ВКР. Захарова Дарья. Вынужденная синхронизация и вынужденные колебания генератора Ван дер Поля
 Скачать 2.12 Mb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» (ННГУ) Институт информационных технологий, математики и механики Кафедра теории управления и динамики систем Направление подготовки: «Прикладная математика и информатика» Профиль подготовки: «Прикладная математика и информатика (общий профиль)» ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА БАКАЛАВРА на тему: «Вынужденная синхронизация и вынужденные колебания генератора Ван дер Поля» Выполнил(а): студентка группы 381603-2 ___________________ Захарова Д. Д. Подпись Научный руководитель: д. ф.-м. н., зав. каф. ТУДС института ИТММ ______________________ Осипов Г. В. Подпись Нижний Новгород 2020 1 Оглавление Введение ...................................................................................................................................................... 2 Математическая модель генератора Ван дер Поля ................................................................................. 6 Бифуркационные диаграммы .................................................................................................................. 10 Построение фазовых портретов при разных значениях параметра 𝛼 ................................................. 14 Автономный генератор ............................................................................................................................. 19 Вынужденная синхронизация и вынужденные колебания ................................................................... 20 Выводы ....................................................................................................................................................... 23 Литература ................................................................................................................................................. 24 Приложение ............................................................................................................................................... 25 2 Введение Синхронизация является одним из фундаментальных свойств нелинейных систем, которое заключается в установлении определенных соотношений между характерными временами, частотами или фазами колебаний парциальных (колебательная система с одной степенью свободы, которая входит в состав сложной) систем в результате их взаимодействия. Эффект синхронизации, который был открыт Гюйгенсом в XVII в. играет большую роль в природе и технике (это показано в ряде монографий). Огромное влияние на создание теории синхронизации оказало развитие электронных средств связи в первой половине XX в. Посему можно отметить известную работу Ван дер Поля. В скором времени она была детально разработана и стала классической теорией синхронизации периодических автоколебаний, в том числе в присутствии шума. Также есть работы (хотя и не в столь значительном количестве), посвященные синхронизации квазипериодических колебаний. Классическая теория синхронизации делится на два типа: вынужденная синхронизация, т.е. синхронизация автоколебаний внешним сигналом, и взаимная синхронизация, наблюдающуюся при взаимодействии двух автоколебательных систем. И в том, и в другом случаях возникают одни и те же эффекты, которые связанны с двумя классическими механизмами синхронизации: захватом собственных частот (и, соответственно, фаз) колебаний или же подавлением одной из двух независимых частот. Явление синхронизации автоколебаний в рамках теории синхронизации периодических колебаний уже много лет привлекает особое внимание исследователей. Частично это вызвано значимостью данного явления с точки зрения практических приложений. Например, синхронизация электронных часов внешним воздействием высокостабильного регулятора. В результате этой синхронизации обеспечивается высокая точность времени в системе транспорта. Синхронизация мощных генераторов периодических колебаний с 3 помощью слабого воздействия от внешнего высокостабильного генератора позволяет значительно улучшить их характеристики (стабильность частоты, отклонение амплитуды и фазы и другие). За последние несколько лет интерес к эффекту синхронизации проявляют химики, биологи, и даже представители экономических и социальных наук. Отмечено синхронное поведение биологических популяция, взаимодействующих клеток живой ткани, ансамблей нейронов и т.д. Хотя весьма значимо при исследовании этих проблем то, что эти исследуемые колебательные процессы здесь будут не всегда являться строго периодическими. Конечно возникает много вопросов о том, как применить к такому роду колебательных процессов классическую теорию синхронизации. Были получены возможности существования хаотических (непериодических) колебаний как особых решений дифференциальных уравнений. И тут возникла проблема проблема синхронизации таких колебаний. Было много публикаций по этой теме, однако общей теории синхронизации непериодических колебаний пока не создано. Этому есть весомые причины, обусловленные отсутствием общего понимания сути эффекта, широким спектром различных характеристик хаотических колебаний и наличием неопределенности понятий фазы и частоты непериодических (хаотических) колебаний. В последнее время изучение процессов синхронизации (в том числе синхронизации хаотических колебаний) выходит на передний план в нелинейной динамике, причем особое внимание привлекают распределенные автоколебательные системы с бесконечным числом степеней свободы. В данной работе рассматривается синхронизация автогенератора. Под синхронизацией в данном случае понимаем установление режима одночастотных колебаний на частоте внешнего воздействия. 4 Вынужденные колебания — это движение колебательной системы, на которую действует внешняя периодическая силы и которые происходят в такт с изменением этой силы. Будем называть силу вынуждающей (возмущающей), если переменная внешняя сила, приложена к системе и вызывает ее вынужденные колебания. В данной работе будет рассмотрен генератор Ван дер Поля с внешней силой, изменяющейся по гармоническому закону 𝐹 = 2𝜀𝑐𝑜𝑠𝜔 0 𝑡 , где 𝜀 – амплитуда силы, 𝜔 0 – циклическая частота. Если внешняя сила описывается гармонической функцией с циклической частотой 𝜔 0 , то и вынужденные колебания в системе также будут происходить с частотой 𝜔 0 Генератор Ван дер Поля является осциллятором с нелинейной диссипацией. При малой амплитуде колебаний он будет обладать отрицательной диссипацией (т.е. будет происходить подкачка энергии), а при большой амплитуде колебаний генератор будет обладать положительной диссипацией (т.е. энергия будет рассеиваться системой). Возможна ситуация, ввиду такой нелинейности, когда наступает динамический баланс между энергией, которая поступает в систему, и энергией, которая рассеивается системой, в среднем за некоторый характерный интервал времени. При это система будет генерировать самоподдерживающиеся колебания, характеристики которых определяются параметрами системы и не зависят от начальных условий. Такие колебания А. А. Андронов назвал автоколебаниями, а системы, которые могут их продемонстрировать, — автоколебательными системами. Изначально генератор (осциллятор) Ван дер Поля представлял собой радиотехническое устройство на электронной лампе. Со временем было показано, что уравнение осциллятора (генератора) Ван дер Поля имеет более общий характер. При определенных упрощающих предположениях генератор будет описывать автоколебательные процессы в системах различной природы. Явление синхронизации периодических автоколебаний и вынужденные колебания внешним гармоническим воздействием проявляется в том, что при 5 определенных условиях генератор (осциллятор) подстраивает свой ритм под частоту внешнего воздействия. При это амплитуда внешнего воздействия может быть достаточно малой величиной, намного меньше амплитуды колебаний генератора. В простейшем случае генератор (осциллятор) будет совершать колебания на частоте внешней силы, когда она меняется в конечной окрестности собственного частоты автономного генератора. Эта область будет называться основной областью синхронизации. В данной работе рассматривается явление синхронизации периодических автоколебаний и явление вынужденных колебаний внешним гармоническим воздействием. Описание явления, бифуркационные сценарии возникновения режимов синхронизации и вынужденных колебаний, представленных на примере генератора (осциллятора) Ван дер Поля, который является одной из базовых и наиболее популярных моделей теории колебаний и нелинейной динамики. 6 Математическая модель генератора Ван дер Поля Рассмотрим уравнение генератора Ван дер Поля с внешним гармоническим взаимодействием: 𝑥̈ + 𝑥̇ = −𝜇 𝑑 𝑑𝑡 [𝑥 − 𝑥 3 + 𝛼𝑥 5 ] + 2𝜇𝜀𝑐𝑜𝑠𝜔 0 𝑡 − 𝜇𝑥 3 𝜇 ≪ 1, где 𝜇 — управляющий параметр автономного генератора, 𝜀 — амплитуда внешнего воздействия, 𝜔 0 — частота внешнего воздействия, 𝛼 — параметр системы. Понизим порядок производной, сделав замену 𝑥̇ = 𝑦 . Тогда наша система перепишется в виде: { 𝑥̇ = 𝑦 𝑦̇ = −𝑥 − 𝜇(𝑦 − 3𝑥 2 𝑦 + 5𝛼𝑥 4 𝑦) + 2𝜀𝑐𝑜𝑠𝜔 0 𝑡 − 𝑥 3 Чтобы исследовать эту систему при достаточно малых значениях параметра 𝜇 ≪ 1 , воспользуемся приближенным методом исследования нелинейных систем — «методом медленно меняющихся амплитуд» (другими словами — методом Ван дер Поля). Будем искать решение в виде квазипериодического колебания с медленно меняющейся амплитудой A(t): 𝑥(𝑡) = 𝑅𝑒(𝐴(𝑡)𝑒 𝑖𝜔𝑡 ) = 𝐴(𝑡)𝑒 𝑖𝜔𝑡 + 𝐴 ∗ (𝑡)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 с дополнительным условием: 𝐴̇(𝑡)𝑒 𝑖𝜔𝑡 + 𝐴̇ ∗ (𝑡)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 = 0. С учетом дополнительного условия запишем первую и вторую производную: 𝑦 = 𝑥̇ = 𝑖(𝐴(𝑡)𝑒 𝑖𝜔𝑡 − 𝐴 ∗ (𝑡)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 ) 𝑦̇ = 𝑥̈ = 𝑖(𝐴̇(𝑡)𝑒 𝑖𝜔𝑡 − 𝐴̇ ∗ (𝑡)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 ) − (𝐴(𝑡)𝑒 𝑖𝜔𝑡 + 𝐴 ∗ (𝑡)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 ). 7 Подставив 𝑥 , 𝑦 , 𝑦̇ в исходное уравнение и выразив 𝑐𝑜𝑠𝜔 0 𝑡 через экспоненты, получим: 𝑖(𝐴̇(𝑡)𝑒 𝑖𝜔𝑡 − 𝐴̇ ∗ (𝑡)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 ) − (𝐴(𝑡)𝑒 𝑖𝜔𝑡 + 𝐴 ∗ (𝑡)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 ) + (𝐴(𝑡)𝑒 𝑖𝜔𝑡 + + 𝐴 ∗ (𝑡)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 ) = −𝜇𝑖(𝐴(𝑡)𝑒 𝑖𝜔𝑡 − 𝐴 ∗ (𝑡)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 ) (1 − 3(𝐴(𝑡)𝑒 𝑖𝜔𝑡 + +𝐴 ∗ (𝑡)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 ) 2 + 5𝛼(𝐴(𝑡)𝑒 𝑖𝜔𝑡 + 𝐴 ∗ (𝑡)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 ) 4 ) + 2𝜇𝜀 𝑒 𝑖𝜔𝑡 +𝑒 −𝑖𝜔𝑡 2 Приводим подобные и домножаем на 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 : 𝑖𝐴̇ − 𝑖𝐴̇ ∗ 𝑒 −2𝑖𝜔𝑡 = −𝜇𝑖(𝐴 − 𝐴 ∗ 𝑒 −2𝑖𝜔𝑡 ) ∗ (1 − 3(𝐴(𝑡)𝑒 𝑖𝜔𝑡 + 𝐴 ∗ (𝑡)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 ) 2 + 5𝛼(𝐴(𝑡)𝑒 𝑖𝜔𝑡 + 𝐴 ∗ (𝑡)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 ) 4 ) + +𝜇𝜀(1 + 𝑒 −2𝑖𝜔𝑡 ) Домножим на (−𝑖): 𝐴̇ − 𝐴̇ ∗ 𝑒 −2𝑖𝜔𝑡 = −𝜇(𝐴 − 𝐴 ∗ 𝑒 −2𝑖𝜔𝑡 ) ∗ (1 − 3(𝐴(𝑡)𝑒 𝑖𝜔𝑡 + 𝐴 ∗ (𝑡)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 ) 2 + 5𝛼(𝐴(𝑡)𝑒 𝑖𝜔𝑡 + 𝐴 ∗ (𝑡)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 ) 4 ) − −𝑖𝜇𝜀(1 + 𝑒 −2𝑖𝜔𝑡 ) Далее, раскрывая скобки и усредняя за период 𝑇 = 2𝜋 𝜔 правую и левую части уравнения, получим укороченное уравнение для комплексной амплитуды: 2𝐴̇ = −𝜇𝐴(1 − 3|𝐴| 2 + 5 ∗ 𝛼 ∗ 2|𝐴| 4 ) − 𝜇𝜀 Представим амплитуду в полярных координатах 𝐴(𝑡) = 𝜌(𝑡) ∗ 𝑒 𝑖𝜑(𝑡) , 𝐴̇(𝑡) = 𝜌̇(𝑡) ∗ 𝑒 𝑖𝜑(𝑡) + 𝜌(𝑡) ∗ 𝜑̇ ∗ 𝑒 𝑖𝜑(𝑡) , далее получим укороченное уравнение для амплитуды и фазы: { 2𝜌̇ = −𝜌(1 − 𝜌 2 + 10𝛼𝜌 4 ) − 𝜀𝑠𝑖𝑛𝜑 2𝜌𝜑̇ = −2𝜉𝜌 − 𝜀𝑐𝑜𝑠𝜑 Приравняем оба уравнения к 0. Получаем такую систему: { −𝜌(1 − 𝜌 2 + 10𝛼𝜌 4 ) = 𝜀𝑠𝑖𝑛𝜑 −2𝜉𝜌 = 𝜀𝑐𝑜𝑠𝜑 8 Возведем оба уравнения в квадрат и сложим их. Пусть 𝜌 2 = 𝑝: 𝑝(1 − 3𝑝 2 + 10𝛼𝑝 4 ) 2 + 4𝜉𝑝 = 𝜀 2 Далее будем искать зависимость 𝑝(𝜉). Для начала линеаризуем систему и запишем характеристическое уравнение: 4𝜆 2 + 4(1 − 6𝜌 2 + 30𝛼𝜌 4 )𝜆 + (1 − 3𝜌 2 + 10𝛼𝜌 4 )(1 − 9𝜌 2 + 50𝛼𝜌 4 ) + 4𝜉 2 = 0 В результате корни характеристического уравнения будут равны: 𝜆 1,2 = −(1 − 6𝜌 2 + 30𝛼𝜌 4 ) ± √9𝜌 4 − 120𝛼𝜌 6 + 400𝛼 2 − 4𝜉 2 2 Проанализируем коэффициенты перед 𝜆 и 𝜆 0 , приравняем их к 0 и посмотрим их дискриминанты, тем самым н айдем критические значения 𝛼. Рассмотрим три случая: 1. 1 − 6𝜌 2 + 30𝛼𝜌 4 = 0 𝐷 = 36 − 120𝛼 36 − 120𝛼 = 0 𝛼 = 3 10 2. 1 − 3𝜌 2 + 10𝛼𝜌 4 = 0 𝐷 = 9 − 40𝛼 9 − 40𝛼 = 0 𝛼 = 9 40 3. 1 − 9𝜌 2 + 50𝛼𝜌 4 = 0 𝐷 = 81 − 200𝛼 81 − 200𝛼 = 0 9 𝛼 = 81 200 Получили пространство параметров 𝛼: Рис. 1 Пространство параметров 𝛼 10 Бифуркационные диаграммы Рассмотрим 4 области параметров 𝛼. Построим для каждой из них бифуркационные диаграммы с помощью матпакета MATLAB . Области будут следующие: 1. 𝛼 > 81 200 2. 3 10 < 𝛼 < 81 200 3. 9 40 < 𝛼 < 3 10 4. 𝛼 < 9 40 Из каждой области возьмем конкретное значение: 1. 𝛼 = 0.5 2. 𝛼 = 0.35 3. 𝛼 = 0.25 4. 𝛼 = 0.1 Искать будем зависимость 𝑝(𝜉). Имеем уравнение: 𝑝(1 − 3𝑝 2 + 10𝛼𝑝 4 ) 2 + 4𝜉𝑝 = 𝜀 2 , перебирая (фиксируя) 𝜀 2 , будем строить график 𝜉 = −𝑝(1−3𝑝 2 +10𝛼𝑝 4 ) 2 4𝑝 , но выводить на экран в MATLAB будем 𝑝(𝜉). 1. 𝛼 = 0.5 Рис. 2 Бифуркационная диаграмма при 𝛼 = 0.5 11 При данном 𝛼 мы получили такие состояния равновесия, как устойчивый узел и устойчивый фокус. 2. 𝛼 = 0.35 Рис. 3 Бифуркационная диаграмма при 𝛼 = 0.35 При 𝛼 = 0.35 помимо устойчивого узла и устойчивого фокуса мы получили еще и седло. 3. 𝛼 = 0.25 Рис. 4 Бифуркационная диаграмма при 𝛼 = 0.25 При 𝛼 = 0.25 на бифуркационной диаграмме получили устойчивый узел, устойчивый и неустойчивый фокусы, седло. 12 4. 𝛼 = 0.1 Рис. 5 Бифуркационная диаграмма при 𝛼 = 0.1 При данном 𝛼 мы получили такие состояния равновесия: устойчивый узел, устойчивый и неустойчивый фокусы, седла. Запишем пространство параметра 𝛼 , которое позволяет увидеть изменения типа состояния равновесия при смещении вдоль оси 𝛼: Рис. 6 Пространство параметров 𝛼 Подведём итог зависимости типа состояния равновесия от значения параметра 𝛼: 𝛼 < 9 40 − устойчивые узлы, устойчивые фокусы, неустойчивые фокусы, седла; 𝛼 = 9 40 − бифуркация инвариантного седлоузла и биффуркация Андронова − Хопфа; 9 40 < 𝛼 < 3 10 − устойчивые узлы, устойчивые фокусы, неустойчивые фокусы, седло; 13 𝛼 = 3 10 − бифуркация Андронова − Хопфа и бифуркация инвариантного седлоузла 3 10 < 𝛼 < 81 200 − устойчивые узлы, устойчивые фокусы, седло; 𝛼 = 81 200 − бифуркация инвариантного седлоузла; 𝛼 > 81 200 − устойчивые узлы, устойчивые фокусы. 14 Построение фазовых портретов при разных значениях параметра 𝛼 Построим фазовые портреты нашей системы для разных областей 𝛼. В зависимости от 𝜀, у нас будет качественно меняться фазовый портрет. 1. Рассмотрим случай при 𝛼 = 0.5: Рис. 7 Фазовый портрет (уст. узел) при значение параметров: 𝜇 = 0.001, 𝜔 0 = 0.05, 𝜀 = 0.01. Рис.8 Фазовый портрет (уст. фокус и уст. узел) при значение параметров: 𝜇 = 0.001, 𝜔 0 = 0.05, 𝜀 = 0.7. При изменение параметра 𝜀 у нас меняются состояния равновесия. Так на рис.7 при значение параметра 𝜀 = 0.01 мы получили устойчивый узел , а 15 на рис.8 при значение параметра 𝜀 = 0.7 − устойчивый фокус и устойчивый узел. 2. Пусть 𝛼 = 0.35 Рис. 9 Фазовый портрет (уст. узел, уст. фокус и седло) при значение параметров: 𝜇 = 0.01, 𝜔 0 = 0.05, 𝜀 = 0.3. Рис.10 Фазовый портрет (уст. фокус и уст. узел) при значение параметров: 𝜇 = 0.001, 𝜔 0 = 0.05, 𝜀 = 0.7. В этом случае, при 𝛼 = 0.35 и изменение 𝜀 , на рис.9 при значение параметра 𝜀 = 0.3 мы получили устойчивый узел, устойчивый фокус и седло, а на рис.10 при значение параметра 𝜀 = 0.7 −устойчивый фокус и устойчивый узел. 16 3. Рассмотрим случай при 𝛼 = 0.25 Рис. 11 Фазовый портрет (уст. узел , уст. фокус и седло) при значение параметров: 𝜇 = 0.01, 𝜔 0 = 0.02, 𝜀 = 0.1. Рис.12 Фазовый портрет (уст. узел, уст. фокус, неуст. фокус) при значение параметров: 𝜇 = 0.01, 𝜔 0 = 0.02, 𝜀 = 0.99. При 𝛼 = 0.25 и изменение 𝜀 , на рис.11 при значение параметра 𝜀 = 0.1 мы получили устойчивый узел, устойчивый фокус и седло , а на рис.12 при значение параметра 𝜀 = 0.99 − устойчивый и неустойчивый фокусы и устойчивый узел. 17 4. Пусть 𝛼 = 0.1 Рис. 13 Фазовый портрет (уст. узел, седло и неуст. фокус) при значение параметров: 𝜇 = 0.01, 𝜔 0 = 0.2, 𝜀 = 0.1. Рис.14 Фазовый портрет (уст. узел, уст. фокус, неуст. фокус) при значение параметров: 𝜇 = 0.01, 𝜔 0 = 0.2, 𝜀 = 0.99. При 𝛼 = 0.1 и изменение 𝜀 , на рис.13 при значение параметра 𝜀 = 0.1 мы получили устойчивый узел, седло и неустойчивый фокус , а на рис.14 при значение параметра 𝜀 = 0.99 − устойчивый и неустойчивый фокусы и устойчивый узел. Также при 𝛼 = 81 200 , 𝛼 = 9 40 , 𝛼 = 3 10 будет наблюдаться бифуркация инвариантного седлоузла. 18 Рис.15 Бифуркация инвариантного седлоузла Переходя через данные значения параметра 𝛼 у нас из седла рождается устойчивый узел. А при 𝛼 = 9 40 , 𝛼 = 3 10 будет наблюдаться бифуркация Андронова— Хопфа. Рис.16 Бифуркация Андронова-Хопфа Переходя через эти значения параметра 𝛼 особая точка — фокус теряет устойчивость (т.е. пара её комплексно-сопряженных собственных значений переходит через мнимую ось). При этом переходе из особой точки рождается устойчивый предельный цикл, либо в момент бифуркации неустойчивый предельный цикл схлопывается в эту точку. 19 Автономный генератор Рассмотрим диссипативную систему. Пусть в ней реализуется режим автоколебаний. Образом режима, который установится, в фазовом пространстве будет предельный цикл (замкнутая фазовая кривая, к которой приближаются (или отдаляются, в зависимости от устойчивости) все остальные траектории). { 2𝜌̇ = −𝜌(1 − 𝜌 2 + 10𝛼𝜌 4 ) − 𝜀𝑠𝑖𝑛𝜑 2𝜌𝜑̇ = −2𝜉𝜌 − 𝜀𝑐𝑜𝑠𝜑 𝜺 = 0, 𝜉 = 0 { 2𝜌̇ = −𝜌(1 − 𝜌 2 + 10𝛼𝜌 4 ) 2𝜌𝜑̇ = 0 Состояниям равновесия на плоскости переменных Ван-дер-Поля соответствуют предельные циклы на плоскости ( 𝑥 , 𝑦 ). Устойчивым состояниям равновесия соответствуют орбитно-устойчивые предельные циклы, а неустойчивым – неустойчивые предельные циклы. Рис. 18 (а) устойчивый предельный цикл, (б, в) неустойчивые предельные циклы Теперь дополнительно вводим внешнее периодическое воздействие такое, у которого временной период близок к периоду колебаний. Тогда заметим, что при малых амплитудах возникнут вынужденные колебания, а при больших амплитудах — вынужденная синхронизация в определенном интервале частоты внешней силы колебания с внешним воздействием по частоте. Причем, полоса синхронизации и полоса колебаний будет шире тогда, когда интенсивность воздействия будет больше. 20 Вынужденная синхронизация и вынужденные колебания В области малых амплитуд переход из неустойчивой области в устойчивую соответствует возникновению вынужденных колебаний. В области больших амплитуд переход из неустойчивой области в устойчивую соответствует вынужденной синхронизации. Исходя из этого проанализируем каждую область параметра 𝛼 и найдем области вынужденных колебаний и области вынужденной синхронизации. 1. Рассмотрим первый случай, когда 𝛼 = 0.5: Рис. 19 Области вынужденных колебаний и вынужденной синхронизации при 𝛼 = 0.5 При переходе состояния равновесия фокус в состояние равновесия устойчивый узел при малых амплитудах будут наблюдаться вынужденные колебания (красная штриховка), а при больших амплитудах — вынужденная синхронизация (серая штриховка). 2. 𝛼 = 0.35 Рис. 20 Области вынужденных колебаний и вынужденной синхронизации при 𝛼 = 0.35 21 При малых амплитудах будут наблюдаться вынужденные колебания (красная штриховка), а при больших амплитудах — вынужденная синхронизация (серая штриховка). 3. Рассмотрим случай при 𝛼 = 0.25 Рис. 21 Области вынужденных колебаний и вынужденной синхронизации при 𝛼 = 0.25 В этом случае аналогичная ситуация, при переходе состояния равновесия фокус в состояние равновесия устойчивый узел при малых амплитудах будут наблюдаться вынужденные колебания (красная штриховка), а при больших амплитудах — вынужденная синхронизация (серая штриховка). 4. 𝛼 = 0.1 Рис. 22 Область вынужденной синхронизации при 𝛼 = 0.1 22 В этом случае вынужденных колебаний не будет, а будет только вынужденная синхронизация при переходе из состояния равновесия фокус в состояние равновесия устойчивый узел при больших амплитудах (серая штриховка). 23 Выводы При исследовании генератора Ван дер Поля были рассмотрены четыре случая в зависимости от параметра 𝛼. При фиксировании 𝜀 были получены фазовые портреты. При изменении параметров были найдены области вынужденных колебаний и области вынужденной синхронизации. Вынужденная синхронизация и вынужденные колебания имеют важные и разнообразные применения в технике. Имея мощный электронный генератор можно эффективно управлять им, с помощью частоты колебаний в определенных пределах, подавая относительно слабый внешний сигнал желаемой частоты. Обеспечить стабильность частоты вспомогательного генератора технически намного проще, но благодаря эффекту вынужденной синхронизации и вынужденных колебания, можно добиться стабильной частоты мощного генератора. Синхронизация позволяет интерпретировать очень интересные явления, такие как подстройка биологических ритмов живых организмов под внешнее воздействие, синхронизация хлопков при аплодисментах и т.д. Так в современной нелинейной динамике сформировался гораздо более широкий взгляд на синхронизацию, нежели в классической теории колебаний. 24 Литература 1. Пиковский А., Розенблюм М., Куртс Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003. 508 с. 2. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука. Физматлит, 1997. 496 с. 3. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука. Физматлит, 1980. 360 с. 4. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука. Физматлит, 1981. 351 с 5. Гулай А.П., Бух А.В. Исследование мультистабильности и вынужденной синхронизации в неавтономной системе двух осцилляторов Ван дер Поля с отталкивающим взаимодействием. Саратовский государственный университет:Наука-образование,2014,10 с 6. Анищенко В. С., Вадивасава Т. Е. Лекции по нелинейной динамике. Лекции по нелинейной динамике: учеб. пособие для вузов. - М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011.-516 с. 25 Приложение Построение бифуркационной диаграммы в MATLAB alpha=0.1; hold all for x=0:0.01:2.5 y=sqrt(2.25*x^2-30*alpha*x^3+100*alpha*alpha*x^4); z=-sqrt(2.25*x^2-30*alpha*x^3+100*alpha*alpha*x^4); plot(real(y),x, '*r' ); plot(real(z),x, '*r' ); end ; % for x=0:0.01:1 % % y=(-1+6*x-30*alpha*x*x)/2; % % z=(-1+6*x-30*alpha*x*x-sqrt(2.25*x^2- 30*alpha*x^3+100*alpha*alpha*x^4))/2; % % plot(real(y),x,'*g'); % % plot(real(z),x,'*g'); % % end; for eps=0:0.025:0.3 for x=0:0.05:2.5 n=sqrt((eps*eps-x*(1-3*x+10*alpha*x*x)*(1-3*x+10*alpha*x*x))/(4*x)); m=-sqrt((eps*eps-x*(1-3*x+10*alpha*x*x)*(1-3*x+10*alpha*x*x))/(4*x)); plot(real(n),x, '*b' ); plot(real(m),x, '*b' ); end ; end ; for eps=0.3:0.4:2.3 for x=0:0.01:2.5 n=sqrt((eps*eps-x*(1-3*x+10*alpha*x*x)*(1-3*x+10*alpha*x*x))/(4*x)); m=-sqrt((eps*eps-x*(1-3*x+10*alpha*x*x)*(1-3*x+10*alpha*x*x))/(4*x)); plot(real(n),x, '*b' ); plot(real(m),x, '*b' ); end ; end ; xlim([-1 1]); 26 Построение фазовых портретов в MATLAB clear all ; close all ; clc mu = 0.1; alpha = 81/200; omega_0 = 0.25; eps = 0.1; f = @(t,Y) [Y(2); - Y(1) - mu*(Y(2) - 3*Y(2)*(Y(1)^2) + 5.0*alpha*(Y(1)^4)*Y(2)) + 2*mu*eps*cos(omega_0*t) - mu*(Y(1)^3) ]; y1 = linspace(-5,5,20); y2 = linspace(-2.5,2.5,20); [x,y] = meshgrid(y1,y2); size(x) size(y) u = zeros(size(x)); v = zeros(size(x)); t=0; for i = 1:numel(x) Yprime = f(t,[x(i); y(i)]); u(i) = Yprime(1); v(i) = Yprime(2); end quiver(x,y,u,v, 'r' ); figure(gcf) xlabel( 'y_1' ) ylabel( 'y_2' ) axis tight equal ; hold on for y20 = [-2 -1 0 1 2] [ts,ys] = ode45(f,[0,50],[0;y20]); plot(ys(:,1),ys(:,2)) plot(ys(1,1),ys(1,2), 'bo' ) plot(ys(end,1),ys(end,2), 'ks' ) end hold off |