Математика-3. Задача Решите уравнение Решение Применим метод алгебраических дополнений. Получим нули в столбце 1

• Название: Задача Решите уравнение Решение Применим метод алгебраических дополнений. Получим нули в столбце 1
• Дата: 02.05.2023
• Размер: 455 Kb.
• Имя файла: Математика-3.doc
• Тип: Задача; #1103520

Контрольная работа

по математике
Вариант 3

Задача 1. Решите уравнение:
Решение

Применим метод алгебраических дополнений.

Получим нули в столбце 1.

Из строки 2 вычтем почленно строку 1:

1	2	3	n
1	1	2	n
0	1	1	0

Затем из строки 3 вычтем строку 1, предварительно умножив строку 1 на 2.

2	3	6	2n
2	2	4	2n
0	1	2	0

Строку 4 перепишем, так как в ней есть 0.

В результате получим определитель, равный исходному:


=
Вычислив алгебраическое дополнение А₁₁:
=3

Ответ: х=3
Задача 2. Даны матрицы

Найдите: ВА, АХ, ХА, А^-1, А^T , rangА, D=n(А^T)^Т – АЕ.

Решение


=


Произведение ХА не определено, так число столбцов в Х неравно числу строк А.
Обратная матрица.

Если , то
Определитель матрицы =3.
Тогда =

Транспонирование матрицы:
=

Ранг А равен 2, так как

Применим свойства матриц: D=n(А^T)^Т – АЕ= nА – А=(n-1)А =

=(n-1) =2 =

Задача 3. Исследуйте систему линейных уравнений с помощью определителей, решите методами Крамера, матричным, Гаусса.


Решение

Найдем определитель системы:

-4-6-27= -370

Система имеет единственное решение.

1) Метод Крамера.

,

где Δ – определитель системы,

Δ_{хj -} вспомогательные определители, каждый из которых получается из определителя Δ заменой столбца j столбцом свободных членов в_i.
Найдем вспомогательные определители:

-37

-74


Найдем значения неизвестных:


2) Матричный метод: X= А^-1В.

Матрицы системы:



Найдем обратную матрицу:



Определитель системы: -37

Найдем алгебраические дополнения: А_ij=(-1)^i+jM_ij
А₁₁=(-1)¹⁺¹М₁₁=+М₁₁=

А₂₁=(-1)²⁺¹М₂₁=-М₂₁= -

Аналогично находим остальные дополнения.
Получим:


Найдем матрицу неизвестных:




3) Метод Гаусса


Приведем систему с помощью элементарных преобразований к равносильной системе ступенчатого вида.

Исключим неизвестную x₁

Первое уравнение поделим на 2, получим:

Из второго уравнения вычтем почленно новое первое уравнение, умноженное на 4:



(n-2)x₂-2nx₃=2n-4

Из третьего уравнения вычтем почленно новое первое уравнение, умноженное на 3:





В результате получим равносильную систему:


Исключим неизвестную x₂

Поменяем местами второе и третье уравнения:



Поделим второе уравнение на (-5/2):

Из третьего уравнения вычтем второе, умноженное на (n-2):




В результате получим равносильную систему:



Из второго уравнения при x₃=0 получим x₂=2.

Из первого уравнения:



Проверка:



Система решена правильно
Ответ: х₁=1, х₂=2, х₃=0.

Задача 4. Постройте векторы . Найдите:

а) площадь треугольника, построенного на ,

б) объем пирамиды, построенной на векторах .
Решение

Построим векторы.



а) площадь треугольника, построенного на ,
Используем геометрический векторного произведения:





Модуль вектора =15

Тогда 7,5.

б) Объем пирамиды
Используем геометрический смысл смешанного произведения:


.

Тогда =7,5

Задача 5. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(n-10,2), В(1,n-10), С(0,5)

Сделайте чертеж. Найдите:

1) длину и уравнение медианы АН;

2) длину и уравнение высоты AD.
Решение

Сделаем чертеж.


1) Длина и уравнение медианы АН
Сначала найдем координаты точки М как середины отрезка ВС:

M(0,5; -1)

Подставляя координаты точек А и М в уравнение:


Получим: .

Длина АМ:


2) Длина и уравнение высоты AD

Прямые АD и ВС перпендикулярны, поэтому их угловые коэффициенты .

Уравнение ВС:





Тогда:

у-у_о=k(х-х_о) 



Задача 6. Даны координаты вершин пирамиды М₁М₂М₃М₄:

М₁(2,0,0), М₂(0,-4,2), М₃(0,n,0), М₄(0,0,4). Сделайте чертеж. Найдите:

1) уравнение и длину ребра М₁М₂;

2) угол между рёбрами М₁М₂ и М₁М₄;

3) уравнение грани М₁М₂М₃;

4) площадь грани М₁М₂М₃;

5) объём пирамиды.
Решение
Сделаем чертеж.


1) уравнение и длина ребра М₁М₂;
Уравнения ребра М₁М₂ найдем как уравнения прямой, проходящей через две точки.

Подставляя координаты точек в уравнения ,

получим:

- канонические уравнения ребра М₁М₂.
Длина ребра М₁М₂ равна расстоянию между точками М₁и М₂ или длине вектора: .
2) угол между рёбрами М₁М₂ и М₁М₄

Определим угол  между сторонами М₁М₂ и М₁М₄ как угол между соответствующими векторами. Найдем координаты векторов:

= , длина вектора

, длина вектора


3) уравнение грани М₁М₂М₃


0-2nz-4y-8z-0-2n(x-2)=0  -2nx-4y-(8+2n)z+4n=0  nx+2y+(4+n)z-2n=0

Нормальный вектор плоскости
4) площадь грани М₁М₂М₃


5) объём пирамиды.
Используем геометрический смысл смешанного произведения:



Координаты векторов:

, ,

Найдем смешанное произведение

.

Тогда
Задача 7. Найдите пределы: а) при k=0; 2 б) ,

в) г)

Решение

а) при k=0; 2
при k=0



при k=2


б)
в)


г)

Задача 8. Исследуйте функцию на непрерывность графически. Определите характер
точек разрыва с помощью односторонних пределов.

Варианты 1-15.

Решение










Односторонние пределы конечны и не равны, поэтому x=n=3 – точка разрыва 1 рода.

Задача9*. Запишите комплексное число в алгебраической, тригонометрической.

Варианты 1-15.

Решение

Алгебраическая форма:



Тригонометрическая форма:





z=1(cos(-90^o)+isin(-90^o))  z=cos90^o - isin90^o


Задача 10. Найдите производные и дифференциалы 1 порядка.

Варианты 1-5, 11-20. а) у = (n-2x)e ^n-x, б) y = ln

Решение

а) Применим правила дифференцирования произведения и сложной функции:

у ^/ = (n-2x)^/ e ^n-x + (n-2x) (e ^n-x ) ^/ = -2 e ^n-x + (n-2x) e ^n-x (n-x)^/ =

= -2 e ^n-x + (n-2x) e ^n-x (-1) =(2x-n-2) e ^n-x = (2x-5) e ^3-x

dy=f ^/(x)dx= (2x-5) e ^3-x dx
б) Применим правила дифференцирования частного и сложной функции:




dy=f ^/(x)dx= dx

Задача 11. Найдите пределы по правилу Лопиталя:

Варианты 1-5 а) , б)
Решение



а)

б) =15
Задача 12. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке хо=n+1.

Сделайте чертеж.
Решение

Сделаем чертеж


Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке M_о(х_о,у_о) имеет вид:

у-f(x_о)= f ’(xo)(х-х_о).


f(x_о)=
f ’(xo) =
Уравнение касательной:

у-1= 0,5(х-n)  y=0,5x+1-0,5n = 0,5x-0,5
Задача 13. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0,n].

Решение

Найдем производную функции:


Производная не обращается в 0.

Производная не определена при x+1=0, откуда x=-1 – критическая точка вне отрезка [0,n].

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции могут быть только на концах отрезка:

=-3



Наибольшее значение равно f(n)=0.

Наименьшее значение равно f(0)= -3.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. 
   Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление, М., 1988
   
2. 
   Ефимов А.В., Демидович Б.П. Сборник задач по математике для втузов, ч.1, М.,1986
   
3. 
   Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: учебн. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ , 2004. – 474 с.
   
4. 
   Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах: учебное пособие для вузов. В 3 т.: Т. 1. – СПб.: Политехника, 2003. – 703 с.