функция вся теория. _Функции (вся теория). Вот необходимая теория для решения задания 10 егэ

• Название: Вот необходимая теория для решения задания 10 егэ
• Анкор: функция вся теория
• Дата: 17.12.2022
• Размер: 0.73 Mb.
• Имя файла: _Функции (вся теория).docx
• Тип: Документы; #849770

Вот необходимая теория для решения задания №10 ЕГЭ.

Что такое функция

Чтение графика функции

Четные и нечетные функции

Периодическая функция

Обратная функция

5 типов элементарных функций и их графики

Преобразование графиков функций

1. Функция – это зависимость одной переменной величины от другой. Другими словами, взаимосвязь между величинами..

Знакомое вам обозначение   как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины   по определенному закону, или правилу, обозначаемому  .
Функция – это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Например, функция   каждому действительному числу   ставит в соответствие число в два раза большее, чем  .
способы задания функции.

А) С помощью формулы. 

Б) Графический способ. Он является самым наглядным. На графике сразу видно все – возрастание и убывание функции, наибольшие и наименьшие значения, точки максимума и минимума.

С) С помощью таблицы

Д) С помощью описания. Бывает, что на разных участках функция задается разными формулами. Известная вам функция   задается описанием:



2. Чтение графика функции

На рисунке изображен график функции  . Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:

• 
  область определения функции
  
• 
  область значений функции
  
• 
  нули функции
  
• 
  промежутки возрастания и убывания
  
• 
  точки максимума и минимума
  
• 
  наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
  

3Четные и нечетные функции

Функция   называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x из ее области определения выполняется равенство



График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Например,   — четные функции.



Функция   называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x из ее области определения выполняется равенство



График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Например,   — нечетные функции.



Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида.

Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задания:

1. Проверьте, является ли функция   четной (нечетной). 

Область определения функции 



Проверим, является ли   чётной или нечётной. Если   функция четна. Если   функция нечетна.

 — значит, функция   нечётная, её график симметричен относительно нуля.

2. Проверьте, является ли функция   четной (нечетной)

Область определения: все действительные числа.

 — чётная, как сумма двух чётных функций.



Её график симметричен относительно оси y.

3. Проверьте, является ли функция   четной (нечетной).



Область определения функции симметрична относительно нуля.

• 
  — чётная, её график симметричен относительно оси y.
  

4.Периодическая функция

Это функции, все значения которых повторяются через определенный период. Как будто мы копируем часть графика — и повторяем на всей области определения функции. Например,   — периодические функции.



Функция   называется периодической, если существует такое число  , не равное нулю, что для любого   из ее области определения  Число   называется периодом функции.

Например,   — периодические функции.

Для функций   и   период  ,

Для функций   и   период 

Наименьший положительный период суммы функций равен наименьшему общему кратному периодов слагаемых. 

5.Обратная функция

 Функция — это действие над переменной. Но что будет, если сделать действие — и обратное действие? Открыть дверь и закрыть дверь. Включить свет и выключить свет. Будет то же, что и было раньше, верно? Так и с функциями.

Функции f(x) и g(x) называются взаимно-обратными, если f(g(x)) = x.

Например,   при 

Сделали действие (возвели   в квадрат). Сделали обратное действие (извлекли квадратный корень). И получили то, что и было раньше, то есть переменную х

Другой пример взаимно-обратных функций: показательная и логарифмическая. Помните основное логарифмическое тождество:   для  . Для положительных х функции   и   являются взаимно-обратными. Еще один пример взаимно-обратных функций:

 и   при 

Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой у = x.

То, что для функции является областью определения, для обратной функции будет областью значений.



6. 5 типов элементарных функций и их графики
Существует всего пять типов элементарных функций:

1).Степенные

К этому типу относятся линейные, квадратичные, кубические,  ,  ,   

Все они содержат выражения вида x^α.

2)Показательные
Это функции вида y = a^x

3)Логарифмические
y = log_ax.

4)Тригонометрические
В их формулах присутствуют синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы.

5)Обратные тригонометрические
Содержат arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.
Элементарными они называются потому, что из них, как из элементов, получаются все остальные, встречающиеся в школьном курсе. Например, y = x² · e^x — произведение квадратичной и показательной функций; y = sin(a^x) — сложная функция, то есть комбинация двух функций — показательной и тригонометрической.

1. Линейная функция y = x
2. Квадратичная парабола y = x2
3. Функция y = xn, n - натуральное, n > 1 n - чётное n = 2, 4, 6,...
n - нечётное n = 3, 5, 7,...
4.Гипербола
5.
6.

 

Показательная функция y = a^x

a > 1
0 < a < 1

 

Логарифмическая функция y = log_ax

a > 1
0 < a < 1

 

Тригонометрические функции

1.
2.
3.
4.

 

Обратные тригонометрические функции

1.
2.
3.
4.

Сдвиг по горизонтали.

Пусть функция задана формулой   и   Тогда график функции   сдвинут относительно исходной на а вправо. График функции   сдвинут относительно исходной на а влево.



 

Сдвиг по вертикали.

Пусть функция задана формулой   и С — некоторое положительное число. Тогда график функции   сдвинут относительно исходного на С вверх. График функции   сдвинут относительно исходного на С вниз.



2.  Растяжение (сжатие) по горизонтали.

Пусть функция задана формулой   и   Тогда график функции   растянут относительно исходного в k раз по горизонтали, если  , и сжат относительно исходного в k раз по горизонтали, если 



3.  Растяжение (сжатие) по вертикали

Пусть функция задана формулой   и   Тогда график функции   растянут относительно исходного в М раз по вертикали, если  , и сжат относительно исходного в М раз по вертикали, если 



4. Отражение по горизонтали

График функции   симметричен графику функции  относительно оси Y.





5. Отражение по вертикали.

График функции   симметричен графику функции   относительно оси Х.






6. Графики функций   и