Вектор это направленный отрезок прямой. Коллинеарные

• Название: Вектор это направленный отрезок прямой. Коллинеарные
• Дата: 20.05.2022
• Размер: 466.84 Kb.
• Имя файла: Otvety_Ekzamen.docx
• Тип: Документы; #540630
• страница: 2 из 2

бщие правила дифференцирования

Для решения задач на дифференцирование нужно запомнить (или записать в шпаргалку) пять несложных формул:

(c ⋅f)′ = c ⋅ f′

(u + v)′ = u′ + v′

(u - v)′ = u′ - v′

(u ⋅v)′ = u′v + v′u

(u/v)' = (u'v - v'u)/v²

В данном случае u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).

Рассмотрим функцию   , которая имеет конечную производную   в некотором интервале   , то есть производная   также является функцией переменной   в этом интервале. Если эта функция дифференцируема, то мы можем найти вторую производную исходной функции 

То есть вторая производная есть первой производной от первой производной.(производная от производной)

28)

Название	Функция	Производная
Константа	f(x) = C, C ∈ R	0 (да-да, ноль!)
Степень с рациональным показателем	f(x) = x n	n · x n − 1
Синус	f(x) = sin x	cos x
Косинус	f(x) = cos x	− sin x (минус синус)
Тангенс	f(x) = tg x	1/cos2 x
Котангенс	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
Натуральный логарифм	f(x) = ln x	1/x
Произвольный логарифм	f(x) = log a x	1/(x · ln a)
Показательная функция	f(x) = e x	e x (ничего не изменилось)

29)

Дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента, при этом не важно, является этот аргумент промежуточным или независимой переменной – инвариантность формы первого дифференциала.

Пусть задана сложная функция y = f (φ(x)).
Формула дифференциала функции имеет вид dy = y' (x)·dx, где dx - дифференциал независимой переменной.
Введём дополнительное обозначение u = φ(x), тогда y = f (u) и дифференциал dy с использованием правила дифференцирования сложной функции y' (x) = f ' (u)·u' (x) принимает вид dy = f ' (u)·u' (x)·dx.
Но последние два сомножителя в этом произведении совпадают с дифференциалом функции u, который по определению имеет вид du = u' (x)dx, т.е. в новых обозначениях dy = f ' (u)·du

Таким образом, мы получили формулы одного и того же вида для дифференциала функции f(φ(x)) от независимой переменной x и для дифференциала функции f(u) от промежуточного аргумента u, представляющего собой дифференцируемую функцию от x.
Это и есть свойство инвариантности формы (формулы) первого дифференциала.

Дифференциал функции имеет один и тот же вид: произведение производной по некоторой переменной на дифференциал этой переменной - независимо от того, является ли эта переменная, в свою очередь, функцией другой переменной или она является независимой переменной.

Инвариантность формулы дифференциала первого порядка. Инвариантность - это неизменность, сохранение чего-то. Формула дифференциала df(x)=f’(x)dx не зависит от того, зависимой или независимой является переменная х. Свойство инвариантности говорит, что формула остается одинаковой.

30)

Найти производную для функции open x = t 2 + 1 y = t x=t2+1y=t. Решение

По условию имеем, что φ ( t ) = t 2 + 1 ,   ψ ( t ) = t φ(t)=t2+1, ψ(t)=t, отсюда получаем, что φ ' ( t ) = ( t 2 + 1 ) ' ,   ψ ' ( t ) = t ' = 1 φ'(t)=t2+1', ψ'(t)=t'=1. Необходимо использовать выведенную формулу и записать ответ в виде: y ′ x = ψ ' ( t ) φ ' ( t ) = 1 2 t y'x=ψ'(t)φ'(t)=12t Ответ: open y x ' = 1 2 t x = t 2 + 1 yx'=12tx=t2+1.