Вопросы к экзамену по линейной алгебре
Второй семестр
Лектор: Юрий Николаевич Карамзин
Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Крамера для неоднородной системы из n уравнений с n неизвестными.
Критерий совместимости системы линейных алгебраических уравнений (теорема Кронекера-Капелли).
Однородные системы линейных алгебраических уравнений, свойства решений. Критерий наличия ненулевых решений.
Фундаментальные системы решений и общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений.
Общее решение совместной неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.
Определение линейного (векторного) пространства, действительного и комплексного. Примеры линейных пространств.
Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости, достаточные условия линейной независимости. Примеры.
Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе. Координаты суммы векторов, произведение вектора на число.
Линейная оболочка системы векторов. Теорема о размерности линейной оболочки.
Матрица перехода от одного базиса линейного пространства к другому. Преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к другому.
Подпространства линейного пространства. Примеры.
Прямая сумма подпространств. Теорема о размерности суммы двух подпространств.
Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора в данном базисе. Координаты образа данного вектора. Примеры линейных операторов.
Преобразование матрицы линейного оператора при переходе от одного базиса к другому. Характеристический многочлен и его инвариантность.
Действия с линейными операторами. Матрицы суммы операторов, произведение оператора на число и произведения операторов.
Собственные числа и собственные вектора линейного оператора. Характеристическое уравнение и система линейных уравнений для определения собственных векторов данного линейного оператора.
Свойства собственных значений и собственных векторов линейного оператора.
Критерий существования базиса из собственных векторов линейного оператора. Приведение к диагональному виду матрицы линейного оператора с простыми собственными числами.
Билинейные формы в действительном линейном пространстве, их представление через координаты векторов. Разложение билинейной формы на сумму симметричной и кососимметричной составляющих. Преобразование матрицы билинейной формы при переходе от одного базиса к другому.
Определение обратного оператора. Критерий обратимости линейного оператора. Матрица обратного оператора в данном базисе. Примеры обратимых и необратимых операторов.
Квадратичные формы в линейном пространстве, полярная билинейная форма. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.
Положительно определённые квадратичные формы. Их канонический вид. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичных форм.
Закон инерции квадратичных форм.
Определение Евклидова пространства. Норма вектора. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника. Угол между двумя векторами в Евклидовом пространстве.
Ортонормированные базисы (ОНБ) Евклидова пространства. Теорема о существовании ОНБ, процесс ортогонализации Шмидта.
Ортогональное дополнение подпространства Евклидова пространства. Разложение пространства в прямую сумму ортогональных подпространств.
Сопряжённый оператор для данного линейного оператора, его существование и свойства. Матрица сопряжённого оператора.
Ортогональные операторы и их свойства. Матрица ортогонального оператора.
Самосопряжённые операторы и их свойства. Вещественность собственных значений самосопряжённого оператора. Матрица самосопряжённого оператора.
Спектральная теорема для самосопряжённых операторов.
Квадратичная форма в Евклидовом пространстве. Приведение к каноническому виду с помощью ортогональных преобразований.
|
Скачать 32 Kb.