Магистерская работа. Магистерская курсач. Вдосконалення методу апроксимації даних
 Скачать 1.66 Mb.
|
|
2.2.2 Дослідження гармонічної функції з частотою 200Гц Для порівняння збільшимо частоту синусоїди в десять разів, тобто для подальших досліджень використаємо синусоїду з частотою 200 Гц. Оскільки графіки інтерполяції отримані у даному дослідження мають схожий характер з попереднім випадком, то вони наведені не будуть. З результатів дослідження, отриманих при р=1, N=512 та частоті дискретизації =102400Гц, можна зробити висновок, що для 17 вузлів похибка 44 найменша і складає 2,1391 ∙ 10 %. З результатів дослідження, отриманих при р=2, N=512 та частоті дискретизації =51200Гц, можна зробити висновок, що для 33 вузлів похибка найменша і складає 4,201 ∙ 10 %. З результатів дослідження, отриманих при р=3, N=512 та частоті дискретизації =34133,33Гц, можна зробити висновок, що для 33 вузлів похибка найменша і складає 3,97 ∙ 10 %. З результатів дослідження, отриманих при р=4, N=512 та частоті дискретизації =25600Гц, можна зробити висновок, що для 33 вузлів похибка найменша і складає 1,1421 ∙ 10 %. З результатів дослідження, отриманих при р=5, N=512 та частоті дискретизації =20480Гц, можна зробити висновок, що для 33 вузлів похибка найменша і складає 0,0106%. З результатів дослідження, отриманих при р=6, N=512 та частоті дискретизації =17066,67Гц, можна зробити висновок, що для 33 вузлів похибка найменша і складає 2,2872%. Враховуючи той факт, що для 512 відліків, у більшості випадків найкращий результат був отриманий (як і у випадку синусоїди з частотою 20Гц) при виборі 33 вузлів інтерполяції, зведемо усі дані в загальну таблицю. 2.3 Порівняння результатів досліджень Додатково було проведено дослідження гармонічної функції з частотою 2Гц. Усі отримані значення похибок було зведено в таблиці (табл. 2.7-табл. 2.12). Таблиця 2.7 – Результати моделювання для одного періоду 1 2 3 4 5 6 Кількість вузлів 512 1024 2048 4096 8192 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (5 вузлів інтерполяції), % 45 Продовження таблиці 2.7 1 2 3 4 5 6 2Гц 7.3052 7.4028 7.4518 7.4763 7.4886 200Гц 7.3052 7.4028 7.4518 7.4763 7.4886 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (9 вузлів інтерполяції), % 2Гц 0.0414 0.0425 0.0431 0.0434 0.0436 20Гц 0.0414 0.0425 0.0431 0.0434 0.0436 200Гц 0.0414 0.0425 0.0431 0.0434 0.0436 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (17 вузлів інтерполяції), % 2Гц 2.14 ∙ 10 2.16∙ 10 2.23∙ 10 2.26∙ 10 2.28∙ 10 20Гц 2.14 ∙ 10 2.16∙ 10 2.23∙ 10 2.26∙ 10 2.28∙ 10 200Гц 2.14 ∙ 10 2.16∙ 10 2.23∙ 10 2.26∙ 10 2.28∙ 10 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (33 вузлів інтерполяції), % 2Гц 5.63 ∙ 10 3.83∙ 10 5.8∙ 10 6.2 ∙ 10 7.31∙ 10 20Гц 4.96 ∙ 10 6.33∙ 10 8.2∙ 10 6.17∙ 10 9.96∙ 10 200Гц 3.98 ∙ 10 3.6∙ 10 8.68∙ 10 8.01∙ 10 9.75∙ 10 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (65 вузлів інтерполяції), % 2Гц 1099.3 1167.5 1239.6 1520.5 1373.3 20Гц 866.0951 754.4895 664.4495 1529.9 1333.9 200Гц 1020 709.0207 1213.7 932.7034 1436.3 Таблиця 2.8 – Результати моделювання для двох періодів 1 2 3 4 5 6 Кількість вузлів 512 1024 2048 4096 8192 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (5 вузлів інтерполяції), % 2Гц 50.4108 50.2106 50.1066 50.0536 50.0269 20Гц 50.4108 50.2106 50.1066 50.0536 50.0269 200Гц 50.4108 50.2106 50.1066 50.0536 50.0269 46 Продовження таблиці 2.8 1 2 3 4 5 6 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (9 вузлів інтерполяції), % 2Гц 10.5739 10.9346 11.1181 11.2106 11.257 20Гц 10.5739 10.9346 11.1181 11.2106 11.2570 200Гц 10.5739 10.9346 11.1181 11.2106 11.257 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (17 вузлів інтерполяції), % 2Гц 0.0019 0.002 0.0021 0.0021 0.0022 20Гц 0.0019 0.002 0.0021 0.0021 0.0022 200Гц 0.0019 0.002 0.0021 0.0021 0.0022 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (33 вузлів інтерполяції), % 2Гц 3.46 ∙ 10 5.59 ∙ 10 5.67 ∙ 10 7.1 ∙ 10 7.22 ∙ 10 20Гц 4.95 ∙ 10 6.33 ∙ 10 8.2 ∙ 10 6.17 ∙ 10 9.96 ∙ 10 200Гц 4.2 ∙ 10 4.12 ∙ 10 7.83 ∙ 10 6.89 ∙ 10 8.51 ∙ 10 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (65 вузлів інтерполяції), % 2Гц 1054.6 1050.4 964.7692 1394.2 1544.5 20Гц 866.0951 754.4895 664.4495 1529.9 1333.9 200Гц 930.8113 595.3004 1363.1 1007.6 1163.9 Таблиця 2.9 – Результати моделювання для трьох періодів 1 2 3 4 5 6 Кількість вузлів 512 1024 2048 4096 8192 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (5 вузлів інтерполяції), % 2Гц 86.1196 85.6318 85.3818 85.2552 85.1912 47 Продовження таблиці 2.9 1 2 3 4 5 6 20Гц 86.1196 85.6318 85.3818 85.2552 85.1912 200Гц 86.1196 85.6318 85.3818 85.2552 85.1912 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (9 вузлів інтерполяції), % 2Гц 98.466 103.4896 106.0601 107.3592 108.0114 20Гц 98.466 103.4896 106.0601 107.3592 108.0114 200Гц 98.466 103.4896 106.0601 107.3592 108.0114 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (17 вузлів інтерполяції), % 2Гц 1.0449 1.1228 1.1634 1.1843 1.1948 20Гц 1.0449 1.1228 1.1634 1.1843 1.1948 200Гц 1.0449 1.1228 1.1634 1.1843 1.1948 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (33 вузлів інтерполяції), % 2Гц 5.28 ∙ 10 4.22 ∙ 10 7.31 ∙ 10 9.5 ∙ 10 7.91 ∙ 10 20Гц 7.84 ∙ 10 8.53 ∙ 10 5.92 ∙ 10 9.23 ∙ 10 7.92 ∙ 10 200Гц 3.97 ∙ 10 4.09 ∙ 10 4.78 ∙ 10 7.15 ∙ 10 1.15 ∙ 10 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (65 вузлів інтерполяції), % 2Гц 532.8756 847.2001 1762.8 1702.4 1738.5 20Гц 1113 1069.6 986.1128 1529.9 1540.9 200Гц 962.4274 1394.9 1214.4 1059.2 1560.6 Таблиця 2.10 – Результати моделювання для чотирьох періодів 1 2 3 4 5 6 Кількість вузлів 512 1024 2048 4096 8192 48 Продовження таблиці 2.10 1 2 3 4 5 6 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (5 вузлів інтерполяції), % 2Гц 52.5484 51.2739 50.6368 50.3184 50.1592 20Гц 52.5484 51.2739 50.6368 50.3184 50.1592 200Гц 52.5484 51.2739 50.6368 50.3184 50.1592 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (9 вузлів інтерполяції), % 2Гц 56.1656 53.0890 51.5456 50.7731 50.3866 20Гц 56.1656 53.089 51.5456 50.7731 50.3866 200Гц 56.1656 53.089 51.5456 50.7731 50.3866 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (17 вузлів інтерполяції), % 2Гц 58.234 63.2751 65.8840 67.2187 67.8956 20Гц 58.234 63.2751 65.884 67.2187 67.8956 200Гц 58.234 63.2751 65.884 67.2187 67.8956 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (33 вузлів інтерполяції), % 2Гц 1.16 ∙ 10 1.17 ∙ 10 1.22 ∙ 10 1.26 ∙ 10 1.32 ∙ 10 20Гц 1.14 ∙ 10 1.14 ∙ 10 1.22 ∙ 10 1.28 ∙ 10 1.28 ∙ 10 200Гц 1.14 ∙ 10 1.17 ∙ 10 1.22 ∙ 10 1.28 ∙ 10 1.32 ∙ 10 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (65 вузлів інтерполяції), % 2Гц 958.8199 1071.6 967.508 1637.2 1625.1 20Гц 703.6048 749.5981 854.4877 1455.3 1512.3 200Гц 788.8204 668.9573 1427.1 1062.3 1180.5 49 Таблиця 2.11 – Результати моделювання для п’яти періодів 1 2 3 4 5 6 Кількість вузлів 512 1024 2048 4096 8192 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (5 вузлів інтерполяції), % 2Гц 99.3848 98.5572 98.1212 97.9007 97.7903 20Гц 99.3848 98.5572 98.1212 97.9007 97.7903 200Гц 99.3848 98.5572 98.1212 97.9007 97.7903 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (9 вузлів інтерполяції), % 2Гц 215.7521 212.8211 211.2239 210.3783 209.9427 20Гц 215.7521 212.8211 211.2239 210.3783 209.9427 200Гц 215.7521 212.8211 211.2239 210.3783 209.9427 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (17 вузлів інтерполяції), % 2Гц 780.2773 862.5810 905.9279 928.1638 939.424 20Гц 780.2773 862.581 905.9279 928.1638 939.424 200Гц 780.2773 862.581 905.9279 928.1638 939.424 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (33 вузлів інтерполяції), % 2Гц 0.0106 0.0106 0.0113 0.0118 0.012 20Гц 0.0106 0.0106 0.0113 0.0118 0.012 200Гц 0.0106 0.0106 0.0113 0.0118 0.012 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (65 вузлів інтерполяції), % 2Гц 1197.7 1393.7 1518.8 1553 1361 20Гц 1191.7 895.2954 1595.9 1353.9 1759.6 200Гц 855.1122 601.9304 1115.4 1377.4 1864.3 Таблиця 2.12 – Результати моделювання для шести періодів 1 2 3 4 5 6 Кількість вузлів 512 1024 2048 4096 8192 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (5 вузлів інтерполяції), % 2Гц 53.3239 51.6681 50.8389 50.4198 50.2102 50 Продовження таблиці 2.12 1 2 3 4 5 6 20Гц 53.3239 51.6681 50.8389 50.4198 50.2102 200Гц 53.3239 51.6681 50.8389 50.4198 50.2102 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (9 вузлів інтерполяції), % 2Гц 79.3792 77.4538 77.2793 77.7934 78.0488 20Гц 79.3792 77.4538 77.2793 77.7934 78.0488 200Гц 79.3792 77.4538 77.2793 77.7934 78.0488 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (17 вузлів інтерполяції), % 2Гц 3378.7 3885.1 4155.5 4294.3 4364.7 20Гц 3378.7 3885.1 4155.5 4294.3 4364.7 200Гц 3378.7 3885.1 4155.5 4294.3 4364.7 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (33 вузлів інтерполяції), % 2Гц 2.2872 2.2835 2.4814 2.5867 2.64 20Гц 2.2872 2.2835 2.4814 2.5867 2.64 200Гц 2.2872 2.2835 2.4814 2.5867 2.64 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (65 вузлів інтерполяції), % 2Гц 529.5996 1500.8 1254.8 1173.6 1849.7 20Гц 977.3028 883.551 965.8064 1353.9 1586 200Гц 818.5981 1241.4 1090.2 1308.5 1633.6 Неправильний вибір кількості відліків інтерполяції поліномами Лагранжа призводить до появи методичних похибок, які, у свою чергу, проявляються у вигляді екстремумів на краях відрізку інтерполяції. Один з прикладів даної похибки зображено на рис. 2.7. 51 Рисунок 2.7 – Результати моделювання при р=6, N=512 та частоті дискретизації =17066,67Гц 2.4 Результати інтерполяції неперіодичного знакозмінного сигналу Для інтерполяції неперіодичного знакозмінного сигналу обрано перехідну функцію виду: = + ( ) ∙ (2.11) де а, , с – константи; а – постійна складова сигналу або його математичне сподівання; b – характеризує амплітуду коливань; = 2 , де f – циклічна частота сигналу, Гц. Результати інтерполяції наведено у таблиці 2.13. Таблиця 2.13 – Результати моделювання 1 2 3 4 5 6 Кількість вузлів 512 1024 2048 4096 8192 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (5 вузлів інтерполяції), % 52 Продовження таблиці 2.13 1 2 3 4 5 6 2Гц 0.0028 55.3057 55.1369 55.0515 55.0081 20Гц 0.0101 93.0471 92.6664 92.4685 92.3689 200Гц 0.0106 97.9942 97.5632 97.3461 97.2364 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (9 вузлів інтерполяції), % 2Гц 78.7848 79.8514 80.3635 80.6143 80.7387 20Гц 154.4951 151.8775 150.4431 149.6923 149.3096 200Гц 208.3777 205.4823 203.9013 203.0676 202.6384 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (17 вузлів інтерполяції), % 2Гц 355.7374 360.0767 361.9151 362.8146 363.2718 20Гц 694.1681 680.3734 672.9684 682.9004 691.8195 200Гц 755.8367 836.2039 878.5442 900.29 911.295 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (33 вузлів інтерполяції), % 2Гц 0.0028 0.0033 0.0035 0.0037 0.0037 20Гц 0.0101 0.0102 0.0102 0.0102 0.0102 200Гц 0.0106 0.0106 0.011 0.0115 0.0117 Частота сигналу f, Гц Відносна похибка (65 вузлів інтерполяції), % 2Гц 1113.4 1119.6 1351.2 1285.3 1214.6 20Гц 1119.8 1000.1 1616.7 1373.3 1680.3 200Гц 900.8418 646.9831 1189.3 1440.3 1.868.4 Для такого типу функції притаманні ті ж самі недоліки, як і при інтерполюванні гармонічної функції(рис.2.8), а саме: 1. При неправильному виборі кількості вузлів інтерполяції (як занадто малому так і занадто великому) проявляються методичні похибки, які призводять до значного збільшення максимального значення відносної похибки. 2. При виборі занадто великої кількості вузлів інтерполяції розрахунок за допомогою цифрових пристроїв (наприклад, персонального комп’ютера) стає неможливим через вихід розрахованих значень за межі відповідних типів даних. 53 У результаті такого розрахунку отримується величина NaN (Not a Number, рис. 2.10). а) б) Рисунок 2.8 – Результати моделювання при N=512 та частоті дискретизації =4096Гц: а) графік функції; б) графік похибок а) б) Рисунок 2.9 – Результати моделювання при N=512 та частоті дискретизації =4096Гц: а) графік функції; б) графік похибок Отже, проаналізувавши результати інтерполяції поліномами Лагранжа, як для періодичних, так і для неперіодичних функцій, можна зробити висновок, що 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Час, с -4 -2 0 2 10 -4 Графік абсолютної похибки 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Час, с 0 0.005 0.01 Графік відносної похибки 54 точність методу у значній мірі залежить від кількості коливань в межах розглянутих довжин сигналу. Рисунок 2.10 – Результати моделювання при виборі занадто великої кількості вузлів інтерполяції Висновки до розділу 2 У ході виконання другого розділу було отримано наступні результати: 1. Проведено огляд та математичний опис методу інтерполяційних поліномів Лагранжа. 2. Враховуючи аналітичний опис методу інтерполяційних поліномів Лагранжа та блок схему його алгоритму, розроблено програмне забезпечення для інтерполяції дискретних сигналів у програмному середовищі математичного пакету MatLab. 3. У якості досліджуваних сигналів було обрано гармонічну функцію вигляду = + ( ) (де а, , с – константи; а – постійна складова сигналу або його математичне сподівання; b – характеризує амплітуду коливань; = 2 , де f – циклічна частота сигналу, Гц), а також перехідний процес виду = + ( ) ∙ (де а, , с – константи; а – постійна складова сигналу або його математичне сподівання; b – характеризує амплітуду коливань; = 2 , де f – циклічна частота сигналу, Гц). Розглянуто наступні умови: а) довжина сигналу 512, 1024, 2048, 4096, 8192 відліків; б) кількість періодів (тільки для періодичних сигналів) від 1 до 6; в) кількість вузлів інтерполяції 5, 9, 17, 33, 65. 55 4. Проведено порівняння результатів інтерполяції синусоїд з частотами 2Гц, 20Гц та 200Гц. Показано, що для більшості випадків використання інтерполяційних поліномів Лагранжа дає найкращий результат при виборі 33 вузлів інтерполяції. Показано, що при виборі 33 вузлів інтерполяції мінімум максимальної відносної похибки для періодів 1,2 та 3 знаходиться в межах 10 %, для усіх інших порядок похибки зростає і для 6 періодів знаходиться в межах 3%. 5. Проведено порівняння результатів інтерполяції перехідного процесу з частотами 2Гц, 20Гц та 200Гц. Показано, що для більшості випадків використання інтерполяційних поліномів Лагранжа дає найкращий результат при виборі 33 вузлів інтерполяції. Показано, що при виборі 33 вузлів інтерполяції мінімум максимальної відносної похибки знаходиться в межах 10 %. 6. Показано, що для обраних періодичної та не періодичної функцій результат інтерполяції поліномами Лагранжа практично не залежить від частоти дискретизації, частоти сигналу та його довжини. 7. Показано, що зі збільшенням кількості коливань у досліджуваному проміжку збільшується похибка інтерполяції. 56 РОЗДІЛ 3 ВДОСКОНАЛЕННЯ МЕТОДУ АПРОКСИМАЦІЇ ДАНИХ Метод найменших квадратів (МНК) – один з найбільш широко використовуваних методів при вирішенні багатьох завдань відновлення регресійних залежностей [49]. Вперше МНК був використаний Лежандром в 1806 році для вирішення завдань небесної механіки на основі експериментальних даних астрономічних спостережень. У 1809 році Гаусс виклав статистичну інтерпретацію МНК і тим самим дав початок широкого застосування статистичних методів при вирішенні завдань відновлення регресійних залежностей. Суворе математичне обґрунтування і встановлення меж змістовної застосовності методу найменших квадратів дані А.А. Марковим і А.Н. Колмогоровим. Нині спосіб являє собою один з найважливіших розділів математичної статистики і широко використовується для статистичних висновків в різних областях науки і техніки. Саме тому у даному розділі обрано МНК, як метод для вдосконалення. 3.1 Метод найменших квадратів Метод найменших квадратів – це математичний метод, що використовується для знаходження наближеної функції по набору даних (точок), яка мінімізує суму квадратів відхилень точок від знайденої функції [50]. Необхідно відзначити, що методом найменших квадратів можна назвати метод вирішення задачі в будь-якій області, якщо рішення полягає або задовольняє певним критеріям мінімізації суми квадратів деяких функцій від шуканих змінних. Тому МНК може застосовуватися також для наближеного представлення (апроксимації) заданої функції іншими (простішими) функціями, 57 при знаходженні сукупності величин, що задовольняють рівнянням або обмеженням, кількість яких перевищує кількість цих величин і т. д. [51]. МНК вважається найпоширенішим і часто використовується для нових розробок та досліджень. Перевагою даного методу являється його простота та ефективність оцінки параметрів лінійних економетричних моделей. Водночас, серед недоліків виділяють чутливість оцінки до різких скачків, які трапляються у вихідних даних, а також громіздкість обчислень. Коли шукана величина може бути виміряна безпосередньо, як, наприклад, довжина відрізка або кут, то, для збільшення точності, вимірювання проводиться багато разів, і за остаточний результат беруть арифметичне середнє з усіх окремих вимірювань [52]. Це правило арифметичної середини ґрунтується на міркуваннях теорії ймовірностей; легко показати, що сума квадратів відхилень окремих вимірювань від арифметичної середини буде менше, ніж сума квадратів відхилень окремих вимірювань від якої б то не було іншої величини. Саме правило арифметичної середини представляє найпростіший випадок методу найменших квадратів. Найчастіше виміряна за допомогою систем багатокласової діагностики інформація являє собою дані у вигляді таблиці φ(x), де х – аргумент; φ – функція. У вигляді аргументу має бути ряд, в якому кожен наступний член більший за попередній, а також не може бути однакових значень. Оскільки у більшості випадків виміряні дані являють собою випадковий процес або процес з невідомим аналітичним описом, виникає необхідність знаходження аналітичної формули для подальшої роботи з даними (наприклад, прогнозування або створення теоретичних основ для опису певного явища чи процесу). У такому разі використовують апроксимацію, тобто шукають функцію y, яка найкращим чином описує виміряні дані. Вважатимемо, що тип емпіричної формули обраний і його можна представити у вигляді [46]: = ( , , , … , ) (3.1) 58 де, φ – відома функція, , , …, – невідомі постійні параметри. Запишемо суму квадратів відхилень для всіх точок , , … , [46]: = ∑ = ∑ [ ( , , , … , ) − ] , (3.2) де, параметри , , …, емпіричної формули (3.1) будемо знаходити з умови мінімума функції = ( , … , ). У цьому полягає метод найменших квадратів. У теорії ймовірності доводиться, що отримані таким методом значення параметрів найбільш ймовірні, якщо відхилення підпорядковується нормальному закону розподілення. Оскільки параметри , , …, виконують роль незалежних змінних функцій , то її мінімум знайдемо, прирівнюючи до нуля часткові похідні по цим змінним [46]: = 0, = 0, … , = 0 (3.3) Отримані співвідношення – система рівнянь для визначення , , …, Розглянемо використання метода найменших квадратів для окремого випадку, коли функція являється лінійною по невідомим параметрам , ,…, [46]: ( , , , … , ) = ∑ ( ), (3.4) де, , – відомі функції x. Формула (3.2) для визначення суми квадратів відхилень S буде мати вигляд [46]: = ∑ [∑ ( ) − ] (3.5) 59 Для складання системи (3.3) продиференціюємо S по змінним ( = 0, 1, … , ) [46]: = ∑ [ ∑ ( ) − ] = ∑ [∑ ( ) − ] = ∑ 2[∑ ( ) − ] ( ) = 2 ∑ ( ) [∑ ( ) − ] (3.6) Прирівнюючи знайдені похідні до нуля, отримаємо наступну систему рівнянь [46]: ∑ ( ) [∑ ( ) − ] = 0, = 0, 1, … , (3.7) Система (3.7) являється системою лінійних алгебраїчних рівнянь, її можна записати в наглядному векторно-матричному вигляді. Для цього введемо вектори дослідних даних у і невідомих параметрів a, а також матрицю Ф наступним чином [46]: = … , = … , Ф = ( ) ( )… ( ) ( ) ( )… ( ) … ( ) ( )… ( ) (3.8) Тут вектори y і a мають розмірності (n+1)і (m+1) відповідно, а матриця Ф має розмірність (n+1) ×(m+1). Для її елементів справедливий вираз [46]: Ф = ( ) (3.9) Неважко переконатися, що вираз, який стоїть у квадратних дужках формули (3.7), являється і-ю компонентою вектора Фа–y, а кожне рівняння (3.7) представляє собою рівність нулю k-ї компоненти вектора Ф (Фа-у), де Ф – транспонована матриця.Таким чином, вираз (3.7) можна записати у вигляді [46]: 60 Ф Т (Фа − у) = 0 або (Ф т Ф)а = Ф Т у (3.10) Матриця цієї системи Ф т Ф має розмірність (m+1) ×(m+1), вектор а – шуканий. У випадку використання в якості емпіричної функції многочлена [46]: ( ) = + + ⋯ + (3.11) елементи матриці Ф т Ф і компоненти вектора Ф т можна обчислити за формулами [46]: (Ф т Ф) = ∑ , (Ф т Ф) = ∑ , , = 0, 1, … , (3.12) Зокрема, рівні всі елементи (Ф т Ф) при i+j=const. Головними перевагами методу є доступність написання математичних висновків, а також те, що всі обчислювальні процедури можна звести до простого визначення невідомих коефіцієнтів. 3.2 |