.............
Залучивши визначення похідної, можна виявити певний зв'язок між кінцевими різницями і похідними. А саме, якщо враховувати, що , то можна сказати, що при достатньо малих має місце наближена рівність тобто перші різниці характеризують першу похідну функції по значенням якої вони складені. Скориставшись цим, маємо для других різниць:
, тобто , і, взагалі, . (1. 2. 1)
Таким чином, на кінцеві різниці можна дивитись як на деякий аналог похідних. Звідси справедливість багатьох їх властивостей, однакових зі властивостями похідних.
Відмітимо лише найпростіші властивості кінцевих різниць:
кінцеві різниці сталої дорівнюють нулю; сталий множник у функції можна виносити за знак кінцевої різниці; кінцева різниця від суми двох функцій дорівнює сумі їх кінцевих різниць в одній і тій же точці.
Враховуючи роль, яку відіграють многочлени в теорії інтерполювання, подивимось, що представляють собою кінцеві різниці многочленна.
Так як многочлен в своїй канонічній формі є лінійна комбінація степеневих функцій, покладемо спочатку . Використовуючи біноміальне розвинення п-ого степеня двочлена, отримаємо:
тобто перша кінцева різниця степеневої функції є многочлен степеня п-1 зі старшим членом . Якщо взяти тепер кінцеву різницю від функції
, (1. 2. 2) то в силу лінійних властивостей , можна записати . Перший доданок в цій сумі, як з’ясовано, є многочлен (п-1)-го степеня, другий, аналогічно, - многочлен степеня п-2, і т. д. отже, перша кінцева різниця многочленна (1. 2. 2) в точці з короком є многочлен зі старшим членом , друга кінцева різниця – многочлен зі старшим членом , …, -та різниця – многочлен зі старшим членом .
При отримуємо постійну різницю п-го порядку для многочлена (1. 2. 2), кінцеві різниці більш високих порядків дорівнюють нулю.
Тобто, головний висновок із попередніх роздумів: п-і кінцеві різниці многочленна п-ого степеня постійні, а (п+1)-ші і всі наступні рівні нулю.
Однак, більш важливим для розуміння суті поліноміального інтерполювання є твердження, обернене зробленому вище висновку. А саме, що якщо кінцеві різниці п-го порядку деякої функції постійні в будь-якій точці при різних фіксованих кроках , то ця функція є многочлен степеня п.
Для функції , заданої таблицею своїх значень у вузлах , де , кінцеві різниці різних порядків зручно поміщати в одну загальну таблицю з вузлами і значеннями функції. Цю загальну таблицю називають таблицею кінцевих різниць.
1.2.1 Перша інтерполяційна формула Ньютона
Нехай для функції задані значення для рівновіддалених значень незалежної змінної: , де - крок інтерполяції. Необхідно підібрати поліном степені не вище п, який приймає в точках значення
(1. 2. 3) Умови (1. 2. 3) еквівалентні тому, що . Слідуючи Ньютону, будемо шукати поліном у вигляді
Використовуючи загальний степінь, вираз (1. 2. 3) запишемо так:
Наша задача заклечається у визначенні коефіцієнтів полінома . Покладаючи у вираз (1. 2. 5), отримаємо .
Щоб знайти коефіцієнт , складемо першу кінцеву різницю . Припускаючи в останньому виразі , отримаємо: ; звідки . Для визначення коефіцієнта складемо кінцеву різницю другого порядку . Покладаючи , отримаємо: ; звідки . Послідовно продовжуючи цей процес, ми виявимо, що , де .
Підставляючи знайдені значення коефіцієнтів у вираз (1. 2. 5) отримаємо інтерполяційний поліном Ньютона
. (1. 2. 6) Легко побачити, що поліном (1. 2. 6.) повністю задовольняє вимогам поставленої задачі. Дійсно, по-перше, степінь поліному не вище п, по-друге, і
Замітимо, що при формула (1. 2. 6) перетворюється в ряд Тейлора для функції . Дійсно, Крім того, очевидно, . Звідси при формула (1. 2. 6) приймає вид поліному Тейлора: .
Для практичного використання інтерполяційну формулу Ньютона (1. 2. 6) зазвичай записують в дещо перетвореному вигляді. Для цього введемо нову змінну за формулою ; тоді
підставляючи ці вирази у формулу (1. 2. 6), отримаємо:
, (1. 2. 7) де являє собою кількість кроків, необхідних для досягнення точки , виходячи із точки . Це і є кінцевий вигляд першої інтерполяційної формули Ньютона.
Формулу (1. 2. 7) вигідно використовувати для інтерполювання функції в околі початкового значення , де мале за абсолютною величиною.
Якщо у формулі (1. 2. 7) покласти п=1, то отримаємо формулу лінійного інтерполювання: . При п=2 будемо мати формулу параболічного або квадратичного інтерполювання
. Якщо дана необмежена таблиця значень , то число в інтерполяційній формулі (1. 2. 7) може бути довільним. Практично в цьому випадку число обирають так, щоб різниця була постійною із заданою точністю. За початкове значення можна приймати довільне табличне значення аргументу .
Якщо таблиця значень функції скінчена, то - число обмежене, а саме: не може бути більше числа значень функції , зменшеного на одиницю.
Відзначимо, що при застосуванні першої інтерполяційної формули Ньютона зручно використовувати горизонтальну таблицю різниць, так як потрібні значення різниць функції знаходяться у відповідному горизонтальному рядку таблиці. 1.2.2 Друга інтерполяційна формула Ньютона
Перша інтерполяційна формула Ньютона практично незручна для інтерполювання функції поблизу вузлів таблиці. В такому випадку зазвичай застосовують другу інтерполяційну формулу Ньютона. Виведемо цю формулу.
Нехай маємо систему значень функції для рівновіддалених значень аргументу , де - крок інтерполяції. Побудуємо поліном наступного вигляду:
або, використовуючи узагальнену степінь, отримуємо:
. (1. 2. 8) Наша задача полягає у визначенні коефіцієнтів таким чином, щоб виконувались умови (1. 2. 3). Для цього необхідно і достатньо, щоб
(1. 2. 9)
Покладемо у формулі (1. 2. 8). Тоді будемо мати: , отже .
Далі беремо від лівої і правої формули (1. 2. 8) кінцеві різниці першого порядку
. Звідси, вважаючи і враховуючи відношення (1. 2. 9) будемо мати:
. Отже . Покладаючи знаходимо: . І таким чином .
Характер закономірності коефіцієнтів достатньо зрозумілий. Застосовуючи метод математичної індукції, можна строго довести, що
(1. 2. 10) Підставляючи ці значення у формулу (1. 2. 8) будемо мати остаточно
(1. 2. 11) Формула (1. 2. 11) носить назву другої інтерполяційної формули Ньютона.
Введемо більш зручний запис формули (1. 2. 11). Нехай , тоді
і т. д. Підставивши ці значення у формулу (1. 2. 11), отримаємо:
. (1.2.12) Це і є загальний вигляд другої інтерполяційної формули Ньютона. Для наближеного обчислення значень функції вважають, що .
Як перша, так и друга інтерполяційні формули Ньютона можуть бути використані для екстраполяції, тобто, для знаходження значень функції для значень аргументів , котрі лежать за межами таблиці. Якщо і близько до , то вигідно використовувати першу інтерполяційну формулу Ньютона, причому тоді . Якщо ж і близько до , то зручніше використовувати другу інтерполяційну формулу Ньютона, причому тоді . Таким чином, перша інтерполяційна формула Ньютона використовується для інтерполяції вперед і екстраполяції назад, а друга інтерполяційна формула Ньютона, навпаки, – для інтерполяції назад і екстраполяції вперед (див. [8]).
Відмітимо, що операція екстраполяції, взагалі кажучи, менш точна, ніж операція інтерполяції у вузькому значенні слова. 1.2.3 Оцінка похибок інтерполяційних формул Ньютона
Для функції ми побудували інтерполяційний поліном Ньютона , який приймає в точках задані значення . Виникає питання, наскільки близько побудований поліном наближається до функції в інших точках, тобто наскільки великий залишковий член . Для визначення цього степеня наближення накладемо на функцію додаткові обмеження. А саме, ми будемо припускати, що в області зміни : , котра містить вузли інтерполювання, функція має всі похідні до (п+1)-го порядку включаючи.
Введемо допоміжну функцію
, (1. 2. 12) де |