Вопросы к экзамену. вопросы к экзамену (1). Вопросы для подготовки к экзамену по линейной алгебре (аб020, 021, 024 абс022, 023 авт012, 013 ап026, 027), январь 2021
 Скачать 12.36 Kb.
|
|
Вопросы для подготовки к экзамену по линейной алгебре (АБ-020, 021, 024; АБс-022, 023; АВТ-012, 013; АП-026, 027), январь 2021 Инструменты1.Многочлены, степень многочлена, сложение и умножение многочленов 2.Деление многочленов, делитель и остаток, деление «столбиком», схема Горнера 3.Понижение степени многочлена (подбор целочисленных корней), разложение на линейные и квадратичные множители над полем вещественных чисел 4.Системы линейных алгебраических уравнений, матричная запись 5.Формулы для вычисления определителей порядка 2 и 3 Разложение определителя по строке или столбцу Элементарные преобразования, свойства определителей Вычисление определителей с помощью накопления нулей в строке (столбце) или приведения к треугольному виду Сложение и умножение матриц Обратная матрица (случай квадратных матриц второго порядка) 11.Метод алгебраических дополнений вычисления обратной матрицы 12.Метод элементарных преобразований вычисления обратной матрицы 13.Решение матричных уравнений 14.Ранг матрицы Решение систем алгебраических линейных уравненийФормулы Крамера для решения систем уравнений, условия применения Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы 3.Метод последовательного исключения неизвестных (Гаусса) 4.Решение систем уравнений с неквадратной матрицей системы 5.Условия существования и единственности решения 6.Однородные и неоднородные системы уравнений Общее и частное решения Нахождение и запись общего решения 9.Фундаментальная система решений однородной системы 10.Формы записи решений системы уравнений 11.Представление решения системы через частные решения неоднородной и однородной систем Векторные пространства и линейные операторыГеометрические векторы Векторное пространство, координаты вектора Линейная зависимость и независимость, ранг системы векторов Базис, разложение по базису Скалярное произведение, его определение и свойства, измерение углов Векторное произведение, вычисление с помощью определителя, использование для геометрических измерений Смешанное произведение, вычисление с помощью определителя, использование для нахождения объемов Определение линейного оператора в векторном пространстве, проверка свойств линейности Примеры линейных операторов в 2- и 3-мерном пространствах Матрица линейного оператора Матрица перехода между базисами, изменение матрицы оператора при переходе к другому базису Собственные числа и векторы линейных операторов Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов Нахождение собственных чисел и собственных векторов Элементы аналитической геометрииУравнение линии (множества) на плоскости и в пространстве Линии первого порядка на плоскости Виды уравнений прямой на плоскости: общее, каноническое, параметрическое, векторное, с угловым коэффициентом, в отрезках, нормальное Смысл коэффициентов уравнений Построение уравнений прямой на плоскости по разным исходным данным, превращение уравнений одного вида в уравнения другого вида Расстояние от точки до прямой на плоскости, взаимное расположение прямых Геометрические измерения в треугольнике на плоскости: уравнения сторон, длина высоты, уравнение высоты, медианы и биссектрисы, точки пересечения, углы Общее уравнение плоскости, смысл его коэффициентов Построение уравнения плоскости по точке и нормальному вектору Другие обобщения уравнений прямой: уравнение в отрезках, нормальное уравнение Построение уравнения плоскости по трем точкам, двум точкам и параллельному ей вектору, точке и двум параллельным ей векторам Расстояние от точки до плоскости и между параллельными плоскостями Угол между пересекающимися плоскостями Виды уравнений прямой в пространстве: канонические, параметрические, система уравнений пересекающихся плоскостей, смысл коэффициентов Взаимное расположение прямых в пространстве 16.Измерение расстояний и углов в пространстве 17.Линии второго порядка на плоскости 18.Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду: неполные уравнения, применение собственных чисел и векторов для полных уравнений Типичные задания, которые надо уметь решатьВычисление определителей: по формулам, с помощью разложения по строке или столбцу, с предварительным накоплением нулей в линии и приведением к треугольному виду использование определителей для нахождения решения системы по формулам Крамера умножение матриц, нахождение обратной матрицы, применение этих операций для решения систем уравнений нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений или элементарных преобразований, моделирование умножения на обратную матрицу с помощью элементарных преобразований метод последовательного исключения неизвестных (Гаусса), нахождение решения системы с его помощью применение метода Гаусса в случае неквадратной матрицы, общее решение признаки существования и единственности решения системы однородные и неоднородные системы, описание множества решений в случае неединственности векторы и векторные пространства: алгебраические и геометрические векторы, операции над векторами, линейная комбинация векторов, линейная (не)зависимость, ранг системы векторов, базис и размерность векторного пространства, представление вектора линейной комбинацией базисных произведения векторов: скалярное, векторное и смешанное произведения, их смысл и простейшие свойства, способы вычисления уравнения прямой на плоскости: виды уравнений, их построение, вычисление длин и углов, взаимное расположение прямых, измерения и линии в треугольниках уравнения прямой и плоскости в пространстве: виды уравнений прямой и плоскости в пространстве, вычисление длин и углов, взаимное расположение прямых и плоскостей линейные операторы: операторы в векторных пространствах, линейность операторов, матрица линейного оператора, ранг и дефект, образ, ядро и нахождение их базисов, матрица перехода собственные числа и векторы: собственные числа и векторы линейного оператора, нахождение собственных чисел, нахождение собственных векторов, матрица оператора в базисе из собственных векторов линии второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола и их канонические уравнения, построение линий по каноническим уравнениям, неполные уравнения и приведение к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов, полные уравнения и приведение к главным осям Учебное пособиеИвлева А. М. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия : учеб. пособие / А. М. Ивлева, П. И. Прилуцкая, И. Д. Черных. – 4-е изд-е, – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2014. – 180 с. (есть более новое 5-е издание 2019 года, также можно найти версию 2014 года в электронной форме). Другие материалыКурс 10469 в DiSpace: https://dispace.edu.nstu.ru/didesk/course/show/10469. |