корреляция. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ. Виды и формы связей, различаемые в статистике

• Название: Виды и формы связей, различаемые в статистике
• Анкор: корреляция
• Дата: 12.12.2022
• Размер: 276.72 Kb.
• Имя файла: КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ.pptx
• Тип: Документы; #840486

Виды и формы связей, различаемые в статистике

• Функциональная связь — это вид причинной зависимости, при которой определенному значению факторного признака соответствует одно или несколько точно заданных значений результативного признака.

Чаще всего функциональные связи наблюдаются в явлениях, описываемых математикой, физикой и другими точными науками.

Например, при у = √x— связь между у и х является строго функциональной, но значению х = 4 соответствует не одно, а два значения y1 = +2; y2= -2.

• Стохастическая связь — это вид причинной зависимости, проявляющейся не в каждом отдельном случае, а в общем, в среднем, при большом числе наблюдений.
• Всегда имеет место влияние случайного. Появляющиеся различные значения зависимой переменной – реализации случайной величины.
• Проявление стохастических связей подвержено действию закона больших чисел: лишь в достаточно большом числе единиц индивидуальные особенности сгладятся, случайности взаимопогасятся и зависимость, если она имеет существенную силу, проявится достаточно отчетливо.
• В социально-экономической жизни приходится сталкиваться со многими явлениями, имеющими вероятностный характер.
• Например, уровень производительности труда рабочих стохастически связан с целым комплексом факторов: квалификацией, стажем работы, уровнем механизации и автоматизации производства, интенсивностью труда, простоями, состоянием здоровья работника, его настроением, атмосферным давлением и др.

• Полный перечень факторов неизвестен.
• Кроме того, неодинаково действие любого известного фактора на уровень производительности труда каждого рабочего.
• Изменение атмосферного давления, к примеру, значительно снижает работоспособность рабочих, страдающих заболеваниями сердечно-сосудистой системы, и практически не сказывается на производительности труда здоровых. В результате – при одинаковых возможностях наблюдается распределение значений дневной выработки рабочих.
• Такое распределение носит условный характер, поскольку оно связано с фиксированными значениями факторных признаков.
• Различия условных распределений имеют выраженную направленность связи (например, выработка растет с повышением квалификации рабочего). Эту направленность связи можно раскрыть более наглядно, если ограничиться рассмотрением только одного аспекта стохастической связи – изучением вместо условных распределений лишь одного их параметра – условного математического ожидания (частные случаи стохастической связи – корреляционная и регрессионная).

• Корреляционная связь — это зависимость среднего значения результативного признака от изменения факторного признака; в то время как каждому отдельному значению факторного признака Х может соответствовать множество различных значений результативного (Y).

Степень выраженности связи между вариационными рядами отражает понятие корреляция.

Связь может быть слабой, средней, сильной.

Количественно взаимосвязь между случайными величинами определяет коэффициент корреляции - r

Коэффициент корреляции

одним числом дает представление о направлении и силе связи между признаками (явлениями);

пределы его колебаний от 0 до +1

• Если r<0, то это означает, что с увеличением величины Х1 соответствующие им значения Х2 второго вариационного ряда в среднем также уменьшаются.
• Если r>0, то с увеличением значений одной величины другая также в среднем возрастает.
• Если r=0, то это означает, что случайные величины Х1 и Х2 абсолютно независимы.
• Если r=1 между параметрами существует прямо пропорциональная функциональная зависимость.

Методические требования к использованию коэффициента корреляции

• Измерение связи возможно только в качественно однородных совокупностях (например, измерение связи между ростом и весом в совокупностях, однородных по полу и возрасту).
• Расчет может производиться с использованием как абсолютных, так и производных величин.

Схема оценки корреляционной связи по коэффициенту корреляции

Сила связи	Направление связи
	Прямая (+)	Обратная (-)
Сильная	От +1 до +0,7	От -1 до -0,7
Средняя	От +0,699 до +0,3	От -0,699 до -0,3
Слабая	От +0,299 до 0	От -0,299 до 0

Связь, при которой коэффициент корреляции равен + 1,0 или – 1,0, называется полной (функциональной).

Методы определения коэффициента корреляции и формулы

• Метод квадратов (метод Пирсона);
• Ранговый метод (метод Спирмена).

Рекомендации к применению метода квадратов (Пирсона)

• Требует нормальности распределения;
• Когда признаки имеют только количественное выражение.

1) Метод квадратов

а) построить вариационные ряды для каждого из сопоставляемых признаков;

б) определить для каждого вариационного ряда средние величины;

в) найти отклонения ( и ) каждой варианты от средней соответствующего вариационного ряда;

г) полученные отклонения перемножить ( ) и просуммировать

( )

д) каждое отклонение возвести в квадрат и просуммировать по каждому ряду ( и )

е) подставить полученные значения в

формулу расчета коэффициента корреляции:

Рекомендации по применению метода ранговой корреляции (Спирмена)

• Не требует какого-либо определенного распределения;
• Когда признаки не только количественные, но и атрибутивные;
• Когда ряды распределения признаков имеют открытые варианты

(например, стаж работы до 1 года).

2) Ранговый метод

а) составить два ряда из парных сопоставляемых признаков, обозначив первый и второй ряд, соответственно, x и y.

При этом представить первый и второй ряд признака в убывающем или возрастающем порядке, а числовые значения второго ряда расположить напротив того значения первого ряда, которым они соответствуют;

в) определить разность рангов между x и y ( d )

d = x – y;

г) возвести полученную разность рангов в квадрат ( );

д) получить сумму квадратов разности ( ) и подставить полученные значения в формулу:

• где n – число пар ранжированных наблюдений.
• Значимость коэффициента Спирмена проверяется на основе t критерия Стьюдента по формуле
• Значение коэффициента считается существенным, если tнабл > tкрит (α ;k = п — 2).

Статистическая значимость корреляции

Для метода Пирсона

Критерий t оценивается по таблице значений t с учетом числа степеней свободы (n-2), где n – число парных вариант.

Критерий t должен быть равен или больше табличного, соответствующего вероятности p ≥ 95 %

t=	rxy

Значение критерия t (по Н.А. Плохинскому)

n' (число наблюдений - 1)	(P) Вероятность безошибочного прогноза			n' (число наблюдений - 1)	(P) Вероятность безошибочного прогноза
	95%	99%	99,9%		95%	99%	99,9%
1	12,7	63,7	637,0	11	2,2	3,1	4,4
2	4,3	9,9	31,6	12	2,2	3,1	4,3
3	3,2	5,8	12,9	13	2,2	3,0	4,1
4	2,8	4,6	8,6	14-15	2,1	3,0	4,1
5	2,6	4,0	6,9	16-17	2,1	2,9	4,0
6	2,4	3,7	6,0	18-20	2,1	2,9	3,9
7	2,4	2,5	5,3	21-24	2,1	2,8	3,8
8	2,3	3,4	5,0	25-28	2,1	2,8	3,7
9	2,3	3,3	4,8	29-30	2,0	2,8	3,7
10	2,2	3,2	4,6

При этом значимым считается такой коэффициент корреляции, когда при определенном числе степеней свободы он равен или больше табличного, соответствующего степени безошибочного прогноза

p ≥ 95 %.

Если объем выборки больше 50, нужно применить критерий Стьюдента:

rxy

t=

Задание №1

• Врач-исследователь выясняет зависимость площади пораженной части легких у людей, заболевших эмфиземой легких, от числа лет курения. Статистические данные, собранные им в некоторой области, имеют следующий вид: Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,05.

Задание №2

• В. Ернайчик (W. Jernajczyk. Latency of eye movement and other REM sleep parameters in bipolar depression. Biol. Psychiatry,21:465—472, 1986), изучая физиологию сна при депрессии, столкнулся с необходимостью оценки тяжести этого заболевания.
• Шкала депрессии Бека основана на опроснике, заполняемом самим больным. Она проста в применении, однако специфичность ее недостаточна.
• Применение шкалы депрессии Гамильтона более сложно, поскольку требует участия врача, но именно эта шкала дает наиболее точные результаты.

• Тем не менее автор был склонен использовать шкалу Бека. В самом деле, если ее специфичность недостаточна для диагностики, то это еще не говорит о том, что ее нельзя использовать для оценки тяжести депрессии у больных с уже установленным диагнозом.
• Сравнив оценки по обеим шкалам у 10 больных, В. Ернайчик получил следующие результаты.
• Насколько согласованы оценки?

Номер больного	Оценка по шкале депрессии Бека	Оценка по шкале депрессии Гамильтона
1	20	22
2	11	14
3	13	10
4	22	17
5	37	31
6	27	22
7	14	12
8	20	19
9	37	29
10	20	15

Задание №3

• Исследуя проницаемость сосудов сетчатки, Дж. Фишман и соавт. (G. A. Fishman et al. Blood-retinal barrier function in patients with cone or cone-rod dystrophy. Arch. Ophthalmol, 104:545—548, 1986) решили выяснить, связан ли этот показатель с электрической активностью сетчатки. Позволяют ли полученные данные говорить о существовании связи?

Проницаемость сосудов сетчатки	Электрическая активность сетчатки
19,5	0,0
15,0	38,5
13,5	59,0
23,3	97,4
6,3	119,2
2,5	129,5
13,0	198,7
1,8	248,7
6,5	318,0
14	438,5

Задание №4

• методом рангов установить направление и силу связи между стажем работы в годах и частотой травм, если получены следующие данные:

Регрессионный анализ

Регрессия

– это функция, позволяющая по средней величине одного признака определить среднюю величину другого признака.

• В уравнении регрессии одна из переменных, х, называется независимой переменной, а другая, у, — зависимой.
• это не означает, что одна переменная действительно определяет другую. Просто по значению одного признака мы предсказываем значение второго.

• Подбор упрощенной аппроксимации связи между переменными с помощью математической модели
• Количественное измерение эффекта с помощью коэффициента регрессии
• Для прогноза

Уравнение регрессии

Μy/x=α+βx

α — значение у в точке х = 0 (коэффициент сдвига)

β — коэффициент наклона.

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕСИИ ПО ВЫБОРКЕ

• Метод наименьших квадратов

Oценка параметров уравнения регрессии α и β. Обозначим их выборочные оценки соответственно а и b.

Тогда,

y=a+bx – уравнение прямой для выборочной совокупности.

Какая прямая лучше?

• Коэффициент сдвига

• Угол наклона

• Азотистый баланс — разность между количеством азота, который попадает в организм с пищей, и количеством азота, выводимого из организма, — важный показатель полноценности питания. Отрицательный азотистый баланс свидетельствует о том, что организм не получает достаточно белка. Нормы суточного потребления белка, рекомендуемые Всемирной органи­зацией здравоохранения и Японским комитетом питания, рас­считаны главным образом на мужчин. Целью исследования К. Канеко и Г. Койке (К. Kaneko, G. Koike. Utilization and requirement of egg protein in Japanese women. J. Nutr. Sci. VitaminoL (Tokyo), 31:43—52, 1985) было определить количество белка в рационе, необходимое для поддержания нулевого азотистого баланса у японских женщин. Связь суточного потребления азота и азотистого баланса определили при калорийности суточного рациона 37 и 33 ккал/кг. Были получены следующие данные:

Калорийность суточного рациона
37 ккал/кг		33 ккал/кг
Потребление азота, мг/кг	Азотистый баланс, мг/кг	Потребление азота, мг/кг	Азотистый баланс, мг/кг
49	-30	32	-32
47	-22	32	-20
50	-29	32	-17
76	-22	51	-10
77	-15	53	-20
99	-10	51	-18
98	-11	52	-21
103	-10	74	4
118	-1	72	-16
105	-4	74	-14
100	-13	98	6
98	-14	97	-7

Найдите уравнения регрессии для обеих групп. Изобразите на одном рисунке результаты наблюдений и линии регрессии.

Для группы 37 ккал/кг найдите величину потребления азота, обеспечивающую нулевой азотистый баланс.

Задача №2

• По данным из таблицы вывести уравнение линейной регрессии.
• Нанести на график исходные данные и линию регрессии.
• По уравнению регрессии определить каков в среднем вес людей с ростом 180 см.

рост_см	вес_кг
170	75
162	65
165	70
178	82
182	75
159	63
175	80
188	90
167	66
175	60