курсова. Вступ Розділ I
 Скачать 0.94 Mb.
|
 і  - постійний коефіцієнт, котрий буде обрано нижче.Функція  , очевидно, має п+1 корінь в точках  . Підберемо тепер коефіцієнт таким чином, щоб мала (п+2)-ий корінь в будь-якій, але фіксованій точці відрізка  , яка не співпадає з вузлами інтерполювання (мал. 1). Для цього достатньо покласти  .Звідси, так як  , то  (1. 2. 13)При цьому значення множника функції має п+2 кореня на відрізку і буде обертатись в нуль на кінцях кожного з відрізків  . Застосовуючи теорему Ролля [11] до кожного із цих відрізків, переконуємось, що похідна  має не менше п+1 кореня на відрізку . Малюнок 1. Графік функції Застосовуючи теорему Ролля до похідної , ми переконаємося, що друга похідна  перетворюється в нуль не менше п разів на відрізку .Продовжуючи ці роздуми, прийдемо до висновку, що на відрізку похідна  має хоча б один корінь, котрий позначимо через  , тобто  .Із формули (1. 2. 11) так як  , маємо:  . При  , отримуємо:  Звідси  . (1. 2. 14)Порівнюючи праві частини формул (1. 2. 13) і (1. 2. 14), будемо мати:  , тобто . (1. 2. 15)Так як  довільне, то формулу (1. 2. 15) можна записати і так: , (1. 2. 16)де залежить від  і лежить всередині відрізка . Відмітимо, що формула (1. 2. 16) справедлива для всіх точок відрізка , в тому числі і для вузлів інтерполювання.На основі формули (1. 2. 16) отримаємо залишковий член першої інтерполяційної формули Ньютона:  , (1. 2. 17)де - деяка внутрішня точка найменшого проміжку, що містить всі вузли  і точку .Аналогічно, покладаючи в формулі (1. 2. 17)  , отримаємо залишковий член другої інтерполяційної формули Ньютона: , (1. 2. 18)де - деяка внутрішня точка найменшого проміжку, що містить всі вузли і точку . Зазвичай при практичних обчисленнях інтерполяційна формула Ньютона обривається на членах, що містять такі різниці, які в межах заданої точності можна вважати постійними. Вважаючи, що  майже постійними для функції  і  достатньо малим, і враховуючи, що  , наближено можна покласти: .В цьому випадку залишковий член першої інтерполяційної формули Ньютона наближено рівний  .При таких самих умовах для залишкового члена другої інтерполяційної формули Ньютона отримаємо вираз .1.3 Інтерполяційні формули Гауса При побудові інтерполяційних формул Ньютона використовуються лише значення функції, що лежать з однієї сторони початкового наближення, тобто, ці формули носять односторонній характер (див.[3]). В багатьох випадках виявляються корисними інтерполяційні формули, що містять як наступні, так і попередні значення функції по відношенню до її початкового наближеного значення. Найбільш вживаними серед них являються ті, що містять різниці, розміщені у горизонтальному рядку діагональної таблиці різниць даної функції, що відповідає початковим значенням  і  , або в рядках, що безпосередньо примикають до неї. Ці різниці  називаються центральними різницями, причому  і т. д.Відповідні їм формули називають інтерполяційними формулами із центральними різницями. До їх числа відносяться формули Гауса, Стірлінга і Бесселя. Постановка задачі. Нехай маємо 2п+1 рівновіддалені вузли інтерполяції:  ,де  , і для функції відомі її значення в цих вузлах  , потрібно побудувати такий поліном  степені не вище 2п, що  . Із останньої умови випливає, що (1. 3. 1)для всіх відповідних значень і та k. Будемо шукати поліном у вигляді:  Вводячи узагальнені степені (див [3]), отримаємо:  Застосовуючи для обчислення коефіцієнтів  такий же спосіб, що і при виведенні інтерполяційних формул Ньютона, і враховуючи формулу (1. 3. 1), послідовно знаходимо: Далі вводячи змінну  і зробивши відповідну заміну у формулі (1. 3. 3), отримаємо першу інтерполяційну формулу Гауса: або, коротше,  де  .Перша інтерполяційна формула Гауса містить центральні різниці  .Аналогічно можна отримати другу інтерполяційну формулу Гауса, котра містить центральні різниці  . Друга інтерполяційна формула Гауса має вигляд:  або, в скорочених позначеннях,  де  .Формули Гауса застосовуються для інтерполювання в середині таблиці поблизу . При цьому перша формула Гауса застосовується при  , а друга – при  .1.4 Інтерполяційна формула Бесселя Для того, щоб вивести формулу Бесселя використаємо другу інтерполяційну формулу Гауса (1. 3. 6). Візьмемо  рівновіддалених вузлів інтерполювання  з кроком  , і нехай  - задані значення функції  .Якщо обрати за початкове значення  і  , то, використовуючи вузли  , будемо мати: прикладний задача інтерполяційний формула Візьмемо тепер за початкове значення  і  і використаємо вузли  . Тоді  , причому відповідно індекси всіх різниць в правій частині формули (1. 4. 1) зростуть на одиницю. Якщо замінити в правій частині формули (1. 4. 1)  на  і збільшивши індекси всіх різниць на 1, отримаємо допоміжну інтерполяційну формулу: Взявши середнє арифметичне формул (1. 4. 1) і (1. 4. 2), після нескладних перетворень отримаємо інтерполяційну формулу Бесселя:  де  .Тобто, інтерполяційна формула Бесселя (1. 4. 3), як слідує із способу отримання її, представляє собою поліном, який співпадає з даною функцією в точках  .В окремому випадку, при п=1, нехтуючи різницею  , маємо формулу квадратичної інтерполяції по Бесселю: або  , де  .У формулі Бесселя всі члени, котрі містять різниці непарного порядку, мають множник  , тому при  формула (1. 4. 3) значно спрощується: Цей спеціальний випадок формули Бесселя називається формулою інтерполювання на середину. Якщо у формулі (1. 4. 3) зробити заміну змінної за формулою  , то вона приймає більш симетричний вигляд: де  . Формула Бесселя використовується для інтерполювання всередині таблиці при значеннях q, близьких до 0.5. Практично вона використовується при  . 1.5 Інтерполяційна формула Стірлінга Якщо взяти середнє арифметичне першої інтерполяційної формули Гауса (1. 3. 4) та другої формули Гауса (1. 3. 6), то отримаємо формулу Стірлінга:  де .Легко бачити, що  при  . Формула Стірлінга використовується для інтерполювання в середині таблиці при значеннях  , близьких до нуля. Практично її використовують при  .1.6 Оцінки похибок центральних інтерполяційних формул Приведемо залишкові члени для формул Гауса, Стірлінга і Бесселя [12]. Залишковий член інтерполяційних формул Гауса (1. 3. 4) і (1. 3. 6) та інтерполяційної формули Стірлінга (1. 5. 1). Якщо 2п – порядок максимальної різниці таблиці, яка використовується і  , то  , де  . Якщо ж аналітичний вираз функції  невідомий, то при малому покладають [2]:  .Залишковий член інтерполяційної формули Бесселя (1. 4. 3). Якщо 2п+1 – порядок максимальної використовуваної різниці таблиці і  , то  ,де  . Якщо ж функція задана таблично і крок h малий, то приймають:  .Найбільш простий вигляд формула має при q=0.5, так як всі члени, що містять різниці непарного порядку зникають. Цей спеціальний випадок формули Бесселя називається формулою інтерполювання на середину. Її використовують для ущільнення таблиць [4], тобто для складання таблиць з більш малим кроком. Для залишкового члена при q=0.5 маємо:  .1.7 Інтерполяційна формула Ньютона для нерівновіддалених вузлів Для побудови інтерполяційних формул у випадку довільного розташування упорядкованих не співпадаючих вузлів  на проміжку  , замість кінцевих різниць використовують розділені різниці, або інакше, різницеві відношення.Через значення функції  спочатку визначають розділені різниці першого порядку: (1. 7. 1)На різницях (1. 7. 1) шукаються розділені різниці другого порядку:  і т.д. Таким чином, якщо визначені k-ті різницеві відношення  , то  - ті визначаються завдяки ним рівністю:  (1. 7. 2) Нехай  - деяка функція із відомими значеннями у вузлах  , а - довільна фіксована точка. За означенням розділеної різниці першого порядку (1. 7. 1) маємо:  звідки (1. 7. 3)Для розділеної різниці другого порядку по точкам  записуємо представлення:  наслідком якого являється вираз  Підставляючи його у формулу (1. 7. 2), приходимо до рівності Формально, на основі рекурентного відношення (1. 7. 2) цей процес може бути продовжений. В результаті можна записати формулу, яка описує своєрідне розкладання по добуткам різниць  , коефіцієнтами якого являються розділені різниці різних порядків:  (1. 7. 4)Якщо  - многочлен степені п, то процес подібного розкладання вичерпується. Розкладання буде складатись з п+1 доданка, і всі вони будуть мати конкретні коефіцієнти, так як остання, яка містить |