Лекция+10+ПЭиНТЭ. Вероятностные характеристики надежности объектов

• Название: Вероятностные характеристики надежности объектов
• Дата: 15.03.2022
• Размер: 0.99 Mb.
• Имя файла: Лекция+10+ПЭиНТЭ.doc
• Тип: Документы; #398611

Вероятностные характеристики надежности объектов

Все технические системы и их элементы в зависимости от назначения разделяют на восстанавливаемые и невосстанавливаемые объекты (изделия). Восстанавливаемые объекты после отказа ремонтируются. Невосстанавливаемые объекты работают до первого отказа, после чего заменяются новыми. Их замену после отказа можно рассматривать как восстановление, но с нулевым временем восстановления. Если нормативно-технической и конструкторской документацией предусмотрено проведение ремонта объекта, то он называется ремонтируемым.

Отказ и восстановление объекта - это два противоположных случайных события. Отказы и восстановления, происходящие одно за другим во времени, образуют случайные потоки отказов и восстановлений, следовательно показатели надежности объектов являются вероятностными показателями.

К числу наиболее широко применяемых количественных характеристик надежности относятся [1,2]:

• 
  • вероятность безотказной работы (ВБР);
  
• 
  • вероятность отказа;
  
• 
  • наработка до отказа;
  
• 
  • наработка до первого отказа;
  
• 
  • наработка на отказ (между отказами);
  
• 
  • интенсивность отказов;
  
• 
  • параметр потока отказов;
  
• 
  • вероятность восстановления;
  
• 
  • время (до) восстановления;
  
• 
  • интенсивность восстановления;
  
• 
  • коэффициент готовности;
  
• 
  • коэффициент оперативной готовности;
  
• 
  • коэффициент технического использования и др. Непосредственный выбор количественных характеристик надежности объекта зависит от его вида (восстанавливаемый или невосстанавливаемый).
  

Характеристики надежности невосстанавливаемых объектов

Значительное количество деталей и узлов теплоэнергетического оборудования относится к числу невосстанавливаемых объектов. Для оценки надежности таких объектов используют вероятностную характеристику случайной величины - наработку до отказа Т₀, под которой понимают наработку объекта от начала эксплуатации до возникновения первого отказа.

Распределение наработки до отказа может быть описано:

• 
  • вероятностью безотказной работы Pit);
  
• 
  • плотностью распределения наработки до отказа /(/);
  
• 
  • интенсивностью отказов X(7).
  

Вероятность безотказной работы

Вероятность безотказной работы P(t) - есть вероятность того, что

в пределах заданной наработки t не произойдет отказа невосстанавли- ваемого объекта, т. е. это вероятность того, что наработка до отказа Т_о будет не меньше заданной t. По определению



где^(?) - функция распределения наработки до отказа.

Показатель обладает следующими свойствами:

• 
  1) Р(0) = 1, т. е. предполагается, что до начала работы объект является безусловно работоспособным;
  
• 
  2) НтР(/) = 0, т. е. предполагается, что объект не может сохра-
  

нять свою работоспособность неограниченно долго;

3) dP[t)/dt< 0, т. e. предполагается, что объект не может после

отказа спонтанно восстанавливаться.

В некоторых задачах требуется определить вероятность безотказной работы объекта за период времени, т. е. вероятность P(t_],t₂) безотказной работы в интервале наработки (?,Д₂). Она равна отношению вероятностей безотказной работы в начале и конце интервала



Вероятность отказа может быть определена либо как вероятность противоположного события



либо как функция распределения случайной величины Г₀ (наработки до отказа)



где /(х) - плотность распределения наработки до отказа; х - переменная интегрирования.

Тогда показатель надежности

/ со

P[t) = 1 — Q{t) -1 F{t) = 1 - J/(x) • dx = J/(x) • dx.

о /

Плотность распределения наработки до отказа

Плотность распределения наработки до отказа или частота отказов является дифференциальной функцией распределения, поэтому определяется выражением 

Для статистической оценки величины /(х) используется формула



где л (А?) - число отказавших объектов в интервале времени от

(/ - At/2) до [t + At/2); N₀ - число объектов в начале испытания.

Частота отказов, вероятность отказа и вероятность безотказной работы связаны следующими зависимостями

 

Интенсивность отказов

Интенсивность отказов А,(/) представляет собой условную плотность вероятности возникновения отказа невосстанавливаемого объекта, определяемую для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента отказ не возник.

Интенсивность отказов выражает интенсивность процессов возникновения отказов. Вероятностная оценка этой характеристики находится из выражения



Для статистической оценки величины используется формула





Рис. 4.6. Характерная картина изменения интенсивности отказов во времени

где N_cp =(Ni + N_M)/2 - среднее число исправно работающих объектов в интервале времени At.

Опыт эксплуатации большинства технических систем и их элементов показывает, что интенсивность отказов X(t) в течение времени изменяется как показано на рис. 4.6. Видно, что график функции можно разделить на три характерных участка.

На первом участке (? = 0.../j) интенсивность отказов высока и уменьшается с течением времени. На этом участке выявляются грубые дефекты производства и сам участок носит название участка приработочных отказов.

Второй участок (t = t_r..t₂j, участок нормальной эксплуатации, примечателен тем, что интенсивность отказов имеет постоянное значение.

На третьем участке (t >t₂) из-за усиления процессов старения объектов интенсивность отказов начинает возрастать. Этот участок носит название участка износовых отказов.

Связь между k(f) и P(t) (основной закон надежности)

Поставив выражение /(/) в формулу для нахождения интенсивности отказов А. (7), получим



Проинтегрируем полученное выражение в пределах от 0 до какого- то фиксированного значения t 

Интеграл от левой чести равен натуральному логарифму подинтегральной функции. После подстановки верхнего и нижнего пределов интегрирования в левую часть формулы можно записать



Так как  откуда по определению натурального логарифма получим искомое уравнение связи интенсивности отказов и вероятности безотказной работы



Это выражение является центральным в теории надежности и носит название основного (общего) закона надежности. С помощью полученных выражений можно определить Р(/) по известным и /(?).

Средняя наработка до отказа

Средняя наработка до отказа (среднее время безотказной работы) представляет собой математическое ожидание наработки объекта до первого отказа



Таким образом, рассмотренные характеристики позволяют достаточно полно оценить надежность невосстанавливаемых объектов. Они также позволяют оценить надежность восстанавливаемых изделий до первого отказа. Наличие нескольких критериев не означает необходимости использования их всех одновременно.

Интенсивность отказов - наиболее удобная характеристика надежности простейших объектов, так как она позволяет более просто вычислить количественные характеристики надежности сложной системы.

Наиболее полным параметром надежности является вероятность безотказной работы, что объясняется следующими ее особенностями:

• 
  • входит в состав других, более общих характеристик системы (например, в эффективность и стоимость);
  
• 
  • характеризует изменение надежности во времени;
  
• 
  • может быть получена расчетным путем в процессе проектирования системы и оценена в процессе её испытания.
  

Характеристики надежности восстанавливаемых объектов

Процесс функционирования восстанавливаемого объекта в течение длительного промежутка времени (рис. 4.7) распадается на отдельные циклы (периоды): работа и восстановление (ремонт). Каждый цикл характеризуется двумя интервалами времени: Т₀ - время до отказа и Т_а - время восстановления. На каждом &-ом цикле от начала работы до отказа восстанавливаемый объект характеризуется вероятностью безотказной работы P_k(t) за время t_k от начала цикла.

В общем случае каждому циклу соответствует своя интенсивность отказов Х_к (?) и, следовательно, после каждого ремонта восстанавливаемый объект имеет различную вероятность безотказной работы P_k(t).



Рис. 4.7. Случайные потоки отказов и восстановлений восстанавливаемых

объектов

Типовая кривая изменения интенсивности отказов X[tj восстанавливаемых объектов в течение всего времени эксплуатации показана на рис. 4.8.

Практически, после некоторого периода приработки (I) и до периода старения (III) на каждом &-ом интервале периода нормальной работы, можно полагать, что интенсивности потока отказов Х_к (/) и вероятности

безотказной работы Р_к (t) от к не зависят и одинаковы для каждого цикла работы восстанавливаемого объекта.

Если при этом исключить из рассмотрения время восстановления объекта на каждом ?-ом цикле, то процесс функционирования восстанавливаемого объекта в течение длительного времени эксплуатации можно представить только потоком отказов.



Рис. 4.8. Типовая кривая интенсивности потока отказов восстанавливаемых объектов

Поток отказов одного восстанавливаемого объекта всегда является ординарным (см. рис. 4.7), поскольку второй отказ может произойти только после восстановления объекта после первого отказа. Кроме того, для восстанавливаемых объектов характерна стационарность потока отказов, а также отсутствие последействия.

Время восстановления Г_в восстанавливаемого объекта (см. рис. 4.7) слагается из времени обнаружения места повреждения и времени устранения неисправности (времени аварийно-восстановительного ремонта). Обе эти составляющие времени восстановления зависят от многих случайных факторов, например, характера повреждения, места объекта в системе, времени суток, погодных условий, глубины повреждения и т. п. Эти факторы и определяют случайный характер величины Т_а.

Восстанавливаемый объект в процессе функционирования может отказать много раз. После отказа такой объект каждый раз восстанавливается и, следовательно, наряду с потоком отказов он может быть описан и потоком восстановлений.

Для таких объектов введенное ранее определение для вероятности безотказной работы может не иметь смысла. Наряду с этим, комплекс показателей надежности восстанавливаемых объектов, кроме единичных показателей безотказности объектов, должен включать показатели, характеризующие свойство их ремонтопригодности.

К важнейшим показателям надежности восстанавливаемых объектов могут быть отнесены:

• 
  • параметр потока отказов со(?);
  
• 
  • средняя наработка на отказ (среднее время безотказной работы) Т₀;
  
• 
  • интенсивность восстановления Ц_в(^);
  
• 
  • среднее время восстановления Т_а и др.
  

Параметр потока отказов

Под потоком отказов понимается последовательность отказов, происходящих один за другим в случайные моменты времени.

Параметром потока отказов со(/) называется предел отношения математического ожидания числа отказов восстанавливаемого объекта за достаточно малую его наработку к значению этой наработки

По определению



где At - малый отрезок наработки.

Разность n[t + A?)-n(t) представляет собой число отказов на отрезке At.

Средняя наработка на отказ

Под средней наработкой на отказ понимается отношение суммарной наработки восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки.

Указанный показатель применяется к восстанавливаемым объектам, при эксплуатации которых допускаются многократно повторяющиеся отказы. Причем, это должны быть несущественные отказы, не приводящие к серьезным последствиям и не требующие значительных затрат на восстановление работоспособного состояния.

Определению средней наработки на отказ Т_осоответствует следующая формула



где t - суммарная наработка; /?(/) - число отказов, наступивших в течение этой наработки; М [/?(/)] - математическое ожидание этого числа отказов.

Средняя наработка на отказ (между отказами) Т₀связана с плотность распределения f{t) наработки между отказами следующей зависимостью 

В общем случае средняя наработка на отказ оказывается функцией t. Для стационарных потоков отказов средняя наработка на отказ от t не зависит.

Интенсивность восстановления

По аналогии с потоком отказов поток восстановлений восстанавливаемого объекта может быть охарактеризован:

• вероятностью невосстановления за время t



• вероятностью восстановления за время t



• плотностью вероятности восстановления в момент времени t



Интенсивность восстановления ц_в(/) восстанавливаемого объекта,

по аналогии с интенсивностью отказов, представляет собой условную плотность вероятности восстановления работоспособности объекта, определенную для рассматриваемого момента времени t при условии, что до этого момента времени восстановление работоспособности не произошло.

Вероятностная оценка этой характеристики находится из формулы   Среднее время восстановления

Среднее время восстановления Т_и представляет собой математическое ожидание времени восстановления объекта и, определяется через плотность вероятности восстановления $(7) по формуле

Комплексные показатели надежности объектов

Если показатель надежности одновременно характеризует два и более свойств надежности объекта, то такой показатель называется комплексным. Из всего многообразия комплексных показателей в практических расчетах надежности систем электроснабжения широкое применение нашли показатели, характеризующие одновременно свойство безотказности и свойство ремонтопригодности восстанавливаемых объектов.

К ним относятся:

• 
  • вероятность состояния отказа q
  
• 
  • вероятность планового ремонта р_п ;
  
• 
  • коэффициент готовности К_г;
  
• 
  • коэффициент вынужденного простоя К_в п;
  
• 
  • коэффициент технического использования К_т и и др.
  

Вероятность состояния отказа

Вероятность состояния отказа q объекта определяется как произведение частоты отказов со на среднее время восстановления Г_в объекта и является безразмерной величиной 

Вероятность планового ремонта

Вероятность планового ремонта р_п определяется как произведение частоты плановых ремонтов р на среднюю продолжительность планового ремонта Т_и р и также является безразмерной величиной



Частота плановых ремонтов восстанавливаемого объекта определяется как сумма частот p_z- каждого /-го вида предупредительного ремонта для данного объекта. Средняя продолжительность планового ремонта Т_п определяется временем наиболее сложного предупредительного ремонта для данного объекта.

Вероятность состояния отказа объекта q можно рассматривать как относительную длительность нахождения этого объекта в состоянии аварийно-восстановительного ремонта после его отказа. Аналогично, вероятность планового ремонта р_п объекта можно рассматривать как относительную длительность нахождения этого объекта в состоянии планового ремонта.

Коэффициент готовности

Коэффициент готовности K_r(t) представляет собой вероятность

того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени t,кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусмотрено.

Стационарное значение коэффициента готовности объекта , т. е. его значение в относительно удаленный от начала работы объекта момент времени, определяется выражением: 

где jli_b (/) - интенсивность восстановления; со(^) - параметр потока отказов.

Коэффициент вынужденного простоя

Коэффициент вынужденного простоя ^_в1|(^) представляет собой

вероятность того, что в произвольно выбранный момент времени объект будет находиться в неработоспособном состоянии. Как событие, противоположное коэффициенту готовности коэффициент вынужденного простоя 

Стационарное значение коэффициента вынужденного простоя



можно рассматривать как относительную длительность нахождения восстанавливаемого объекта в неработоспособном состоянии.

Коэффициент технического использования

Коэффициент технического использования К_т и (/), как и коэффициент готовности А^_г(7), характеризует безотказность и ремонтопригодность восстанавливаемых объектов, но учитывает дополнительно и плановые ремонты.

Этот коэффициент представляет собой отношение математического ожидания времени пребывания объекта в работоспособном состоянии ^/_исм за некоторый период эксплуатации /, к сумме математических

ожиданий времени пребывания объекта в работоспособном состоянии Уу_ис[1, времени пребывания в состоянии аварийно-восстановительных

ремонтов ^_шр и времени пребывания в плановых ремонтах за тот же период эксплуатации 

Типичные законы распределения случайных величин

Случайные величины, встречающиеся в задачах надежности, могут иметь различные распределения, определяющиеся физической сущностью явлений.

Установление закона распределения имеет большое значение при оценках надежности.

Определение P(t) по одной и той же исходной информации,

но при различных предположениях о законе распределения может привести к существенно отличающимся результатам.

Закон распределения вероятностей отказов можно определить по экспериментальным данным, но для этого необходимо проведение большого числа опытов в идентичных условиях. Практически эти условия, как правило, трудно обеспечить.

Более рационально - изучение условий физических процессов и условий, при которых возникает то или другое распределение. При этом составляются модели возникновения отказов и соответствующие им законы распределения, что позволяет делать обоснованные предположения о законе распределения.

Предпочтительным является применения простейших законов распределения. Во-первых, для целого ряда элементов и систем эти законы статистически подтверждаются. Кроме того, многие виды распределения с ростом числа элементов или увеличением времени испытаний объектов асимптотически стремятся к простейшим законам.

Опытные данные должны служить средством проверки обоснованности прогноза, а не единственным источником данных о законе распределения. Для оценки надежности проектируемых или новых объектов такой подход является единственно возможным.

В качестве теоретических распределений вероятностей отказов могут быть использованы любые распределения случайных величин, применяемые в теории.

Распределения дискретных случайных величин Биноминальное распределение

Пусть производится серия п независимых испытаний, в каждом из который событие А может появиться с одинаковой вероятностью р. Причем исход каждого испытания не зависит от того, какие исходы имели другие испытания.

Тогда число появлений т события А есть случайная величина, распределенная по закону Бернулли, или по биномиальному закону (другое название распределения).

Вероятность того, что в п испытаниях событие А произойдет ровно т раз, т. е. вероятность появления каждого из возможных значений X = т определяется по формуле Бернулли



где пир - параметры биномиального распределения; т = 1, 2, 3,

- число сочетаний из п по т.

Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение биномиально распределенной случайной величины определяются параметрами распределения п и р.



В теории надежности биномиальному распределению подчиняется, например, число отказавших элементов в схемах, состоящих из основных и резервных элементов при нагруженном резерве.

При больших значения п (л >100) и не очень малых значениях р

(п-р-q >20) биномиальное распределение хорошо аппроксимируется нормальным распределением.

Пример 4.4. Бригада слесарей КИПиА обслуживает 15 манометров. Предполагается, что число отказов манометров (случайная величина А) в течение заданного времени / подчиняется биномиальному закону с известными параметрами:

• 
  • п = 15 - количество независимых испытаний, равное в данном примере числу манометров;
  
• 
  • q = 0,2 - вероятность отказа одного манометра за время t.
  

Определить для заданного интервала времени t вероятность безотказной работы всех манометров и вероятность отказа 5 манометров.

Решение

Рассчитаем вероятность безотказной работы всех манометров как вероятность выхода из строя 0 манометров из общего числа п. Используем для этого формулу Бернулли



Таким образом, вероятность безотказной работы всех манометров в течение заданного времени t 

Рассчитаем вероятность отказа 

Распределение Пуассона

Если для тех же условий, что и в предыдущем пункте (биномиальное распределение), число испытаний велико, а вероятность появления событий в каждом испытании мала, то используется формула



где Л = п • р > 0 - параметр распределения; р - вероятность появления события в отдельном испытании; т = 0,1, 2,п - число появлений события в п независимых испытаниях.

Распределение дискретной случайной величины X, описываемое последней формулой, называется распределением Пуассона.

Математическое ожидание и дисперсия пуассоновского распределения равны параметру распределения



В теории надежности распределение Пуассона применяется для описания числа отказов сложных восстанавливаемых систем и однотипного оборудования на заданном интервале времени (0, t).

Соответствующая случайная величина Х(?), которая определяет

число отказов системы на интервале (0, /), уже будет зависеть от времени. Такой процесс называют случайным пуассоновским.

При фиксированном времени t функция X(t) будет случайной величиной, распределенной по закону Пуассона с параметром



Здесь Х-/Т_о является интенсивностью отказов системы, а Т_о, соответственно, средней наработкой между двумя соседними отказами системы.

Тогда вероятность возникновения отказа m раз за время t можно вычислить по следующей формуле



Причем отношение t/T₀ это среднее число отказов системы на интервале (0, t).

В данном случае математическое ожидание и дисперсия пуассоновского распределения равны среднему числу отказов системы на интервале (0, /)



Пример 4.5. На электростанцию прибыла партия теплообменных трубок в количестве п = 1000 шт. Вероятность того, что трубка окажется бракованной, равна р = 0,0011.

Какова вероятность того, что среди прибывших трубок будет т = 4 шт. бракованных?

Решение

Вычислим параметр распределения Пуассона



Определим искомую вероятность, что среди прибывших трубок будет 4 бракованных 

Распределения непрерывных случайных величин

Нормальный закон распределения

Наиболее важным из законов распределения непрерывных случайных величин является нормальный закон распределения (закон Гаусса, предельный закон). Это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Главная его особенность заключается в том, что он является предельным законом, к которому' приближаются все другие законы распределения.

Распределение случайной величины всегда подчиняется нормальному закону, если она зависит от большого числа однородных по своему воздействию факторов. Причем влияние каждого из них по сравнению со всей их совокупностью незначительно.

Нормальному закону подчиняются ошибки измерений.

В теории надежности этот закон чаще всего используется при оценке надежности объектов на стадии старения и износа. Например, в ряде случаев нормальному закону подчиняется распределение времени восстановления ремонтируемых объектов, наработка до отказа не- восстанавливаемых объектов.

Нормальное распределение используется для приближенных расчетов в тех случаях, когда имеет место биномиальное распределение, или распределение Пуассона.

Нормальному закону распределения подчиняются только непрерывные случайные величины. Поэтому нормальное распределение может быть задано:

• либо в виде плотности распределения (дифференциальной функции) 

• либо в виде интегральной функции распределения



Здесь х - независимая переменная; т_х и о_х - параметры нормального распределения.

Из этих формул видно, что нормальное распределение случайной величины является двухпараметрическим, т. е. полностью описывается двумя числовыми характеристиками:

• 
  • т_х=М[Х], являющимся математическим ожиданием случайной величины;
  
• 
  • g_v=ct(X), являющимся средним квадратическим отклонением случайной величины.
  

Для практического использования функции и плотности распределения перейдем от переменной х к другой переменной z = (x-m_r)/a_Jr,

имеющей математическое ожидание A/[Z] = 0 и дисперсию D] = 1.

В результате получается центрированное, нормированное распределение, дифференциальная cp(z) и интегральная Ф(д) функции которого табулированы [7] и имеют вид:



Функция cp(z) является симметричной, т. е. q>(-z) = -cp(z), а следовательно, Ф(-д) = 1-Ф(д).

В справочных таблицах (табл. П2.1, прил. 2) часто приводят значения не функции Ф(д), а несколько иной функции



называемой нормальной функцией Лапласса.

При z>0 справедливо соотношение Ф(д) = 0,5 + Ф₀(д).

Если в качестве случайной величины х принять наработку до отказа t объекта, то можно определить его показатели надежности при нормальном законе распределения по следующим формулам:

1) вероятность отказа 

2) вероятность безотказной работы 

3) интенсивность отказов 

4) среднее время безотказной работы   В последних формулах: 

т₁ и G'- параметры распределения (математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение); 

Пример 4.6. Время безотказной работы объекта подчиняется нормальному закону распределения с параметрами т₁ =7004 и ст, =1200, а заданное время работы объекта t_vl = 800 ч.

Необходимо вычислить количественные характеристики надежности объекта р(/_!Д), ^(/._1Д), А,(г_зд) для заданного момента времени t_xi и среднее время его безотказной работы Т_о.

Решение

Вероятность безотказной работы рассчитаем по формуле



где  - аргумент функции

Лапласа; Ф₀ (0,83) = 0,2967 - значение функции Лапласа по табл. П2.1 (прил. 2).

Вероятность отказа объекта   Интенсивность отказов объекта



где 

Среднее время безотказной работы объект Т₀.



Пример 4.7. Случайная величина Т (время безотказной работы объекта) подчиняется нормальному закону распределения с параметрами т, = 60 и а, = 20.

Требуется найти вероятность попадания случайной величины Т в заданный интервал (30; 90).

Решение

Для нормального закона распределения вероятность того, что Т примет значение, принадлежащее заданному интервалу [/,, t₂], вычисляется по формуле 

где  - аргументы

функции Лапласа;

- значения функции Лапласа по табл. П2.1 (прил. 2).

Вероятность попадания случайной величины Т в заданный интервал (30; 90) равна 

Экспоненциальный (показательный) закон распределения

Экспоненциальному закону распределения подчиняется:

• 
  • наработка на отказ ремонтируемых и неремонтируемых объектов при рассмотрении внезапных отказов;
  
• 
  • время безотказной работы сложных систем, прошедших период приработки и состоящих из элементов с различной интенсивностью отказов;
  
• 
  • длительность восстановления ремонтируемых объектов.
  

Случайная величина X называется распределенной по экспоненциальному (показательному) закону, если ее функция плотности имеет вид:



где X > 0 - постоянный параметр экспоненциального распределения.

Тогда дифференциальная функция распределения будет иметь вид:



Условием возникновения экспоненциального закона распределения времени до отказа служит постоянство интенсивности отказов X = const, что характерно для внезапных отказов на интервале времени, когда период приработки объекта закончился, а период износа и старения еще не начался, т. е. для нормальных условий эксплуатации.

Постоянной становится интенсивность отказов сложных объектов, если вызываются они отказами большого числа комплектующих элементов.

В частном случае, когда за случайную величину принимается время работы объекта, имеют место следующие зависимости между основными количественными характеристиками надежности.

Вероятность безотказной работы



Вероятность отказа

Интенсивность отказов 



Независимость интенсивности отказов от времени работы системы составляет главную отличительную особенность экспоненциального закона распределения случайной величины.

Среднее время безотказной работы (математическое ожидание наработки до отказа)



Дисперсия



Среднеквадратическое отклонение при этом равно 

Равенство среднеквадратического отклонения среднему времени работы - характерный признак экспоненциального распределения.

На практике это свойство часто используют для проверки истинности гипотезы о существовании экспоненциального закона распределения. Если Т_о существенно отличается от о, это означает, что экспоненциальный закон для данной технической системы несправедлив.

Одна из основных причин широкого использования экспоненциального закона заключается в том, что вследствие неизменности величины X, расчеты надежности при применении этого распределения наиболее просты.

Пример 4.8. Время работы объекта до отказа подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром X = 3 • 10 ⁴ 1/час.

Требуется вычислить количественные характеристики надежности объекта:

• вероятность безотказной работы p{t) и вероятность отказа q(t)

для заданного времени t = 1000 ч;

• среднее время безотказной работы 7

Решение

Вычислим вероятность безотказной работы   и вероятность отказа 

Найдем среднее время безотказной работы



Распределение Вейбулла

Распределение Вейбулла используется для оценки надежности «стареющих» объектов, при эксплуатации которых преобладают изно- совые отказы.

Также распределение Вейбулла хорошо описывает распределение:

• 
  • наработок до отказа многих невосстанавливаемых изделий (например, подшипников качения);
  
• 
  • наработок между отказами сложных систем, состоящих из последовательно соединенных дублированных элементов;
  
• 
  • характеристик прочности металлов.
  

Случайная величина X распределена по закону Вейбулла, если ее интегральная функция распределения имеет вид



где к - параметр масштаба распределения Вейбулла, к > 0; b - коэффициент формы, b > 0.

Тогда дифференциальная функция распределения будет иметь вид:



Параметр к определяет масштаб, при его изменении кривая распределения сжимается или растягивается. При Ь- 3,3 закон распределения Вейбулла близок к нормальному распределению.

При b -1 функция распределения Вейбулла совпадает с экспоненциальным распределением.

При b < 1 интенсивность отказов будет монотонно убывающей функцией (изделия, у которых имеются скрытые дефекты, но которые длительное время не стареют и опасность их отказа имеет наибольшее значение в начальный период).

При b> 1 интенсивность отказов будет монотонно возрастающей функцией (хорошо контролируемые при изготовлении изделия, почти не имеющие скрытых дефектов, но подверженные быстрому старению).

Широкое применение закона распределения Вейбулла объясняется тем, что этот закон, обобщая экспоненциальное распределение, содержит дополнительный параметр Ь. Это обстоятельство дает возможность подбирать для опытных данных наиболее подходящие параметры к и b с тем, чтобы уравнение функции распределения наилучшим образом совпадало с опытными данными.

Для случайной величины - времени безотказной работы объекта, распределенной по закону Вейбулла, количественные характеристики надежности рассчитываются по следующим формулам.

Вероятность безотказной работы 

Вероятность отказа 

Интенсивность отказов 

Среднее время безотказной работы (математическое ожидание наработки до отказа) 

где Г - гамма-функция, табулированные значения которой приведены в табл. П2.3 (прил. 2).

Пример 4.9. Время работы объекта до отказа подчинено закону Вейбулла с параметрами b = 1,5 и ? = 1-10 ⁴ 1/час.

Требуется вычислить количественные характеристики надежности объекта:

• 
  • вероятность безотказной работы /;(/) и интенсивность отказов Я,(?) для заданного времени / = 100 ч;
  
• 
  • среднее время безотказной работы T_Q.
  

Решение

Вычислим вероятность безотказной работы



и интенсивность отказов



Определим среднее время безотказной работы 

где 

Значение гамма-функции Г(0,666) найдено по табл. П2.3 (прил. 2) с учетом правила 

Гамма-распределение

Модель отказа, соответствующая гамма-распределению, имеет место в случае «накапливающихся повреждений». Предполагается, что отказ объекта произойдет только при нескольких «повреждениях», каждое из которых заключается в увеличении износа на некоторую постоянную величину.

Гамма-распределение занимает важное место в теории надежности и широко применяется при описании:

• 
  • появления отказов стареющих элементов;
  
• 
  • наработки на отказ резервированных систем, надежность элементов которых подчинена экспоненциальному закону;
  
• 
  • времени восстановления элементов.
  

Математическая модель гамма-распределения (дифференциальная функция) имеет вид 

где - исходная интенсивность отказов элементов устройства; к - параметр формы кривой распределения (физический смысл - число повреждений, после которого происходит отказ технического объекта).

Гамма-распределение является двухпараметрическим распределением. При различных параметрах это распределение принимает разнообразные формы, что и объясняет его широкое применение.

При к = 1 гамма-распределение совпадает с экспоненциальным распределением. При увеличении к гамма-распределение будет приближаться к симметричному распределению, а интенсивность отказов будет иметь все более выраженный характер возрастающей функции времени.

Для гамма-распределения времени безотказной работы объекта количественные характеристики надежности рассчитываются по следующим формулам.

Вероятность безотказной работы 

Вероятность отказа



Интенсивность отказов



Среднее время безотказной работы (математическое ожидание наработки до отказа)



Пример 4.10. Время t безотказной работы насосной установки, состоящей из одного основного и двух резервных насосов, подчинено гамма-распределению с параметрами к - 3 и А.₀ = 0,067 1/мес.

Требуется вычислить вероятность безотказной работы p(t) насосной установки в течение заданного времени t = 30 мес.

Решение

Вычислим искомую вероятность по формуле