Высшего образования Московский государственный технический университет
 Скачать 0.62 Mb.
|
|
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет)» (МГТУ им. Н.Э. Баумана) ФАКУЛЬТЕТ ___________________________________________________________________ КАФЕДРА ______________________________________________________________________ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ №1 «Уравнения Лагранжа» Вариант № 4 Выполнил студент ________________ _________________ ____________________ (Группа) (Подпись, дата) (Фамилия И.О.) Проверил преподаватель _________________ ____________________ (Подпись, дата) (Фамилия И.О.) Москва 2021 ИНФОРМАТИКА И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ИНФОРМАТИКА И КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ИУ9-72б Соколовский М.Д. Каганов Ю.Т. 1 Постановка задачи Дана система, состоящая из вращающегося диска, прикреплённого к стене пружиной, и математического маятника, прикреплённого к этому диску жёст- ким стержнем и способного вращаться относительно диска. Схема данной си- стемы показана на рисунке 1. Введены следующие обобщённые координаты: 𝑞 1 – угол поворота диска от положения равновесия и 𝑞 2 – угол отклонения маятника от вертикальной оси. Для данной системы необходимо выполнить следующие действия. 1. Составить уравнения Лагранжа. 2. Перейти к системе ОДУ второго порядка. 3. Для решения задачи Коши составить алгоритм и программу на основе метода Рунге-Кутта. 4. Используя компьютерную графику построить 2 фазовых портрета данной системы. 5. Исследовать поведение системы для двух фазовых портретов путём из- менения параметров системы. Рис. 1: Схема системы 2 2 Основные теоретические сведения Для системы, обладающей 𝑠 степенями свободы, составляется 𝑠 уравне- ний Лагранжа: по одному для каждой обобщённой координаты. Уравнение для обобщённой координаты 𝑞 𝑗 имеет следующий вид. 𝑑 𝑑𝑡 (︂ 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 𝑗 )︂ − 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑗 = 0 (1) Функция Лагранжа 𝐿, вычисляется по формуле (2). 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 = ∑︁ 𝑇 𝑖 − ⎛ ⎝ 𝑈 𝑒𝑥𝑡 + 1 2 ∑︁ 𝑖̸=𝑗 𝑈 𝑖𝑗 ⎞ ⎠ (2) Где 𝑇 𝑖 – кинетическая энергия элементов системы, 𝑈 𝑒𝑥𝑡 – потенциальная энергия внешних сил, 𝑈 𝑖𝑗 – потенциальная энергия взаимодействия между точ- ками в системе. Кинетическая энергия вычисляется по следующей формуле. 𝑇 = 𝑚𝑣 2 2 = 𝑚( ˙𝑥 2 + ˙ 𝑦 2 ) 2 (3) Кинетическая энергия вращения тел вычисляется по формуле (4). 𝑇 𝑟𝑜𝑡 = 𝐼𝜔 2 2 (4) Где 𝜔 – угловая скорость, 𝐼 – момент инерции тела, в общем виде вычис- ляемый по формуле ниже. Для твёрдого диска момент инерции равен 1 2 𝑚𝑟 2 𝐼 = ∑︁ 𝑖 𝑚 𝑖 𝑟 2 𝑖 Формула для вычисления потенциальной энергии зависит от типа взаимодей- ствия между точками. Энергия гравитационного взаимодействия вычисляется по формуле (5), а энергия пружины – по формуле (6). 3 𝑈 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑦 = 𝑚𝑔ℎ (5) 𝑈 𝑠𝑝𝑟𝑖𝑛𝑔 = 𝑐(Δ𝑥) 2 2 (6) Где 𝑔 ≈ 9.81 – ускорение свободного падения, ℎ – высота, Δ𝑥 – смещение от положения равновесия пружины. Полученные уравнения Лагранжа, вместе с начальными условиями для 𝑞 𝑗 и ˙ 𝑞 𝑗 образуют задачу Коши из 𝑠 ОДУ второй степени. Для их решения может использоваться метод Рунге-Кутта четвёртого порядка (далее – метод Рунге- Кутта). Данный метод заключается в итерационном получении значений решения систем ОДУ первого порядка в узлах сетки с постоянным шагом ℎ. Рассмотрим следующую задачу Коши. ⎧ ⎨ ⎩ ˙ 𝑞 𝑗 = 𝑓 𝑗 (𝑡, 𝑞 1 , . . . , 𝑞 𝑠 ) 𝑞 𝑗 (𝑡 0 ) = 𝑎 𝑗 Решением этой системы являются функции 𝑞 𝑗 (𝑡). Их значения в узлах сетки (в данном случае - одномерной) вычисляются следующим образом. ¯ 𝑘 1 = ¯ 𝑓 (𝑡 𝑛 , ¯ 𝑞(𝑡 𝑛 )) ¯ 𝑘 2 = ¯ 𝑓 (𝑡 𝑛 + ℎ 2 , ¯ 𝑞(𝑡 𝑛 ) + ℎ 2 ¯ 𝑘 1 (𝑡 𝑛 )) ¯ 𝑘 3 = ¯ 𝑓 (𝑡 𝑛 + ℎ 2 , ¯ 𝑞(𝑡 𝑛 ) + ℎ 2 ¯ 𝑘 2 (𝑡 𝑛 )) ¯ 𝑘 4 = ¯ 𝑓 (𝑡 𝑛 + ℎ, ¯ 𝑞(𝑡 𝑛 ) + ℎ𝑘 3 (𝑡 𝑛 )) ¯ 𝑞(𝑡 𝑛 + ℎ) = ¯ 𝑞(𝑡 𝑛 ) + ℎ 6 (¯ 𝑘 1 + 2¯ 𝑘 2 + 2¯ 𝑘 3 + ¯ 𝑘 4 ) (7) Где вектора ¯ 𝑞(𝑡) = (𝑞 1 (𝑡), . . . , 𝑞 𝑠 (𝑡)) и ¯ 𝑓 (𝑡, ¯ 𝑞) = (𝑓 1 (𝑡, ¯ 𝑞), . . . , 𝑓 𝑠 (𝑡, ¯ 𝑞)) введены для краткости записи, 𝑡 𝑛 - предыдущий узел сетки. 4 Для решения системы второго порядка необходимо через замену ввести в задачу Коши дополнительную переменную. Рассмотрим следующую систему. ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ¨ 𝑞 𝑗 = 𝑓 𝑗 (𝑡, ¯ 𝑞, ˙¯ 𝑞) ¯ 𝑞(𝑡 0 ) = ¯ 𝑎 ˙¯ 𝑞(𝑡 0 ) = ¯ 𝑏 Где все переменные введены аналогично случаю ОДУ первого порядка. Выполним замену ¯ 𝑝 = ˙¯ 𝑞. Тогда задача Коши примет вид, в котором она может быть решена путём двух последовательных применений рассмотренного ранее алгоритма. Итоговый вид системы показан ниже. ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ˙¯ 𝑞 = 𝑝(𝑡, ¯ 𝑞, ¯ 𝑝) ˙¯ 𝑝 = ¯ 𝑓 (𝑡, ¯ 𝑞, ¯ 𝑝) ¯ 𝑞(𝑡 0 ) = ¯ 𝑎 ¯ 𝑝(𝑡 0 ) = ¯ 𝑏 Для построения фазового портрета системы с заданными параметрами необ- ходимо выбрать отрезок времени, для которого будет построена траектория. Затем, для каждого момента времени 𝑡 в выбранном отрезке получить значение всех обобщённых координат и скоростей через найденные функции 𝑞 𝑗 (𝑡) и 𝑝 𝑗 (𝑡). Фазовую траекторию образуют точки (𝑞 1 (𝑡), . . . , 𝑞 𝑠 (𝑡), ˙ 𝑞 1 (𝑡), . . . , ˙ 𝑞 𝑠 (𝑡)). Для системы с двумя степенями свободы фазовый портрет представляет собой траекторию в четырёхмерном пространстве, в связи с чем не может быть визуализирован напрямую. Вместо этого возможно построение проекций этой траектории. 5 3 Практическая реализация Исследуемая система имеет следующие параметры: жёсткость пружины 𝑐, массы диска и маятника 𝑚 1 и 𝑚 2 , радиус диска 𝑟, длинна маятника 𝑙, а так- же начальные условия. Обобщёнными координатами системы являются угол поворота диска 𝑞 1 и угол отклонения маятника 𝑞 2 Пусть центр декартовой системы координат находится в центре диска в положении равновесия. Ось 𝑂𝑥 направлена вправо, ось 𝑂𝑦 направлена вниз. Положению равновесия системы соответствуют обобщённые координаты (0, 0). Также для системы введено дополнительное значение ℎ - высота подъёма маятника относительно его нижней точки. Перечисленные параметры системы и обозначения продемонстрированы на рисунке (2). c q 2 q 1 m 1 r m 2 l h Рис. 2: Схема с обозначениями 3.1 Составление задачи Коши Для составления уравнений Лагранжа в начале необходимо выразить декар- товы координаты диска (𝑥 1 , 𝑦 1 ) и маятника (𝑥 2 , 𝑦 2 ) через обобщённые. 6 (𝑥 1 , 𝑦 1 ) = (𝑟𝑞 1 , 0) (𝑥 2 , 𝑦 2 ) = (𝑥 1 + 𝑙 sin 𝑞 2 , 𝑙 cos 𝑞 2 ) = (𝑟𝑞 1 + 𝑙 sin 𝑞 2 , 𝑙 cos 𝑞 2 ) ℎ = 𝑙 − 𝑦 2 = 𝑙(1 − cos 𝑞 2 ) Найдём кинетическую энергию объектов, используя формулы (3) и (4). ( ˙𝑥 1 , ˙ 𝑦 1 ) = (𝑟 ˙ 𝑞 1 , 0) ( ˙𝑥 2 , ˙ 𝑦 2 ) = (𝑟 ˙ 𝑞 1 + 𝑙 ˙ 𝑞 2 cos 𝑞 2 , −𝑙 ˙ 𝑞 2 sin 𝑞 2 ) 𝑣 2 1 = ˙ 𝑥 1 2 + ˙ 𝑦 1 2 = 𝑟 2 ˙ 𝑞 1 2 𝑣 2 2 = ˙ 𝑥 2 2 + ˙ 𝑦 2 2 = 𝑟 2 ˙ 𝑞 1 2 + 2𝑟𝑙 ˙ 𝑞 1 ˙ 𝑞 2 cos 𝑞 2 + 𝑙 2 ˙ 𝑞 2 2 𝑇 1 = 𝑚 1 𝑣 2 1 2 + 𝐼 1 𝜔 2 2 = 𝑚 1 𝑟 2 ˙ 𝑞 1 2 2 + 𝑚 1 𝑟 2 ˙ 𝑞 1 2 4 = 3𝑚 1 𝑟 2 4 ˙ 𝑞 1 2 𝑇 2 = 𝑚 2 𝑣 2 2 2 = 𝑚 2 2 (︀𝑟 2 ˙ 𝑞 1 2 + 2𝑟𝑙 ˙ 𝑞 1 ˙ 𝑞 2 cos 𝑞 2 + 𝑙 2 ˙ 𝑞 2 2 )︀ Связь между диском и маятником не обладает потенциальной энергией (𝑈 12 = 0). По формулам (5) и (6) найдём потенциальную энергию внешних сил действующих на систему. 𝑈 𝑒𝑥𝑡 1 = 𝑐(Δ𝑥 1 ) 2 2 = 𝑐𝑟 2 𝑞 2 1 2 𝑈 𝑒𝑥𝑡 2 = 𝑚 2 𝑔ℎ = 𝑚 2 𝑔𝑙(1 − cos 𝑞 2 ) Составим функцию Лагранжа по формуле (2). 𝐿 = 3𝑚 1 𝑟 2 4 ˙ 𝑞 1 2 + 𝑚 2 2 (︀𝑟 2 ˙ 𝑞 1 2 + 2𝑟𝑙 ˙ 𝑞 1 ˙ 𝑞 2 cos 𝑞 2 + 𝑙 2 ˙ 𝑞 2 2 )︀ − 𝑐𝑟 2 2 𝑞 2 1 − 𝑚 2 𝑔𝑙(1 − cos 𝑞 2 ) Затем составим уравнение для 𝑞 1 , как показано ниже. 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 1 = 𝑟 2 (︂ 3𝑚 1 2 + 𝑚 2 )︂ ˙ 𝑞 1 + 𝑚 2 𝑟𝑙 ˙ 𝑞 2 cos 𝑞 2 𝑑 𝑑𝑡 (︂ 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 1 )︂ = 𝑟 2 (︂ 3𝑚 1 2 + 𝑚 2 )︂ ¨ 𝑞 1 + 𝑚 2 𝑟𝑙(¨ 𝑞 2 cos 𝑞 2 − ˙ 𝑞 2 2 sin 𝑞 2 ) 𝜕𝐿 𝜕𝑞 1 = −𝑐𝑟 2 𝑞 1 𝑟 2 (︂ 3𝑚 1 2 + 𝑚 2 )︂ ¨ 𝑞 1 + 𝑚 2 𝑟𝑙(¨ 𝑞 2 cos 𝑞 2 − ˙ 𝑞 2 2 sin 𝑞 2 ) + 𝑐𝑟 2 𝑞 1 = 0 (8) 7 Аналогичным образом составим второе уравнение для 𝑞 2 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 2 = 𝑚 2 𝑙 2 ˙ 𝑞 2 + 𝑚 2 𝑟𝑙 ˙ 𝑞 1 cos 𝑞 2 𝑑 𝑑𝑡 (︂ 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 2 )︂ = 𝑚 2 𝑙 2 ¨ 𝑞 2 + 𝑚 2 𝑟𝑙(¨ 𝑞 1 cos 𝑞 2 − ˙𝑞 1 ˙ 𝑞 2 sin 𝑞 2 ) 𝜕𝐿 𝜕𝑞 2 = −𝑚 2 𝑟𝑙 ˙ 𝑞 1 ˙ 𝑞 2 sin 𝑞 2 − 𝑚 2 𝑔𝑙 sin 𝑞 2 𝑚 2 𝑙 2 ¨ 𝑞 2 + 𝑚 2 𝑟𝑙 ¨ 𝑞 1 cos 𝑞 2 + 𝑚 2 𝑔𝑙 sin 𝑞 2 = 0 (9) Полученные уравнения (8) и (9), вместе с начальными условиями образуют следующую задачу Коши. ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝑟 2 (︂ 3𝑚 1 2 + 𝑚 2 )︂ ¨ 𝑞 1 + 𝑚 2 𝑟𝑙(¨ 𝑞 2 cos 𝑞 2 − ˙ 𝑞 2 2 sin 𝑞 2 ) + 𝑐𝑟 2 𝑞 1 = 0 𝑚 2 𝑙 2 ¨ 𝑞 2 + 𝑚 2 𝑟𝑙 ¨ 𝑞 1 cos 𝑞 2 + 𝑚 2 𝑔𝑙 sin 𝑞 2 = 0 𝑞 1 (0) = 𝜙 0 , 𝑞 2 (0) = 𝜓 0 ˙ 𝑞 1 (0) = 𝜐 0 , ˙ 𝑞 2 (0) = 𝜔 0 Для упрощения вычислений введём следующие коэффициенты: 𝐴 = 𝑚 2 𝑟𝑙, 𝐵 = ( 3 2 𝑚 1 + 𝑚 2 )𝑟 2 , 𝐶 = 𝑐𝑟 2 , 𝐷 = 𝑚 2 𝑙 2 , 𝐸 = 𝑚 2 𝑔𝑙. Домножим второе уравне- ние на − 𝐴 𝐷 cos 𝑞 2 и прибавим к первому, после чего выразим значения вторых производных. В полученной системе произведём замену 𝑝 𝑖 = ˙ 𝑞 𝑖 . После дан- ных преобразований система примет пригодный для численного решения вид, показанный ниже. ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ˙ 𝑞 1 = 𝑝 1 , ˙ 𝑞 2 = 𝑝 2 ˙ 𝑝 1 = 𝐴𝑝 2 2 sin 𝑞 2 − 𝐶𝑞 1 + 𝐸𝐴 2𝐷 sin(2𝑞 2 ) 𝐵 − 𝐴 2 𝐷 cos 2 𝑞 2 = 𝑓 1 (𝑡, 𝑞 1 , 𝑞 2 , 𝑝 1 , 𝑝 2 ) ˙ 𝑝 2 = −𝐸 sin 𝑞 2 − 𝐴 cos 𝑞 2 · 𝑓 1 (𝑞 1 , 𝑞 2 , 𝑝 1 , 𝑝 2 ) 𝐷 = 𝑓 2 (𝑡, 𝑞 1 , 𝑞 2 , 𝑝 1 , 𝑝 2 ) 𝑞 1 (0) = 𝜙 0 , 𝑞 2 (0) = 𝜓 0 𝑝 1 (0) = 𝜐 0 , 𝑝 2 (0) = 𝜔 0 (10) 8 3.2 Численное решение Численное решение системы ОДУ (10) выполняется в два шага: сперва вы- числяются значения 𝑝 𝑖 = ˙ 𝑞 𝑖 , а затем значения 𝑞 𝑖 , с использованием результатов, полученных на предыдущем шаге. Пусть известны значения 𝑞 𝑖 (𝑡) и 𝑝 𝑖 (𝑡). Тогда значения этих функций в точке 𝑡 + ℎ вычисляются по формуле (7), причём на каждом шаге сперва вычисляются значения функций 𝑝 𝑖 , а потом 𝑞 𝑖 . Алгоритм одного шага представлен ниже. 𝑘 1 1 [𝑖] = 𝑓 𝑖 (𝑡, 𝑞 1 (𝑡), 𝑞 2 (𝑡), 𝑝 1 (𝑡), 𝑝 2 (𝑡)) 𝑘 1 2 [𝑖] = 𝑓 𝑖 (𝑡 + ℎ 2 , 𝑞 1 (𝑡) + ℎ 2 𝑘 1 1 [𝑖], . . . , 𝑝 2 (𝑡) + ℎ 2 𝑘 1 1 [𝑖]) 𝑘 1 3 [𝑖] = 𝑓 𝑖 (𝑡 + ℎ 2 , 𝑞 1 (𝑡) + ℎ 2 𝑘 1 2 [𝑖], . . . , 𝑝 2 (𝑡) + ℎ 2 𝑘 1 2 [𝑖]) 𝑘 1 4 [𝑖] = 𝑓 𝑖 (𝑡 + ℎ, 𝑞 1 (𝑡) + ℎ𝑘 1 3 [𝑖], . . . , 𝑝 2 (𝑡) + ℎ𝑘 1 3 [𝑖]) 𝑝 𝑖 (𝑡 + ℎ) = 𝑝 𝑖 (𝑡) + ℎ 6 (𝑘 1 1 [𝑖] + 2𝑘 1 2 [𝑖] + 2𝑘 1 3 [𝑖] + 𝑘 1 4 [𝑖]) 𝑘 2 1 [𝑖] = 𝑝 𝑖 𝑘 2 2 [𝑖] = 𝑝 𝑖 + ℎ 2 𝑘 2 1 [𝑖] 𝑘 2 3 [𝑖] = 𝑝 𝑖 + ℎ 2 𝑘 2 2 [𝑖] 𝑘 2 4 [𝑖] = 𝑝 𝑖 + ℎ𝑘 2 3 [𝑖] 𝑞 𝑖 (𝑡 + ℎ) = 𝑞 𝑖 (𝑡) + ℎ 6 (𝑘 2 1 [𝑖] + 2𝑘 2 2 [𝑖] + 2𝑘 2 3 [𝑖] + 𝑘 2 4 [𝑖]) Результатом выполнения данного алгоритма для всех значений 𝑡 является массив точек следующего вида: (𝑡, 𝑞 1 , 𝑞 2 , ˙ 𝑞 1 , ˙ 𝑞 2 ). В ходе работы для всех систем численное решение задач Коши при помощи данного метода выполнялось с шагом ℎ = 1 −3 9 3.3 Анализ системы Для проведения анализа движения системы была составлена программа, ре- ализующая описанный ранее алгоритм численного интегрирования. Созданная программа позволяет строить графики решения системы ОДУ (10) для различ- ных параметров системы. В таблице 1 приведены параметры первой системы и начальные условия, для которых производился анализ. Таблица 1: Параметры первой системы 𝑟, м 𝑙, м 𝑐, Н/м 𝑚 1 , кг 𝑚 2 , кг 𝜑 0 , рад 𝜓 0 , рад 𝜐 0 , рад/c 𝜔 0 , рад/c 0.15 0.4 40 5 2 𝜋 3 − 𝜋 8 0 0 На рисунках 3 и 4 показаны проекции фазового портрета на плоскости, соответствующие первой и второй обобщённой координате соответственно. −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 ˙ 𝑞 1 𝑞 1 Рис. 3: Проекция фазового портрета первой системы для координаты 𝑞 1 10 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 ˙ 𝑞 2 𝑞 2 Рис. 4: Проекция фазового портрета первой системы для координаты 𝑞 2 Для второй системы была уменьшена жёсткость пружины, изменены началь- ные значения обобщённых координат и задана начальная скорость маятника. Параметры этой системы приведены в таблице 2. Таблица 2: Параметры второй системы 𝑟, м 𝑙, м 𝑐, Н/м 𝑚 1 , кг 𝑚 2 , кг 𝜑 0 , рад 𝜓 0 , рад 𝜐 0 , рад/c 𝜔 0 , рад/c 0.15 0.4 30 5 2 𝜋 2 0 0 −1 На рисунках 5 и 6 показаны проекции фазового портрета на плоскости, аналогичные проекциям для первой системы. 11 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 ˙ 𝑞 1 𝑞 1 Рис. 5: Проекция фазового портрета второй системы для координаты 𝑞 1 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 ˙ 𝑞 2 𝑞 2 Рис. 6: Проекция фазового портрета второй системы для координаты 𝑞 2 12 4 Заключение В ходе работы было проведено исследование движения системы, состоящей из двух элементов: вращающегося диска, прикреплённого к стене пружиной и двигающегося вдоль горизонтальной оси, и математического маятника, при- креплённого к центру этого диска жёстким стержнем и способного свободно вращаться относительно диска. Для проведения исследований была вычислена энергия данной системы, и на её основе составлена функция Лагранжа. Далее были получены уравнения Лагранжа и составлена задача Коши из двух обыкновенных дифференциаль- ных уравнений второго порядка. Для решения данной системы был использован метод Рунге-Кутта четвёртого порядка. Для реализации данного метода была составлена программа на языке программирования Python, выполняющая чис- ленное решение задачи Коши при заданных параметрах системы и начальных условиях. Полученные результаты были визуализированы в виде графиков при помощи программы GNUPlot. При помощи полученных графиков были исследованы фазовые портреты системы для её различных конфигураций и начальных значений обобщённых координат и скоростей. 13 |