векторы в прострастве. Векторы в пространстве вход Содержание
 Скачать 1.64 Mb.
|
Векторы в пространствевход СодержаниеI. Понятие вектора в пространстве II. Коллинеарные векторы III. Компланарные векторы IV. Действия с векторами V. Разложение вектора VI. Базисные задачи Проверь себя Помощь в управлении презентацией Выход Понятие вектора в пространствеВектор(направленный отрезок) – отрезок, для которого указано какой из его концов считается началом, а какой – концом. Длина вектора – длина отрезка AB. А В M Коллинеарные векторыДва ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых. Среди коллинеарных различают: Сонаправленные векторы Противоположно направленные векторы Сонаправленные векторыСонаправленные векторы - векторы, лежащие по одну сторону от прямой, проходящей через их начала. Нулевой вектор считается сонаправленным с любым вектором. Равные векторы Равные векторыРавные векторы - сонаправленные векторы, длины которых равны. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один. Противоположно направленные векторы – векторы, лежащие по разные стороны от прямой, проходящей через их начала. Противоположные векторы Противоположные векторыПротивоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны. Вектором, противоположным нулевому, считается нулевой вектор. Признак коллинеарностиДоказательство Доказательство признака коллинеарностиОпределение компланарных векторовКомпланарные векторы – векторы, при откладывании которых от одной и той же точки пространства, они будут лежать в одной плоскости. Пример: B А C D A1 B1 C1 D1 О компланарных векторахЛюбые два вектора всегда компланарны. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны. α если Признак компланарностиДоказательство Задачи Задачи на компланарностьКомпланарны ли векторы: а) б) Справка Решение Известно, что векторы , и компланарны. Компланарны ли векторы: а) б) Справка Решение РешениеРешениеРешениеДоказательство признака компланарностиС O A1 B1 B A Свойство компланарных векторовДействия с векторамиСложение Вычитание Умножение вектора на число Скалярное произведение Сложение векторовПравило треугольника Правило параллелограмма Правило многоугольника Правило параллелепипеда Свойства сложения Правило треугольникаА B C Правило треугольникаА B C Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство: Правило параллелограммаА B C Свойства сложенияПравило многоугольникаСумма векторов равна вектору, проведенному из начала первого в конец последнего(при последовательном откладывании). B A C D E Пример ПримерC A B D A1 B1 C1 D1 Правило параллелепипедаB А C D A1 B1 C1 D1 Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда, равен сумме векторов, проведенных из той же точки и лежащих на трех измерениях параллелепипеда. СвойстваB А C D A1 B1 C1 D1 Вычитание векторовВычитание Сложение с противоположным ВычитаниеРазностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору . ВычитаниеB A Правило трех точек C Правило трех точекЛюбой вектор можно представить как разность двух векторов, проведенных из одной точки. А B K Сложение с противоположнымРазность векторов и можно представить как сумму вектора и вектора, противоположного вектору . А B O Умножение вектора на числоСвойстваПроизведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор. СвойстваСкалярное произведениеСкалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Справедливые утверждения Вычисление скалярного произведения в координатах Свойства скалярного произведения Справедливые утвержденияскалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины Доказательство O A B α O B A O B A 10. 20. 30. 40. (переместительный закон) (распределительный закон) (сочетательный закон) Разложение вектораПо двум неколлинеарным векторам По трем некомпланарным векторам Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамТеорема. Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Доказательство Доказательство теоремыO A A1 B P Пусть коллинеарен . Тогда , где y – некоторое число. Следовательно, т.е. разложен по векторам и . Доказательство теоремыне коллинеарен ни вектору , ни вектору . Отметим О – произвольную точку. Доказательство теоремыДокажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим: Тогда: - Разложение вектора по трем некомпланарным векторамЕсли вектор p представлен в виде где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам , и . Числа x, y, z называются коэффициентами разложения. Теорема Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Доказательство Доказательство теоремыС O A B P1 P2 P Доказательство теоремыДокажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим: Тогда: - Базисные задачиВектор, проведенный в середину отрезка Вектор, проведенный в точку отрезка Вектор, соединяющий середины двух отрезков Вектор, проведенный в центроид треугольника Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда Вектор, проведенный в середину отрезка,С A B O Доказательство равен полусумме векторов, проведенных из той же точки в его концы. ДоказательствоС A B O Вектор, проведенный в точку отрезкаС A B O m n Доказательство Точка С делит отрезок АВ в отношении т : п. ДоказательствоС A B O m n Вектор, соединяющий середины двух отрезков,С A B D M N С A B D M N Доказательство равен полусумме векторов, соединяющих их концы. ДоказательствоС A B D M N Вектор, проведенный в центроид треугольника,Центроид – точка пересечения медиан треугольника. С O A B M Доказательство равен одной трети суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины треугольника. ДоказательствоС O A B M K Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма,A B C D O M Доказательство равен одной четверти суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины параллелограмма. ДоказательствоA B C D O M Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда,C A B D A1 B1 C1 D1 Доказательство равен сумме векторов, лежащих на трех его ребрах, исходящих из одной вершины. ДоказательствоC A B D A1 B1 C1 D1 управление презентацией осуществляется с помощью левой клавиши мыши переход от одного слайда к другому и на гиперссылки по одиночному щелчку завершение презентации при нажатии кнопки выход переход к следующему слайду возврат к содержанию возврат к подтеме возврат с гиперссылок Проверь себяУстные вопросы Задача 1. Задача на доказательство Задача 2. Разложение векторов Задача 3. Сложение и вычитание векторов Задача 4. Скалярное произведение Устные вопросыСправедливо ли утверждение: а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарны? б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены? в) любые два равных вектора коллинеарны? г) любые два сонаправленных вектора равны? д) е) существуют векторы , и такие, что и не коллинеарны, и не коллинеарны, а и коллинеарны? Ответы Ответыа) ДА б) НЕТ (могут быть и противоположно направленными) в) ДА г) НЕТ (могут иметь разную длину) д) ДА е) ДА Задача 1. Задача на доказательствоB А C D A1 B1 C1 D1 M1 M2 Решение РешениеB А C D A1 B1 C1 D1 M1 M2 Задача 2. Разложение векторовРазложите вектор по , и : а) б) в) г) Решение A B C D N Решениеа) б) в) г) Задача 3. Сложение и вычитаниеУпростите выражения: а) б) в) г) д) е) Решение Решениеа) б) в) г) д) е) Вычислить скалярное произведение векторов: C A B D A1 B1 C1 D1 Решение C A B D A1 B1 C1 D1 O1 Вычислить скалярное произведение векторов: Решение РешениеРешениеРешениеC A B D A1 B1 C1 D1 O1 |