курсова. Вступ Розділ I
 Скачать 0.94 Mb.
|
            .............  Залучивши визначення похідної, можна виявити певний зв'язок між кінцевими різницями і похідними. А саме, якщо враховувати, що  , то можна сказати, що при достатньо малих  має місце наближена рівність  тобто перші різниці характеризують першу похідну функції  по значенням якої вони складені. Скориставшись цим, маємо для других різниць:   , тобто  , і, взагалі,  . (1. 2. 1)Таким чином, на кінцеві різниці можна дивитись як на деякий аналог похідних. Звідси справедливість багатьох їх властивостей, однакових зі властивостями похідних. Відмітимо лише найпростіші властивості кінцевих різниць: кінцеві різниці сталої дорівнюють нулю; сталий множник у функції можна виносити за знак кінцевої різниці; кінцева різниця від суми двох функцій дорівнює сумі їх кінцевих різниць в одній і тій же точці. Враховуючи роль, яку відіграють многочлени в теорії інтерполювання, подивимось, що представляють собою кінцеві різниці многочленна. Так як многочлен в своїй канонічній формі є лінійна комбінація степеневих функцій, покладемо спочатку  . Використовуючи біноміальне розвинення п-ого степеня двочлена, отримаємо: тобто перша кінцева різниця степеневої функції є многочлен степеня п-1 зі старшим членом  . Якщо взяти тепер кінцеву різницю від функції  , (1. 2. 2)то в силу лінійних властивостей  , можна записати  . Перший доданок в цій сумі, як з’ясовано, є многочлен (п-1)-го степеня, другий, аналогічно, - многочлен степеня п-2, і т. д. отже, перша кінцева різниця многочленна (1. 2. 2) в точці  з короком є многочлен зі старшим членом  , друга кінцева різниця – многочлен зі старшим членом  , …,  -та різниця – многочлен зі старшим членом  .При  отримуємо постійну різницю п-го порядку  для многочлена (1. 2. 2), кінцеві різниці більш високих порядків дорівнюють нулю.Тобто, головний висновок із попередніх роздумів: п-і кінцеві різниці многочленна п-ого степеня постійні, а (п+1)-ші і всі наступні рівні нулю. Однак, більш важливим для розуміння суті поліноміального інтерполювання є твердження, обернене зробленому вище висновку. А саме, що якщо кінцеві різниці п-го порядку деякої функції  постійні в будь-якій точці при різних фіксованих кроках , то ця функція  є многочлен степеня п.Для функції  , заданої таблицею своїх значень  у вузлах  , де  , кінцеві різниці різних порядків зручно поміщати в одну загальну таблицю з вузлами і значеннями функції. Цю загальну таблицю називають таблицею кінцевих різниць. 1.2.1 Перша інтерполяційна формула Ньютона Нехай для функції задані значення  для рівновіддалених значень незалежної змінної:  , де - крок інтерполяції. Необхідно підібрати поліном  степені не вище п, який приймає в точках  значення  (1. 2. 3)Умови (1. 2. 3) еквівалентні тому, що  . Слідуючи Ньютону, будемо шукати поліном у вигляді  Використовуючи загальний степінь, вираз (1. 2. 3) запишемо так:  Наша задача заклечається у визначенні коефіцієнтів  полінома . Покладаючи  у вираз (1. 2. 5), отримаємо  .Щоб знайти коефіцієнт  , складемо першу кінцеву різницю  . Припускаючи в останньому виразі , отримаємо:  ; звідки  . Для визначення коефіцієнта  складемо кінцеву різницю другого порядку  . Покладаючи , отримаємо:  ; звідки  . Послідовно продовжуючи цей процес, ми виявимо, що  , де  .Підставляючи знайдені значення коефіцієнтів  у вираз (1. 2. 5) отримаємо інтерполяційний поліном Ньютона . (1. 2. 6)Легко побачити, що поліном (1. 2. 6.) повністю задовольняє вимогам поставленої задачі. Дійсно, по-перше, степінь поліному не вище п, по-друге,  і  Замітимо, що при  формула (1. 2. 6) перетворюється в ряд Тейлора для функції  . Дійсно,  Крім того, очевидно,  . Звідси при формула (1. 2. 6) приймає вид поліному Тейлора:  .Для практичного використання інтерполяційну формулу Ньютона (1. 2. 6) зазвичай записують в дещо перетвореному вигляді. Для цього введемо нову змінну  за формулою  ; тоді  підставляючи ці вирази у формулу (1. 2. 6), отримаємо:  , (1. 2. 7)де являє собою кількість кроків, необхідних для досягнення точки , виходячи із точки  . Це і є кінцевий вигляд першої інтерполяційної формули Ньютона.Формулу (1. 2. 7) вигідно використовувати для інтерполювання функції в околі початкового значення  , де мале за абсолютною величиною.Якщо у формулі (1. 2. 7) покласти п=1, то отримаємо формулу лінійного інтерполювання:  . При п=2 будемо мати формулу параболічного або квадратичного інтерполювання  .Якщо дана необмежена таблиця значень , то число  в інтерполяційній формулі (1. 2. 7) може бути довільним. Практично в цьому випадку число обирають так, щоб різниця  була постійною із заданою точністю. За початкове значення можна приймати довільне табличне значення аргументу .Якщо таблиця значень функції скінчена, то - число обмежене, а саме: не може бути більше числа значень функції , зменшеного на одиницю.Відзначимо, що при застосуванні першої інтерполяційної формули Ньютона зручно використовувати горизонтальну таблицю різниць, так як потрібні значення різниць функції знаходяться у відповідному горизонтальному рядку таблиці. 1.2.2 Друга інтерполяційна формула Ньютона Перша інтерполяційна формула Ньютона практично незручна для інтерполювання функції поблизу вузлів таблиці. В такому випадку зазвичай застосовують другу інтерполяційну формулу Ньютона. Виведемо цю формулу. Нехай маємо систему значень функції  для рівновіддалених значень аргументу  , де - крок інтерполяції. Побудуємо поліном наступного вигляду: або, використовуючи узагальнену степінь, отримуємо:  . (1. 2. 8)Наша задача полягає у визначенні коефіцієнтів  таким чином, щоб виконувались умови (1. 2. 3). Для цього необхідно і достатньо, щоб (1. 2. 9) Покладемо  у формулі (1. 2. 8). Тоді будемо мати:  , отже  .Далі беремо від лівої і правої формули (1. 2. 8) кінцеві різниці першого порядку  .Звідси, вважаючи  і враховуючи відношення (1. 2. 9) будемо мати: . Отже  .Покладаючи  знаходимо:  . І таким чином  .Характер закономірності коефіцієнтів достатньо зрозумілий. Застосовуючи метод математичної індукції, можна строго довести, що  (1. 2. 10)Підставляючи ці значення у формулу (1. 2. 8) будемо мати остаточно   (1. 2. 11)Формула (1. 2. 11) носить назву другої інтерполяційної формули Ньютона. Введемо більш зручний запис формули (1. 2. 11). Нехай  , тоді  і т. д. Підставивши ці значення у формулу (1. 2. 11), отримаємо:   . (1.2.12) Це і є загальний вигляд другої інтерполяційної формули Ньютона. Для наближеного обчислення значень функції вважають, що  .Як перша, так и друга інтерполяційні формули Ньютона можуть бути використані для екстраполяції, тобто, для знаходження значень функції для значень аргументів , котрі лежать за межами таблиці. Якщо  і близько до , то вигідно використовувати першу інтерполяційну формулу Ньютона, причому тоді  . Якщо ж  і близько до  , то зручніше використовувати другу інтерполяційну формулу Ньютона, причому тоді  . Таким чином, перша інтерполяційна формула Ньютона використовується для інтерполяції вперед і екстраполяції назад, а друга інтерполяційна формула Ньютона, навпаки, – для інтерполяції назад і екстраполяції вперед (див. [8]).Відмітимо, що операція екстраполяції, взагалі кажучи, менш точна, ніж операція інтерполяції у вузькому значенні слова. 1.2.3 Оцінка похибок інтерполяційних формул Ньютона Для функції ми побудували інтерполяційний поліном Ньютона , який приймає в точках  задані значення  . Виникає питання, наскільки близько побудований поліном наближається до функції в інших точках, тобто наскільки великий залишковий член  . Для визначення цього степеня наближення накладемо на функцію додаткові обмеження. А саме, ми будемо припускати, що в області зміни :  , котра містить вузли інтерполювання, функція має всі похідні  до (п+1)-го порядку включаючи.Введемо допоміжну функцію  , (1. 2. 12) де |