Главная страница
Навигация по странице:

  • ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ.

  • СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

    		•

    Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры


    Скачать 24.02 Kb.
    НазваниеВычисление координат центра тяжести плоской фигуры
    Дата24.06.2021
    Размер24.02 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаvychislenie_koordinat_centra_tjazhe.docx
    ТипРеферат
    #221076

    Все о написании курсовых работ на сайте https://edunews.ru/students/konspekt/


    Министерство общего и профессионального образования Российской федерации.

    Уральский Государственный Технический Университет - УПИ.

    Реферат
    ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ.

    Выполнил:

    Студент группы Х-149

    Покровский П.В.
    Проверил:

    Преподаватель кафедры ВМ и УМФ

    Пироговская Л. М.

    Екатеринбург.

    1999.



    1. Координаты центра тяжести.


    Пусть на плоскости Oxy дана система материальных точек

    P1(x1,y1); P2(x2,y2); ... , Pn(xn,yn)

    c массами m1,m2,m3, . . . , mn.

    Произведения ximi и yimi называются статическими моментами массы mi относительно осей Oy и Ox.

    Обозначим через xc и yc координаты центра тяжести данной системы. Тогда координаты центра тяжести описанной материальной системы определяются формулами:
    Эти формулы используются при отыскании центров тяжести различных фигур и тел.


    1. Центр тяжести плоской фигуры.


    Пусть данная фигура, ограниченная линиями y=f1(x), y=f2(x), x=a, x=b, представляет собой материальную плоскую фигуру. Поверхностною плотность, то есть массу единицы площади поверхности, будем считать постоянной и равной  для всех частей фигуры.

    Разобьем данную фигуру прямыми x=a, x=x1, . . . , x=xn=b на полоски ширины x1, x2, . . ., xn. Масса каждой полоски будет равна произведению ее площади на плотность . Если каждую полоску заменить прямоугольником (рис.1) с основанием xi и высотой f2()-f1(), где , то масса полоски будет приближенно равна

    (i = 1, 2, ... ,n).

    Приближенно центр тяжести этой полоски будет находиться в центре соответствующего прямоугольника:

    Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой, масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центре тяжести этой полоски, найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры:

    Переходя к пределу при , получим точные координаты центра тяжести данной фигуры:


    Эти формулы справедливы для любой однородной (т.е. имеющей постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как видно, координаты центра тяжести не зависят от плотности  фигуры (в процессе вычисления  сократилось).


    3. Координаты центра тяжести плоской фигуры
    В предыдущей главе указывалось, что координаты центра тяжести системы материальных точек P1, P2, . . ., Pn c массами m1, m2, . . ., mn определяются по формулам
    .
    В пределе при интегральные суммы, стоящие в числителях и знаменателях дробей, перейдут в двойные интегралы, таким образом получаются точные формулы для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры:
    (*)

    Эти формулы, выведенные для плоской фигуры с поверхностной плотностью 1, остаются в силе и для фигуры, имеющей любую другую, постоянную во всех точках плотность .

    Если же поверхностная плотность переменна:


    то соответствующие формулы будут иметь вид


    Выражения

    и
    называются статическими моментами плоской фигуры D относительно осей Oy и Ox.

    Интеграл выражает величину массы рассматриваемой фигуры.

    1. Теоремы Гульдена.

    Теорема 1.

    Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна длине дуги кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести дуги.
    Теорема 2.

    Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры.


    II.Примеры.
    1)

    Условие: Найти координаты центра тяжести полуокружности X2+Y2=a2, расположенной над осью Ox.

    Решение: Определим абсциссу центра тяжести: ,

    Найдем теперь ординату центра тяжести:

    2)

    Условие: Определить координаты центра тяжести сегмента параболы y2=ax, отсекаемого прямой, х=а (рис. 2)


    Решение: В данном случае поэтому

    (так как сегмент симметричен относительно оси Ox)
    3)

    Условие: Определить координаты центра тяжести четверти эллипса (рис. 3)
    полагая, что поверхностная плотность во всех точках равна 1.

    Решение: По формулам (*) получаем:


    4)

    Условие:

    Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии .
    Решение:

    1Так как кривая симметрична относительно оси Oy, то ее центр тяжести лежит на оси Oy, т.е. Xc= 0. Остается найти . Имеем тогда длина дуги


    Следовательно,


    5)

    Условие:

    Пользуясь теоремой Гульдена найти координаты центра тяжести четверти круга

    .

    Решение:

    При вращении четверти круга вокруг оси Ох получим полушар, объем которого равен

    Согласно второй теореме Гульдена, Отсюда Центр тяжести четверти круга лежит на оси симметрии, т.е. на биссектрисе I координатного угла, а потому


    1. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ




    1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. «Высшая математика в упражнениях и задачах», часть 2, «Высшая школа», Москва, 1999.

    2. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов», том 2, «Наука», Москва, 1965



    Все о написании курсовых работ на сайте https://edunews.ru/students/konspekt/

    написать администратору сайта