Теория Векторы. Векторы (определение, изображение, равенство)

• Название: Векторы (определение, изображение, равенство)
• Дата: 20.12.2018
• Размер: 361.11 Kb.
• Имя файла: Теория Векторы.docx
• Тип: Документы; #61244

Векторы (определение, изображение, равенство).

Из курса физики мы знаем, что есть величины, которые характеризуются числом в заданных единицах измерения (масса, время, расстояние, площадь), а для других необходимо задать число и направление (сила, скорость, давление). Первые величины называются скалярными, а вторыми векторными или векторами. Что же такое вектор? Как ни странно, ответ на этот вопрос представляет известные затруднения. Вектор – это философская категория, такая же как время, материя, пространство. Вектор в математике – это элемент векторного пространства. Существуют различные подходы к определению понятия вектора; при этом даже если ограничиться лишь наиболее интересным здесь для нас элементарно-геометрическим подходом к понятию вектора, то и тогда будут иметься различные взгляды на это понятие. Разумеется, какое бы определение мы ни взяли, вектор - с элементарно-геометрической точки зрения - есть геометрический объект, характеризуемый направлением (т.е. заданной с точностью до параллельности прямой и направлением на ней) и длиной.



Изображают вектор с помощью направленного отрезка. Если один конец отрезка считать его началом, а второй концом, то получается направленный отрезок. Рисуют отрезок со стрелкой от начала в конец.

Обозначают вектор либо маленькими латинскими буквами со стрелкой , , либо , т.е. отрезок с началом в точке А и концом в точке В. Две точки задают два разных (!) направленных отрезка и .

Модулем вектора считается длина отрезка AB и пишут .

Особый случай нуль-вектор : его модуль равен нулю и направления он не имеет. Нуль вектор изображают точкой, которая рассматривается как начало и конец вектора.

означает, что точки A и B совпадают.

Два вектора называются коллинеарными, если изображающие их направленные отрезки лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Для коллинеарных векторов принято обозначение .

Два вектора называются ортогональными, если изображающие их направленные отрезки лежат на перпендикулярных прямых, что обозначают как .



Пример 1: ABCD – прямоугольник. Укажите а) Вектор, коллинеарный вектору ; б) Вектор, ортогональный вектору .

Решение:

а) , , .

б) , , ,

Коллинеарные векторы называются сонаправленными, если они лежат в одной полуплоскости относительно прямой соединяющей их начала либо один из лучей, задающих их направления, является подмножеством другого. Коллинеарные, но не сонаправленные векторы, называются противоположно направленными.

Обозначения: 1) сонаправленные или ; 2) противоположно направленные или .

Сонаправленность векторов является отношением эквивалентности (т.е. выполнены свойства рефлексивности, симметричности, транзитивности).

:

1. Рефлексивность ;

2. Симметричность ;

3. Транзитивность.

Пример 2. Точка M лежит на прямой AB. В каком случае векторы и сонаправлены?

Решение: Если точка M лежит вне отрезка AB, то векторы и сонаправлены. Если точка M лежит внутри отрезка AB, то векторы и противоположно направлены. Если точка M – один из концов отрезка AB, то один из векторов или - нулевой, а для такого вектора понятие сонаправленности и противонаправленности не определены.



Пример 3. ABCD – прямоугольник. Укажите а) Вектор, сонаправленный вектору ; б) Вектор, противонаправленный вектору .

Решение: а) ; б) ,

Два вектора называются равными, если 1) их длины равны 2) они сонаправлены. Обозначение .

Укажем, как построить от выбранной точки C вектор, равный данному вектору _.

1. 
   Из заданной точки C проведем луч, сонаправленный с лучом AB. Такой луч только один (по соответствующей теореме).
   
2. 
   На луче откладываем отрезок CD=AB. Такой отрезок только один (из аксиомы откладывания отрезков).
   
3. 
   В силу единственности такого построения утверждаем, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
   

Отметим, что равенство векторов – это отношение эквивалентности (т.е. верны свойства рефлексивности, симметричности, транзитивности).

Пример 4: Пусть . Какие еще равные векторы можно задать этими точками A, B, C, D?

Решение: , , .

Тригонометрические функции углов от 90. Угол между векторами.



До сих пор мы определили тригонометрические функции только острых углов. Введем определения тригонометрических функций произвольных углов. Для этого рассмотрим в декартовой системе координат окружность с центром О и радиусом 1 (см. рисунок). Условимся откладывать углы от луча [OX) в верхнюю полуплоскость. Рассмотрим произвольный угол АОX =  (A – точка пересечения стороны угла с окружностью). Тогда, cos = x_A; sin = y_A; tg = . Для острых углов эти определения совпадают с теми, которые даны в прямоугольном треугольнике.

	0	90	180
cos	1	0	–1
sin	0	1	0
tg	0	–	0

Так как точки А и В симметричны относительно оси y, то cos(180 – ) = x_B = – x_A = – cos; sin(180 – ) = y_B = y_A = sin; tg(180 – ) = = – = – tg. Отметим, что синусы смежных углов равны, а косинусы смежных углов отличаются знаком.

Вычислим тригонометрических функций угла 150: cos150 = cos(180 – 30) = –cos30 = ; sin150 = sin(180 – 30) = sin30 = ; tg150 = tg(180 – 30) = –tg30 = .


Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между равными им векторами, имеющими общее начало, причем от первого вектора ко второму против часовой стрелки (положительное направление). называется угол ВАС.

Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю, противоположно направленными 180⁰. Поскольку направление нулевого вектора не определено, то не определен и угол между двумя векторами, если хотя бы один из них нулевой.

Пример 5: Дан квадрат АВСD. Найдите:

а)	= АВС = 90;
б)	= АВD = 45;
в)	= ABC = 90;
г)	= AOD = 90;
д)	= 0;
е)	= 180;
ж)	= 225;
з)	= 315;
и)	= 135.

Операции над векторами.

Над векторами определены операции сложения (в результате получаем вектор), вычитания (в результате получаем вектор), и 3 вида умножения: умножение на число (в результате получаем вектор), скалярное умножение (в результате получаем число, т.е. скаляр), векторное умножение (в результате получаем вектор).

Сложение двух векторов осуществляют по правилу параллелограмма или по правилу треугольника.

Правило параллелограмма: Отложим векторы и от одной точки. Если векторы не коллинеарны, то их сумма представляется диагональю построенного на них параллелограмма, исходящая из общего начала векторов , _. Если вектора коллинеарны, то их сумма – коллинеарный им вектор, длина которого равна сумме длин векторов и .

Правило треугольника: От конца вектора откладываем вектор _{, тогда вектор} с началом первого вектора и концом второго вектор <sub>будет их сумма.

Правило цепочки при сложении векторов: Чтобы сложить несколько векторов удобно построить векторную ломанную (начало следующего вектора есть конец предыдущего вектора). Вектор от начала ломанной в ее конец и является суммой всех этих векторов. Если ломанная замкнулась, то сумма векторов равна</sub> .

_{Два ненулевых вектора называются противоположными, если длины их равны, и они противоположно направлены. Вектор, противоположный вектору} обозначается –. Нуль-вектор считается противоположным сам себе. Как при сложении противоположных чисел получается ноль, так и при сложении противоположных векторов получается нуль-вектор.

Необходимое и Достаточное условие для того, чтобы векторы и были противоположны + =  = –

Как и вычитание чисел, вычитание векторов – это действие обратное сложению.

– = + (–), т.е. результат вычитания из вектора вектора дает тот же результат, что сложение векторов и –.

Какие операции с векторными равенствами можно осуществлять на основании данных равенств? Перенос слагаемых из одной части в другую с противоположным знаком – = | + = .

Правило вычитания векторов: Отложим векторы и от одной точки, тогда вектор от конца вектора к концу вектора (направление от вычитаемого к уменьшаемому) будет их разностью.

Отметим, что по неравенству треугольника можно утверждать, что

Пример 6: ; . Найдите границы изменения: а) ; б)

Решение: 3   17 а) 3, если ; 17, если ; б) наоборот

Пример 7: Отметьте любые три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Как найти точку X такую, что: a) ; б) ; в) ;

г)

Решение: а), б), г) Точка X вершина параллелограмма XBAC; в) X=A;

Если в сумме векторов одно и тоже слагаемое повторяется несколько раз, то, как и в алгебре чисел, такие суммы обозначаются через умножение.

Произведением ненулевого вектора на ненулевое число k называется вектор k для которого 1) его длина равна произведению длины вектора на модуль числа k; 2) он сонаправлен с , если k>0 и противоположно направлен, если k<0. Если или k=0, то вектор k

Запишем определение умножения вектора на число в краткой форме:

1. k  0 и | и если k > 0, то ; если k < 0, то ;

2. ;

Пример 8: В трапеции ABCD основание BC=2 и AD=8, а диагонали пересекаются в точке O. Найдите такое число k, что

Решение: Треугольники BOC и DOA подобны с коэффициентом подобия BC:AD, т.е. 1:4. Следовательно OB:DO как соответствующие элементы в подобных треугольниках тоже как 1:4. Тогда BD в 5 раз больше OB. При этом <sub>.

Тогда при k=-1/5</sub>

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними. Если или , то скалярное произведение равно нулю.

Запишем определение скалярного произведения векторов в краткой форме:

1) Если , то ;

2) Если или , то .

Обратите внимание, что произведением двух векторов является не вектор, а число!

Пример 9: Сторона равностороннего треугольника ABC равна 2. Найдите скалярное произведение векторов <sub>и

Решение: В равностороннем треугольника все углы 60</sub>⁰_{. В зависимости от чертежа угол между векторами либо 60}⁰_{, либо (360}⁰_-60⁰₌₃₀₀⁰_{), что не влияет на косинус угла, он в любом случае будет ½. Тогда по определению скалярного произведения}

Векторное умножение не рассматривается в 9 классе, Вы будете знакомиться с ним на уроках физики и стереометрии. Сейчас Вы должны знать, что результатом векторного умножения двух векторов является вектор (!), ортогональный двум данным векторам, а обозначается векторное умножение «крестиком».

Законы сложения векторов. Законы умножения векторов. Распределительные законы умножения относительно сложения.

Сложение векторов подчиняется тем же законам, что и сложение чисел, а именно:

a, b, c:	:	Название закона
1) a + b = b + a		переместительный (коммутативность)
2) (a + b) + c = a + (b + c)		сочетательный (ассоциативность)
3) a + 0 = a		закон поглощения нуля (нулевого вектора)

Умножение вектора на число тем же законам (похожие на законы сложения векторов и законы умножения чисел):

1. (переместительный закон или коммутативность);

2. (сочетательный закон или ассоциативность).

3. закон поглощения нуля или нулевого вектора - часть определения.

Законы скалярного умножения.

и kR

1) (из определения), (переместительный закон или коммутативность);

2) (из определения), (сочетательный закон или ассоциативность);

3) (из определения), закон поглощения нуля;

Распределительный закон умножения относительно сложения (дистрибутивность), а именно:



1) (k + m) = k + m;

2) k( + ) = k + k;

3)

Рассмотренные законы позволяют работать с векторными выражениями как с обычными алгебраическими, в частности, можно умножать выражения, являющиеся линейными комбинациями векторов, по правилам умножения многочленов, использовать формулы сокращенного умножения, и т. д.

Пример 10:

Пример 11: Упростить выражение



<sub>Пример 12: Из равенства выразите каждый вектор через другие.

;</sub> ;

_{Пример 13: Докажите, что}

Решение: По коммутативности сложения векторов В первой скобке стоит замкнутая ломанная, и ее векторная сумма равна , а во второй скобке сумма равна вектору _ч.т.д.

Признак коллинеарности векторов. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

Признак коллинеарности векторов: Вектора и _{коллинеарны тогда и только тогда, когда} = k

Если = k_{, то коллинеарность} и следует из определения умножения вектора на число.

Докажем обратное утверждение. Пусть . Докажем, что kR | .

Если , то k = 0. 2) Если , то рассмотрим k | |k| = . Тогда . Если , то возьмем k > 0, тогда . Если , то возьмем k < 0, тогда . Так как и , то .

Замечание: Равенство неверно; например, пусть и – не коллинеарны. - это число и - число, тогда по признаку коллинеарности векторов и - коллинеарны, получили противоречие.

Пример 14: Доказать, что вектор <sub>и вектор коллинеарны.

Решение: Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, тогда =2. Так как один вектор равен число, умноженное на другой вектор, то по признаку коллинеарности векторов эти вектора коллинеарны.</sub>



Теорема. – не коллинеарны и .

Доказательство. Существование. 1) Если , то  = 0;  = 0;

2) Если , то ;  = 0; аналогично, если , то ;

3) Если не коллинеарен ни , ни , то отложим эти три вектора от одной точки: ; ; (см. рис. 2) и проведем (СА₁) || (OB); (СB₁) || (OA). OA₁CB₁ – пар-м, значит, , так как .

Единственность. Пусть , тогда  , то есть эти векторы – противоположны. Так как и – не коллинеарны, то и полученные векторы – не коллинеарны, значит, они нулевые. Следовательно,  x = a и  y = b, то есть (; ) – единственная]

Доказанная теорема позволяет утверждать, что любая пара неколлинеарных векторов на плоскости является ее базисом.

Принято говорить, что любой ненулевой вектор прямой может являться базисом прямой, так как любой другой вектор этой прямой можно выразить через него единственным образом. Принято говорить, что любая пара неколлинеарных векторов на плоскости является базисом плоскости, так как любой другой вектор этой плоскости можно выразить через данные два вектора единственным образом.

Пример 15: АВС; М – середина [BC]; K[AC], |AK| : |KC| = 1 : 2.

Выразите через и векторы: ; ; ;; .



Решение: = ; = ; = ; = ;

= ;

Установим важное векторное соотношение, которое поможет при решении задач.



Пусть дан [AB] и точка M[AB] | |AM| : |MB| = m : n.

Рассмотрим произвольную точку О на плоскости и выразим через и . = = = = = .

Можно осмыслить это векторное равенство как условие принадлежности точек M, A, B одной прямой AB.



Пример 16: Пусть М – точка пересечения медиан АВС. Выразим через , и , где О – произвольная точка плоскости. Так как М[AA₁] и |AM| : |MA₁| = 2 : 1, то = ; так как А₁ – середина [BС], то = . Значит, = = .

Является ли полученное разложение его разложением по базису? Нет, так как базисом на плоскости является пара неколлинеарных векторов.

Из последнего равенства можно показать, что в любом треугольнике ABC для точки пересечения медиан M верно. Действительно, _{; ;, тогда}

.



Свойства скалярного умножения векторов и признак ортогональности векторов.

Отметим важные свойства скалярного умножения, которые являются следствием из определения скалярного умножения.

1) Если , то . Произведение вектора на себя называется скалярным квадратом вектора. Итак, скалярный квадрат вектора равен квадрату длины вектора.

2)  или или . Отметим, что если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то такие вектора ортогональны, так как в этом случае нулю должен равняется косинус угла между ними. Это свойство скалярного произведения называют Признак ортогональности векторов.

3) Если , то , следовательно:  ;  ;  .

Пример 17: ; ; . Найти: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Решение:

а) По определению скалярного умножения

б)

в)

г)

д)

Пример 18: ; . Найти: .

Решение: Заметим, что вектора и не нулевые. Если ненулевые вектора и ортогональны, то по признаку ортогональности векторов их скалярное произведение равно нулю. Запишем скалярное произведение и приравняем нулю.