теория вероятностей урок. Вычисление вероятностей событий по классической формуле вероятности
 Скачать 40.06 Kb.
|
|
Практическая работа «Вычисление вероятностей событий по классической формуле вероятности» Цель: формирование умений решать задачи, используя классическую формулу вероятности; закрепление умений решать задачи, используя определения и формулы разных видов комбинаций без повторений и с повторениями; решать задачи, используя правила комбинаторики. Классическое определение вероятности Пример 1. Пусть в урне содержится 6 одинаковых шаров, причем 2 из них - красные, 3 - синие и 1 - белый. Какова возможность вынуть наудачу из урны цветной шар? Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается можно. Это число и называется вероятностью события А (появления цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события. Каждый из возможных результатов испытания (в примере 4, испытание состоит в извлечении шара из урны) называется элементарным исходом. Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, называются благоприятствующими этому событию. В примере 4 благоприятствуют событию А (появление цветного шара) 5 исходов. События называются равновозможными, если есть основания считать, что не одно из них не является более возможным, чем другое. Пример 2. Появление того или иного числа очков на брошенном игральном кубике – равновозможные события. Вероятностью P(A) события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Вероятность P(A) события А определяется по формуле  ,где m – число элементарных исходов, благоприятствующих A; n – число всех возможных элементарных исходов испытания. В примере 4 всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того что взятый шар окажется цветным, равна P(A) = 5/6. Пример 3. Определить вероятность выпадения нечётного числа очков на кости. Решение. При бросании кости событие A – «выпало нечётное число очков» можно записать как подмножество {1, 3, 5} пространства исходов {1, 2, 3, 4, 5, 6} (рис. 1).  Рис. 1. Пространство исходов при бросании кости Число всех равновозможных исходов n = 6, а число благоприятных событию A – m = 3. Следовательно,  Пример 4. В урне находится 7 шаров: 2 белых, 4 черных и 1 красный. Вынимается один шар наугад. Какова вероятность того, что вынутый шар будет чёрным? Решение. Занумеруем шары. Пусть, например, шары с номерами 1 и 2 – белые, с номерами 3, 4, 5 и 6 – чёрные, а красному шару присвоим номер 7. Так как мы можем вынуть только один из семи шаров, то общее число равновозможных исходов равно семи (n = 7). Из них 4 исхода – появление шаров с номерами 3, 4, 5 и6 – приведут к тому, что вынутый шар будет чёрным (m = 4). Тем самым, вероятность события А, состоящего в появлении чёрного шара, равна  Вычислите вероятность того, что вынутый шар будет белым. Пример 5. Вычислить вероятность выпадения в сумме 10 очков при бросании пары костей. Решение. Рассмотрим все равновозможные исходы в результате бросания двух костей (их число равно 36 - рекомендуем записать в виде таблицы). Выпадение в сумме 10 очков (событие А) возможно в трёх случаях – 4 очка на первой кости и 6 на второй, 5 очков на первой и 5 на второй, 6 очков на первой и 4 на второй. Поэтому вероятность события А (выпадения в сумме 10 очков) равна  Пример 6. Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент подготовил 50. Какова вероятность того, что взятый наудачу студентом билет, содержащий 2 вопроса, будет состоять из подготовленных им вопросов? Решение. 1) Обозначим событие А - «Вытянутый студентом билет состоит из подготовленных им билетов». Для вычисления вероятности появления данного события воспользуемся классическим определением вероятности события, согласно которому вероятность определяется по формуле:  где m – число исходов, при которых появляется событие А, n – общее число элементарных несовместных равновозможных исходов. 2) Определим n. Общее число билетов определяется сочетанием по 2 из 60:  3) Количество билетов, вопросы которых студент знает, определяется сочетанием по 2 из 50:  4) Определим вероятность события А:  Ответ: Вероятность того, что взятый наудачу студентом билет, содержащий 2 вопроса, будет состоять из подготовленных им вопросов равна Р(А) = 0,69. То есть, если будет, например, 100 таких студентов, то 69 из них вытянут билеты, к вопросам которых они подготовлены. Свойство 1. Вероятность достоверного события А равна единице: Р(А) = 1. Свойство 2. Вероятность невозможного события А равна нулю: Р(А) = 0. Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей:  Пример 7. Так как вероятность выпадения 13 очков при бросании пары костей – невозможное событие, его вероятность равна нулю. Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. Кроме этого, часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. По этой причине, наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения, в частности статистическое определение. Статистическое определение вероятности Относительная частота наряду с вероятностью принадлежит к основным понятиям теории вероятностей. Относительной частотой события А называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний:  ,где m – число появлений события А, n – общее число испытаний. Классическая вероятность вычисляется до опыта, а относительная частота – после опыта. Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Это постоянное число и есть вероятность появления события. Таким образом, при достаточно большом количестве испытаний в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней. П  ример 7. Естествоиспытатель К. Пирсон терпеливо подбрасывал монету и после каждого бросания не ленился записывать полученный результат. Проделав эту операцию 24 000 раз, он обнаружил, что герб выпадал в 12 012 случаях. Вычисляя относительную частоту выпадения герба, он получил , что практически равно 1/2. Содержание практической работы Решите задачу: Задача 1. В урне находится 15 белых, 5 красных и 10 чёрных шаров. Наугад извлекается 1 шар, найти вероятность того, что он будет: а) белым, б) красным, в) чёрным. Задача 2. В коробке лежат 8 зеленых, 7 синих и 15 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым. Задача 3. В одной коробке находится 4 белых и 8 черных шаров, а в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой коробки вынули по шару. Вычислить вероятность того, что оба шара окажутся белыми. Задача 4. В магазин поступило 30 холодильников, пять из которых имеют заводской дефект. Случайным образом выбирают один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта? Задача 5. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры. Задача 6. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наугад. Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в 3 места. Задача 7. Абонент забыл последние 2 цифры телефонного номера, но помнит, что они различны и образуют двузначное число, меньшее 30. С учетом этого он набирает наугад 2 цифры. Найти вероятность того, что это будут нужные цифры. |