Ряды динамики. Т 6 Ряды динамики. Виды временных рядов

• Название: Виды временных рядов
• Анкор: Ряды динамики
• Дата: 24.10.2022
• Размер: 237.05 Kb.
• Имя файла: Т 6 Ряды динамики.docx
• Тип: Документы; #751533
• страница: 3 из 4

Линейная модель: 

Расчёт параметров модели производится по формулам:



2. Параболическая модель: 

Расчёт параметров модели производится по формулам:



3. Показательная (экспоненциальная) модель: 

Расчёт параметров модели производится по формулам:



При расчёте коэффициентов моделей переходят к центрированной шкале:

• 
  в случае нечётного числа наблюдений начало координат (t=0) будет соответствовать уровню ряда с номером   . Все остальные значения строятся с шагом один вверх со знаком « + », вниз со знаком « – »;
  
• 
  в случае чётного числа наблюдений уровням ряда с номерами    и    присваиваются значения    и    и далее временная шкала строится с интервалом два, вверх со знаком « + », вниз со знаком « – ».
  

Вопрос о возможности применения построенных моделей в целях анализа и прогнозирования явления или процесса может быть решён только проверки адекватности, то есть соответствия модели исследуемому процессу.

Проверка адекватности выбранных моделей реальному процессу строится на анализе остаточной компоненты: 

Принято считать, что модель адекватна описываемому процессу, если ряд остатков обладает следующими свойствами:

• 
  подчиняется нормальному закону распределения;
  
• 
  значения уровней ряда остатков между собой независимы.
  

Проверка на нормальность распределения ряда остатков осуществляется на основе расчёта коэффициентов асимметрии и эксцесса:

   – коэффициент асимметрии,

  – коэффициент эксцесса.

Нулевая гипотеза Н₀: ряд остатков имеет нормальное распределение,

Альтернативная гипотеза Н₁: ряд остатков не имеет нормального распределения.

Для проверки гипотезы проверяется выполнение следующих неравенств:



Если оба неравенства выполняются (верны), то гипотеза Н₀ принимается, то есть ряд остатков имеет нормальное распределение. Если хотя бы одно из неравенств неверно, то гипотеза Н₀ отвергается, и принимается альтернативная гипотеза Н _1.

Проверка на независимость ряда остатков осуществляется на основе критерия Дарбина-Уотсона.

I случай

Нулевая гипотеза Н₀: автокорреляция остатков отсутствует.

Альтернативная гипотеза Н₁: в остатках существует положительная автокорреляция первого порядка.

Найдём расчётное значение критерия Дарбина-Уотсона по формуле:

 , в этом случае  .
Расчётное значение критерия сравнивается с табличными значениями    и    (приложение 2):

• 
  если   , то гипотеза Н₀ отвергается в пользу гипотезы Н₁;
  
• 
  если   , то гипотеза Н₀ не отвергается;
  
• 
  если   , то нельзя сделать определённого вывода об автокорреляции остатков по имеющимся данным.
  

II случай

Нулевая гипотеза Н₀: автокорреляция остатков отсутствует.

Альтернативная гипотеза Н₁: в остатках существует отрицательная автокорреляция первого порядка.

Найдём расчётное значение критерия Дарбина-Уотсона по формуле:

 , в этом случае   .

C табличными значениями    и    сравнивается величина   :

• 
  если   , то гипотеза Н₀ отвергается в пользу гипотезы Н₁;
  
• 
  если   , то гипотеза Н₀ не отвергается;
  
• 
  если   , то нельзя сделать определённого вывода об автокорреляции остатков по имеющимся данным.
  

Важной характеристикой качества модели, выбранной для прогнозирования, является исследование этой модели на точность. Для этого используют ряд показателей:

1. 
   средняя ошибка аппроксимации   :
   

• 
  если    – модель имеет высокую точность;
  
• 
  если    – модель имеет хорошую точность;
  
• 
  если    – модель имеет удовлетворительную точность;
  
• 
  если    – модель не пригодна для прогнозирования.
  

2. средняя квадратическая ошибка    

Чем меньше s, тем точнее модель.

Пример 2. В таблице представлены данные об изменении урожайности озимой пшеницы за 9 лет (пример 1):

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
yt	15,3	17,2	18,1	17,6	17,3	16,9	20,9	18,9	17,8

Требуется:

• 
  построить линейную, параболическую и показательную прогнозные модели;
  
• 
  проверить линейную модель на адекватность и точность;
  
• 
  найти прогнозные значения урожайности на следующие три года.
  

Решение:

1. 
   Для построения линейной, параболической и показательной моделей (расчёта их параметров) составим сводную таблицу (второй столбец в таблице (t) – центрированная шкала).
   

год	t	yt	t2	yt ·t	t4	yt · t2	lnyt	(lnyt)·t
1	-4	15,3	16	-61,2	256	244,8	2,728	-10,912
2	-3	17,2	9	-51,6	81	154,8	2,845	-8,535
3	-2	18,1	4	-36,2	16	72,4	2,896	-5,792
4	-1	17,6	1	-17,6	1	17,6	2,868	-2,868
5	0	17,3	0	0	0	0	2,851	0
6	1	16,9	1	16,9	1	16,9	2,827	2,827
7	2	20,9	4	41,8	16	83,6	3,04	6,08
8	3	18,9	9	56,7	81	170,1	3,939	8,817
9	4	17,8	16	71,2	256	284,8	2,879	11,516
сумма		160	60	20	708	1045	25,873	1,133