Ряды динамики. Т 6 Ряды динамики. Виды временных рядов

• Название: Виды временных рядов
• Анкор: Ряды динамики
• Дата: 24.10.2022
• Размер: 237.05 Kb.
• Имя файла: Т 6 Ряды динамики.docx
• Тип: Документы; #751533
• страница: 1 из 4

Ряды динамики. Виды временных рядов

Временной ряд – это ряд расположенных в хронологической последовательности значений статистического показателя, характеризующего изменение явления во времени.

Всякий временной ряд включает два обязательных элемента: время (t) и значение показателя ( ), или уровень ряда.

Виды временных рядов:

Временные ряды можно подразделить в зависимости от расстояния между уровнями, наличия основной тенденции и т.д.

1. В зависимости от того, как уровни ряда выражают состояния явления во времени ряды делятся на:

• 
  интервальные – представляются последовательностью значений показателей за определенный интервал времени (год, квартал, месяц и т.д.);
  
• 
  моментные – представляются в виде последовательности показателей, относящихся к конкретным моментам времени (на 1 марта, 1 августа и т.д.).
  

2. В зависимости от расстояния между уровнями ряды делятся на:

• 
   с равноотстоящими уровнями по времени – уровни представлены через равные, следующие друг за другом (моменты) времени;
  
• 
  с неравноотстоящими уровнями по времени – во временных рядах прерывающиеся или неравномерные интервалы (моменты) времени.
  

3. В зависимости от наличия основной тенденции изучаемого процесса временные ряды делятся на:

• 
  стационарные – ряды, основные статистические характеристики которых, такие как среднее значение и дисперсия, остаются постоянными во времени. Следовательно, стационарным будет тот временной ряд, значения которого с течением времени колеблются вокруг фиксированного уровня, не возрастая и не убывая. Считается, что ряд, имеющий тренд, не является стационарным;
  
• 
  нестационарные - ряды, выборочные автокорреляции остаются достаточно большими.
  

Один из методов анализа временных рядов включает попытку определить составляющие факторы, которые влияют на каждое значение временного ряда. Подобная процедура называется декомпозицией. Методы декомпозиции используются как для кратковременных, так и для долговременных прогнозов.

Рассмотрим компоненты временных рядов. Это трендовая, сезонная, циклическая и нерегулярная (или случайная) компоненты:

1. 
   Тренд – это компонента, представляющая основной рост (или спад) во временном ряду. Таким образом, под трендом понимается долгосрочная составляющая, характеризующая общую тенденцию изменения временного ряда в течение длительного периода времени. Факторами, порождающими тренд, могут быть, например, изменения состава населения, инфляция, технологические изменения, рост производства, рост цен и т.д. Компонента тренда обозначается буквой Т.
   
2. 
   Циклическая компонента – это последовательность волнообразных флуктуаций или циклы длительностью более одного года. Циклическая компонента отражает цикл деловой активности, периоды объема и спроса. На практике сложно идентифицировать цикл, так как он часто кажется частью тренда. Циклическая компонента обозначается буквой С.
   
3. 
   Сезонность. Сезонные изменения обычно присутствуют в квартальных, месячных или недельных данных. Под сезонными вариациями понимаются изменения с более или менее стабильной структурой, имеющие годовую цикличность и повторяющиеся из года в год. Сезонным фактором, например, являются погодные условия, соответствующие какому-либо времени года. Сезонная компонента обозначается буквой S.
   
4. 
   Нерегулярная компонента включает непредсказуемые или случайные флуктуации, отражает быстрые изменения, как правило, малой длительности. Они вызываются редкими и непредсказуемыми событиями: природными катаклизмами, войной, эпидемиями, сменой власти и т.д. Нерегулярная компонента обозначается буквой I.
   

Все компоненты временного ряда взаимосвязаны между собой и являются теоретическими понятиями. Разделение временных рядов на компоненты – это теоретическая абстракция, так как данное разделение является чисто математической процедурой и осуществляется на базе статистических методов. Но такой прием может оказаться довольно полезным для решения разных проблем анализа и прогнозирования на базе временных рядов.

Для изучения компонент временных рядов аналитик должен рассмотреть, как каждая из них связана с реальным рядом. Эта задача решается посредством задания модели, в которой переменная ряда Y выражается в терминах его компонент T, C, S, I. Модель, которая трактует каждое значение временного ряда как сумму компонент, называется моделью аддитивных компонентов и имеет вид:

                              

Модель, рассматривающая каждое значение временного ряда как произведение компонент, называется мультипликативной моделью и имеет вид:

                      

При допущении модели (1) вклад сезонной компоненты остается постоянным с течением времени для данной части года. Для модели (2) абсолютная величина сезонной колеблемости возрастает по мере роста уровней временного ряда. На практике эта модель используется чаще. 

2. Моделирование тенденции временного ряда

Прежде чем приступить к моделированию и прогнозированию социально-экономических явлений и процессов необходимо проверить гипотезу о наличии тенденции в исходном временном ряду.

Проверка на наличие тенденции среднего уровня и дисперсии может быть произведена методом сравнения средних уровней временного ряда и методом Фостера-Стюарта.

1. 
   Метод сравнения средних уровней временного ряда
   

Этот метод предполагает, что исходный ряд разбивается на две приблизительно равные части по числу членов ряда, каждая из которых рассматривается как самостоятельная, независимая выборочная совокупность, имеющая нормальное распределение.

Если временной ряд имеет тенденцию, то средние, вычисленные для каждой совокупности в отдельности, должны существенно, значимо различаться между собой. Если же расхождение незначимо и носит случайный характер, то временной ряд не имеет тенденции средней.

Нулевая (основная гипотеза) Н₀: средние значения двух нормально распределенных совокупностей равны:



Альтернативная (конкурирующая) гипотеза Н₁: средние значения двух нормально распределенных совокупностей не являются равными:



Гипотеза проверяется на основе t-критерия Стьюдента, расчетное значение которого определяется по формуле:



где   и  - средние уровни временного ряда согласно порядку разбиения;
и - число уровней временного ряда, соответственно первой и второй части;
и   - дисперсия уровней ряда.

Расчетное значение (   ) критерия сравнивается с его критическим (табличным) значением (   ) при уровне значимости α и числе степеней свободы n=n-2.

Если   >   , то гипотеза о равенстве средних уровней ряда двух нормально распределенных совокупностей отвергается, следовательно, расхождение между вычисленными средними величинами значимо, существенно и носит неслучайный характер, и, следовательно, во временном ряду существует тенденция  средней и существует тренд.

2. Метод сравнения дисперсий временного ряда

Если временной ряд имеет тенденцию, то дисперсии, вычисленные для каждой совокупности в отдельности, должны существенно и значимо различаться между собой. Если же расхождение между ними не значимо, то временной ряд не имеет тенденции дисперсии.

Таким образом, проверяется нулевая гипотеза Н₀: дисперсии двух нормально распределенных совокупностей равны (тенденция в дисперсиях отсутствует)



Альтернативная гипотеза Н₁: дисперсии двух нормально распределенных совокупностей не равны (тенденция в дисперсиях присутствует)



Гипотеза проверяется на основе F-критерия Фишера-Снедекора, расчетное значение которого определяется по формуле:

 , если   и  , если 

Проверка гипотезы осуществляется на основе сравнения расчетного и критического значений F-критерия, полученного при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы n₁, n₂.

Если    то n₁=n₂ – 1;

                              n₂=n₁ – 1.

  Если    то n₁=n₁ – 1;

                               n₂=n₂ – 1.

Гипотеза о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей отвергается, если F_p >F_кр. Следовательно, расхождение между вычисленными дисперсиями значимо, существенно, носит неслучайный характер и в ряду динамики существует тенденция в дисперсиях и существует тренд.

Следует отметить, что данный метод дает вполне приемлемые результаты лишь в случае рядов с монотонной тенденцией. Если же ряд динамики меняет направление развития, то точка поворота тенденции может оказаться близкой к середине ряда, в силу этого средние двух отрезков ряда будут близки и проверка может не показать наличие тенденции.

3. Метод Фостера-Стюарта

Проверяется нулевая гипотеза Н₀: тренд не существует, альтернативная гипотеза Н₁: тренд существует.

Это метод основан на следующих характеристиках:



где



Суммирование проводится по всем членам ряда. Значения  и определяются путем последовательного сравнения уровней.

Если значение уровня ряда превышает по своей каждый из предыдущих уровней, то величине   присваивается значение 1, в остальных случаях она равна 0.

Таким образом, 

Наоборот, если значение уровня меньше всех предыдущих,   присваивается значение 1.

Таким образом, 

Показатели S и d асимптотически нормальные и имеют независимые распределения, но на них влияет порядок расположения уровней во времени. Показатель S применяется для обнаружения тенденции изменения в дисперсиях, d – для обнаружения тенденций в средней. После того, как для исследуемого ряда найдены фактические значения S и d, проверяется гипотеза о том, можно ли считать случайными разности S - m  и  d – 0. гипотезы можно проверять, применяя t-критерий Стьюдента, то есть:



где   - математическое ожидание величины S, определенное для случайного расположения уровней во времени;
 – средняя квадратическая ошибка величины S;
– средняя квадратическая ошибка величины d.

Значения   табулированы (приложение 6).

Если  , то гипотеза об отсутствии тенденции в средней отвергается, следовательно, в исходном временном ряду существует тренд.

Если  , то гипотеза об отсутствии тенденции в дисперсиях отвергается, следовательно, существует тенденция дисперсии и существует тренд.

4. Критерий серий, основанный на медиане выборки

Проверяется нулевая гипотеза Н₀: тренд отсутствует, альтернативная гипотеза Н₁: тренд существует.

Алгоритм проверки гипотезы:

1. Из исходного ряда с уровнями    образуется ранжированный (вариационный) ряд.

2. Определяется медиана этого вариационного ряда по формулам:



3. Образуется последовательность из плюсов и минусов по следующему правилу:

«+», если y_t > Ме;

« –», если y_t < Ме.

Если значение уровня исходного ряда равно медиане, то это значение пропускается.

4. Определяется общее число серий    (групп одинаковых знаков) и протяженность самой длинной серии 

5. Проверяется выполнение системы:



где [ ] – целая часть числа.

Если оба неравенства в системе верны, то гипотеза Н₀ принимается (то есть тренд отсутствует). Если хотя бы одно из неравенств не выполняется, принимается альтернативная гипотеза Н₁ (тренд существует).

5. Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий (ВНС)

Проверяется нулевая гипотеза Н₀: тренд отсутствует, альтернативная гипотеза Н₁: тренд существует.

Алгоритм проверки гипотезы:

1. Создается последовательность из плюсов и минусов по правилу:

« + », если 

« – », если   .

В случае, когда последующее наблюдение окажется равным предыдущему, учитывается только одно из них.

2. Определяется общее число серий    (групп одинаковых знаков) и протяженность самой длинной серии 

3. Проверяется выполнение системы:



где [ ] – целая часть числа.

Значение    - табличное значение, зависящее от n:

	5	6	7

Если оба неравенства в системе верны, то гипотеза Н₀ принимается (то есть тренд отсутствует). Если хотя бы одно из неравенств не выполняется, принимается альтернативная гипотеза Н ₁ (тренд существует).

Сглаживание временных рядов

Для определения типа развития явления можно использовать метод скользящей средней (простой или взвешенной).

Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней (ПСС)

1. 
   Определяют длину интервала сглаживанияl. Надо иметь в виду, что чем шире интервал сглаживания, тем в большей степени поглощаются колебания, и тенденция развития носит более плавный, сглаженный характер. Лучше брать длину интервала в виде нечётного числа, чтобы полученные значения скользящей средней приходились в центр интервала.
   
2. 
   Весь период колебаний разбивают на участки длиной l.
   
3. 
   Рассчитывают средние арифметические значения уровней ряда, образующих каждый участок.
   
4. 
   Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующие средние значения. 
   

Пример 1. В таблице представлены данные об изменении урожайности озимой пшеницы за 9 лет:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
yt	15,3	17,2	18,1	17,6	17,3	16,9	20,9	18,9	17,8

1. 
   Проверить гипотезу об отсутствии тренда методами ВНС, медианы и Фостера-Стюарта.
   
2. 
   Провести сглаживание временного ряда по простой скользящей средней (ПСС), длиной l=5.