання вдосконаленого методу в системах багатокласової діагностики……………………………………………... 75 Висновки до розділу 3…………………………………………………………... 76 4 РОЗРОБЛЕННЯ СТАРТАП ПРОЕКТУ……………………………………… 78 4.1 Опис ідеї проекту………………………………………………………... 78 4.2 Технологічний аудит ідеї проекту……………………………………… 80 4.3 Аналіз ринкових можливостей запуску стартап-проекту…………….. 81 10 4.4 Розроблення ринкової стратегії проекту………………………………. 88 4.5 Розроблення маркетингової програми стартап-проекту……………… 90 Висновки до розділу 4…………………………………………………………... 93 ВИСНОВКИ……………………………………………………………………... 95 ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ………………………………………………………….. 97 11 ВСТУП В якості основного інструментарію більшості завдань [1], пов'язаних з моніторингом та діагностикою складних будівельних та інженерних об’єктів, моделюванням процесів геофізичного, економічного і технічного характеру, використовуються регресійні методики апроксимації даних вимірювань. При цьому вибір оптимальної формули представлення даних, як емпіричної моделі процесу, відіграє визначальну роль, але є непростим завданням. Особливо ці труднощі характерні для степеневих і показникових нелінійних, аперіодичних і квазіперіодичних коливальних і інших складних видів функції. Часто в діагностиці виникає необхідність отримувати рішення математичних задач в числовій формі. При цьому для багатьох задач відомо тільки про існування рішення, але не існує кінцевої формули [2]. Тому постає завдання перетворення однієї форми задання функціональної залежності в іншу – перетворення табличної форми задання даних (результатів вимірювань) в аналітичну (побудова математичної моделі) [1]. Навіть при наявності такої аналітичної формули, її використання для дослідження специфічних випадків стану об’єкта може виявитися неефективним. Нарешті, завжди існує необхідність вирішувати і такі математичні завдання, для яких строгі докази існування рішення на даний момент відсутні [2]. У всіх цих випадках використовуються методи наближеного, у першу чергу чисельного, рішення. Як правило, алгоритми наближеного рішення базуються на тому, що вихідна математична задача замінюється деякою більш простою або частіше послідовністю більш простих завдань. Вирішення цих більш простих завдань трактується як наближене рішення задачі вихідної. Тобто, фактично використовується деяка модель вихідної задачі (апроксимація). Одним з важливих етапів вивчення явища за допомогою його математичної моделі, яка являє собою апроксимацію виміряних даних, що описують дане явище, є з'ясування того, чи задовольняє прийнята гіпотетична модель критерію практики, тобто з'ясування питання про те чи узгоджуються результати 12 спостережень з теоретичними наслідками моделі в межах точності спостережень. У зв'язку з цим необхідна перевірка на адекватність (відповідність властивостям реального об'єкта) даної математичної моделі, причому точність моделі (апроксимації) повинна бути більше точності спостережень (похибка моделі повинна бути меншою, ніж похибка спостережень). Точність вимірювання – характеристика вимірювання, що показує ступінь приближення його результатів до істинного значення вимірюваної величини. Завдання апроксимації встає досить часто перед дослідниками і інженерами в різних областях науки і техніки. Області, де можна застосувати ті чи інші методи вирішення завдань наближення функцій і сигналів досить широкі і різноманітні [3]. Вони використовуються при виконанні математичних розрахунків, математичного моделювання; при проектуванні комунікаційного обладнання, систем технічного зору, високоякісного звуковідтворювального та медичного обладнання; застосовуються в економіці та соціології, а також в технічній діагностиці. У зв’язку з цим основними завданнями апроксимації даних у всіх вище перерахованих випадках є: знаходження математичного опису для дискретних даних, тобто встановлення залежності між виміряними відліками сигналів для подальшого прогнозування можливих значень виміряної величини у майбутньому; відновлення втрачених даних при передачі сигналів через наявність опору в електричному дроті або втрата пакетів при передачі через оптичні лінії зв’язку; відновлення вихідних даних в процесі кодування та декодування сигналів; розпізнавання зображень та їх покращення; відновлення при архівації та стисненні даних. Отже, метою використання апроксимації у більшості випадків є відновлення втрачених вихідних даних, але в технічній діагностиці насамперед важливо спрогнозувати поведінку вимірюваного параметру у майбутньому для оцінки залишкового ресурсу. Проте в більшості технічних систем задача прогнозування є невирішеною, оскільки існуючий математичний апарат та алгоритми апроксимації у деяких випадках виявляються неефективними і не 13 дозволяють знайти аналітичний опис виміряної величини з достатньою швидкодією та точністю. Тому розробка нових підходів до апроксимації даних вимірювань є надзвичайно важливою і актуальною задачею при прогнозуванні в системах багатокласової діагностики. Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведені в дисертації дослідження пов’язані з науково-дослідними роботами, серед яких: «Методологія багатокласової діагностики складних просторових об‘єктів. Метою дисертаційноїроботи є розробка алгоритмічного та програмного забезпечення апроксимації даних вимірювань за допомогою попереднього використання алгоритмів інтерполяції, а також рекомендації щодо його ефективного використання в системах багатокласової діагностики. Досягнення мети передбачає вирішення наступних задач: огляд та вибір методу апроксимації даних для системи багатокласової діагностики; огляд існуючих методів інтерполяції; дослідження ефективності інтерполяційних алгоритмів при використанні ідеальних (змодельованих) сигналів різної фізичної природи; розробка алгоритмічного забезпечення апроксимації даних за рахунок попереднього використання методів інтерполяції; розробка програмного забезпечення апроксимації даних в математичному пакеті MATLAB або на інших мовах програмування; розробка рекомендацій щодо ефективного використання розробленого програмного забезпечення в системах багатокласової діагностики. |