ииду. ИиДУ Экзамен подготовка-1. Вопросы для подготовки к экзамену по курсу Интегралы и дифференциальные уравнения
 Скачать 175.84 Kb.
|
|
Вопросы для подготовки к экзамену по курсу «Интегралы и дифференциальные уравнения» для всех специальностей ИУ (кроме ИУ9), РЛ, БМТ (в квадратных скобках указаны номера лекций по конспекту проф. Иванкова П.Л. электронный ресурс http://mathmod.bmstu.ru/Docs/Eduwork/idu/idu.html) 1. Сформулировать определение первообразной. Сформулировать свойства первообразной и неопределённого интеграла. Сформулировать и доказать теорему об интегрировании по частям для неопределённого интеграла. [Л. 1,2.] 2. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие. Интегрирование простейших дробей. [Л. 3.] 3. Сформулировать свойства определенного интеграла. Доказать теорему о сохранении определенным интегралом знака подынтегральной функции. [Л. 5–6.] 4. Сформулировать свойства определенного интеграла. Доказать теорему об оценке определенного интеграла. [Л. 5–6.] 5. Сформулировать свойства определенного интеграла. Доказать теорему об оценке модуля определенного интеграла. [Л. 5–6.] 6. Сформулировать свойства определенного интеграла. Доказать теорему о среднем для определенного интеграла. [Л. 5–6.] 7. Дать определение интеграла с переменным верхним пределом. Сформулировать и доказать теорему о производной от интеграла с переменным верхним пределом. [Л. 7.] 8. Сформулировать свойства определенного интеграла. Вывести формулу Ньютона — Лейбница. [Л. 5–7.] 9. Дать геометрическую интерпретацию определенного интеграла. Сформулировать и доказать теорему об интегрировании подстановкой для определенного интеграла. [Л. 5–7.] 10. Сформулировать свойства определенного интеграла. Интегрирование периодических функций. Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относитель- но начала координат. [Л. 5–7.] 11. Сформулировать свойства определенного интеграла. Сформулировать и доказать теорему об интегрировании по частям для определённого интеграла. [Л. 7.] 12. Сформулировать определение несобственного интеграла 1-го рода. Сформулировать и доказать признак сходимости по неравенству для несобственных интегралов 1-го рода. [Л. 8–10.] 13. Сформулировать определение несобственного интеграла 1-го рода. Сформулировать и доказать предельный признак сравнения для несобственных интегралов 1-го рода. [Л. 8–10.] 14. Сформулировать определение несобственного интеграла 1-го рода. Сформулировать и доказать признак абсолютной сходимости для несобственных интегралов 1-го рода. [Л. 8–10.] 15. Сформулировать определение несобственного интеграла 2-го рода и признаки сходимости таких интегралов. Сформулировать и доказать признак абсолютной сходимости для несобственных интегралов 1-го рода. [Л. 8–10.] 16. Фигура ограничена кривой y = f (x) > 0, прямыми x = a, x = b и y = 0 (a < b). Вывести формулу для вычисления с помощью определенного интеграла площади этой фигуры. [Л. 11.] 17. Фигура ограничена лучами ϕ = α, ϕ = β и кривой r = f (ϕ). Здесь r и ϕ — полярные координаты точки, 0 6 α < β 6 2π, где r и ϕ — полярные координаты точки. Вывести формулу для вычисления с помощью определенного интеграла площади этой фигуры. [Л. 11.] 18. Тело образовано вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x) > 0, прямыми x = a, x = b и y = 0 (a < b). Вывести формулу для вычисления с помощью определенного интеграла объема тела вращения. [Л. 12–13.] 19. Кривая задана в декартовых координатах уравнением y = f (x), где x и y — декартовые координаты точки, a 6 x 6 b. Вывести формулу для вычисления длины дуги этой кривой. [Л. 12–13.] 20. Кривая задана в полярных координатах уравнением r = f (ϕ) > 0, где r и ϕ — полярные координаты точки, α 6 ϕ 6 β. Вывести формулу для вычисления длины дуги этой кривой. [Л. 12–13.] 21. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Интегрирование линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли (метод “u · v”) и методом Лагранжа (вариации произвольной постоянной). [Л. 15.] 22. Сформулировать теорему Коши о существовании и единственности решения диффе- ренциального уравнения n-го порядка. Интегрирование дифференциальных уравнений n-го порядка, допускающих понижение порядка. [Л. 17.] 23. Сформулировать теорему Коши о существовании и единственности решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Доказать свойства частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. [Л. 18–19.] 24. Сформулировать определения линейно зависимой и линейно независимой систем функ- ций. Сформулировать и доказать теорему о вронскиане линейно зависимых функций. [Л. 18–19.] 25. Сформулировать определения линейно зависимой и линейно независимой систем функ- ций. Сформулировать и доказать теорему о вронскиане системы линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. [Л. 18–19.] 26. Сформулировать и доказать теорему о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. [Л. 18–19.] 27. Сформулировать и доказать теорему о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. [Л. 18–19.] 28. Вывести формулу Остроградского — Лиувилля для линейного дифференциального уравнения 2-го порядка. [Л. 18–19.] 29. Вывести формулу для общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка при одном известном частном решении. [Л. 18–19.] 30. Сформулировать и доказать теорему о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. [Л. 20–21.] 31. Вывести формулу для общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае кратных корней характеристического уравнения. [Л. 20–21.] 32. Вывести формулу для общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения. [Л. 20–21.] 33. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоян- ными коэффициентами и правой частью специального вида (являющейся квазимногочленом). Сформулировать и доказать теорему о наложении частных решений. [Л. 20–21.] 34. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных для нахождения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка и вывод системы соотношений для варьируемых переменных. [Л. 20–21.] При ответе на теоретические вопросы билета формулировки теорем должны сопровождаться определениями используемых в них понятий. Знание остальных теорем, определений и понятий из программы курса может потребоваться при ответе на дополнительные вопросы экзаменатора. Задачи для подготовки к экзамену по курсу «Интегралы и дифференциальные уравнения» для всех специальностей ИУ (кроме ИУ9), РЛ, БМТ В экзаменационный билет входят один теоретический вопрос и четыре задачи. Каждая из задач относится к одной из следующих тем: • неопределенные интегралы; • приложения определенного интеграла; • несобственные интегралы; • дифференциальные уравнения (ОДУ), допускающие понижение порядка; • линейные ОДУ с правой частью специального вида; • линейные ОДУ с правой частью общего вида. При подготовке к экзамену рекомендуется прорешать следующие задачи. Модуль 1 1. Неопределенные интегралы. 1.1. Z 4 √ 5 + ln x x dx. 1.2. Z x 2 dx x 6 − 1 1.3. Z x 2 cos 2x dx. 1.4. Z e 2x cos 3x dx. 1.5. Z ln x dx. 1.6. Z 4x + 1 √ 2 + 4x − x 2 dx. 1.7. Z dx x √ 3x 2 − 2x − 1 1.8. Z tg 3 x dx. 1.9. Z dx 4 sin 2 x + 3 cos 2 x 1.10. Z ( √ cos x + sin x) 2 dx. 1.11. Z 3 √ x − 1 3 √ x − 1 + √ x − 1 dx. 1.12. Z dx 5 − 2 sin x + 5 cos x 1.13. Z dx (x + 1)(x + 2)(x + 3) 1.14. Z x 3 + x + 1 x(x 2 + 1) dx. 2. Приложения определенного интеграла. 2.1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y = √ x + 4, y = − √ x + 2 и осью Ox. Сделать чертёж. 2.2. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой x = a cos 3 t, y = a sin 3 t. Сделать чертёж. 2.3. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой ρ = 2(1 + cos ϕ) и лучами ϕ = 0, ϕ = π 3 . Сделать чертёж. 2.4. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y = e −2x − 1, y = e −x + 1 и x = 0. Сделать чертёж. 2.5. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями y = x 2 2 + 2x + 2 и y = 2. Сделать чертёж. 2.6. Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной кривой x = at 2 , y = a ln t (a > 0) и осями координат, вокруг оси Ox. Сделать чертёж. 2.7. Найти объём тела, образованного вращением кривой r = a sin 2 φ вокруг полярной оси. Сделать чертёж. 2.8. Найти длину дуги кривой y = x 2 от точки (−1, 1) до точки (1, 1). Сделать чертёж. 2.9. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox кривой x = 2 cos t, y = 4 sin t. Сделать чертёж. 3. Исследование несобственных интегралов на сходимость. 3.1. Z +∞ 1 arctg √ 1 + x 2 x + 3 dx. 3.2. Z π/2 0 sin x x 4/3 dx. 3.3. Z 1 0 ln(1 + x) sin x 3 dx. Модуль 2 4. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. 4.1. xy 00 + y 0 + x = 0. 4.2. 1 + yy 00 + (y 0 ) 2 = 0 при начальных условиях y x=1 = 1, y 0 x=1 = 1. 5. Вид общего решения линейного ОДУ. 5.1. y IV + y 00 = xe −x + 2 − x + x sin x − e x sin x. 5.2. y V − 5y IV + 4y 000 = 2 + xe −2x + xe x − e −2x cos 3x. 6. Линейные ОДУ с правой частью общего вида. 6.1. y 00 + y = tg x sec x. 6.2. y 00 + 4y 0 + 4y = e −2x x 6.3. Решить уравнение x 2 y 00 + 2xy 0 − 2y = 0, если известно его частное решение соответ- ствующего однородного уравнения: y 1 = x. Образец билета Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 0. Интегралы и дифференциальные уравнения 2-й сем., ИУ-РЛ-БМТ (2019-20) 1. (6 баллов) Сформулировать свойства определенного интеграла. Вывести формулу Ньютона — Лейбница. 2. (6 баллов) Проинтегрировать Z 4 √ 5 + ln x x dx. 3. (6 баллов) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y = √ x + 4, y = − √ x + 2 и осью Ox. Сделать чертёж. 4. (6 баллов) Решить уравнение y 00 + y = tg x sec x. 5. (6 баллов) Указать вид общего решения y IV + y 00 = xe −x + 2 − x + x sin x − e x sin x. Билеты утверждены на заседании кафедры ФН-12 25.05.2020 . |