шпоры к зачету по математике 2 курс 2 семестр. мат зачет. Зачёт Испытания и события. Пространство элементарных событий. Вероятность Р(А) есть числовая характеристика возможности появления события а в испытании.

• Название: Зачёт Испытания и события. Пространство элементарных событий. Вероятность Р(А) есть числовая характеристика возможности появления события а в испытании.
• Анкор: шпоры к зачету по математике 2 курс 2 семестр
• Дата: 26.10.2022
• Размер: 4 Mb.
• Имя файла: мат зачет.docx
• Тип: Документы; #756461
• страница: 2 из 4

Свойства функции распределения и плотности вероятности

1) Р(а  Х < b) = F(b) – F(a).

2) Для непрерывной случайной величины Р(а  Х < b)=  . Вероятность попадания случайной величины Х в интервал [a; b) равна площади криволинейной трапеции abBA (рис. 15).

3) Для непрерывной случайной величины Р(х = а) = Р(х= b) = 0, следовательно, Р(а  Х < b) = Р(а < Х < b)= Р(а  Х  b) = Р(а < Х  b).

4) .

5) неубывающая функция.

6) .

14. 
    Числовые характеристики дискретной с.в: математическое ожидание и его свойства
    

Математическое ожидание МХ – величина, около которой группируются возможные значения случайной величины Х (числовая характеристика положения).

Для дискретной случайной величины:

Для непрерывной случайной величины

Размерность величины МХ совпадает с размерностью случайной величины Х

Свойства:

1) М(С) = С (С – const).

2) М(С Х) = С  МХ.

3) М(Х + Y) = МХ + МY.

4) М(ХY) =  МХ  МY, если X и Y независимы.

15. 
    Числовые характеристики дискретной с.в.: дисперсия и ее свойства
    

ДисперсияDХ есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания: Дисперсия характеризует рассеяние (отклонение) случайной величины относительно её математического ожидания.

Для дискретной случайной величины

Размерность DХ равна квадрату размерности Х.

Поэтому числовой характеристикой рассеяния является также среднее квадратическое отклонение , имеющее размерность случайной величины.
Свойства:

5) D(С) = 0.

6) D(X)  0.

7) D(С Х ) = С ²DХ.

8) D(Х + Y) = DХ + DY, если X и Y независимы.

9) DХ = М(Х²) – (МХ)².

16. 
    Законы распределения дискретной с.в.: биномиальный, Пуассона, геометрическое распределение. Числовые характеристики для этих законов.
    

Биномиальное распределение имеет дискретная случайная величина Х, если она принимает целые значения от 0 до n, вероятности которых вычисляются по формуле Бернулли

Р(Х = m) = .
Математическое ожидание и дисперия: МХ= np, DХ = npq.
Распределение Пуассона с параметром  > 0 имеет дискретная случайная величина Х, если она принимает целые неотрицательные значения, вероятности которых вычисляются по формуле

Р(Х = m) = .
Математическое ожидание и дисперия: МХ= DХ = .

17. 
    Плотность распределения непрерывной с.в. и ее связь с функцией распределения.
    

Если функция F(х) дифференцируема, то ее производная f(х) = F’(х) называется плотностью распределения вероятностей. Плотность вероятности полностью характеризует непрерывную случайную величину.

7)f(х)  0.

8)f(х) = F(х) и F(х) = .

9)   = 1. Площадь S, заключенная между графиком плотности распределенияf(х) и осью 0х, равна единице (рис. 15).


Рис. 18

Функция распределения вероятностей:

Плотность распределения вероятностей:

18. 
    Числовые характеристики непрерывной с.в.: мат. ожидание, дисперсия.
    

Математическое ожидание МХ – величина, около которой группируются возможные значения случайной величины Х (числовая характеристика положения). Дисперсия DХ есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания: Дисперсия характеризует рассеяние (отклонение) случайной величины относительно её математического ожидания.

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам

19. 
    Законы распределения непрерывной с.в.: равномерный и показательный
    

Равномерное распределение имеет непрерывная случайная величина Х, если ее плотность распределения вычисляется по формуле (рис. 19)

Функция распределения (рис. 20)

Рис. 19 Рис.20

Математическое ожидание и дисперия: МХ =  , DХ =

Вероятность попадания случайной величины X, распределенной по равномерному закону, в интервал (х₁; х₂) вычисляется по формуле

Р(х₁ < Х < х₂) = ;

а  х₁ < x₂  b.
Показательное распределение с параметром  > 0 имеет непрерывная случайная величина Х, если ее плотность распределения вычисляется по формуле (рис. 21)

f(х) =

Рис. 21 Рис. 22

Функция распределения (рис. 22):

Вероятность попадания случайной величины X, распределенной по показательному закону, в интервал (х₁; х₂) вычисляется по формуле

Р(х₁ < Х < х₂) = .

Математическое ожидание и дисперия: МХ = , DХ = .

20. 
    Законы распределения непрерывной с.в.: нормальный закон
    

Нормальное распределение (N(а; ), закон Гаусса) с параметрами а и  имеет непрерывная случайная величина Х, если ее плотность распределения вычисляется по формуле

f(х) = .
Функция распределения: F(х) = .
Математическое ожидание и дисперсия: МХ = а, DХ = ^2..

На рисунках 23 и 24 изображены графики функций f(х) и F(х).


Рис. 23 Рис. 24
Функция Лапласа Ф₀(t) (см. приложение В) позволяет записать функцию нормального распределения в виде .

Вероятность попадания случайной величины X, распределенной по нормальному законуN(а; ), в интервал (х₁; х₂] вычисляется по формуле
Р(х₁ < Х  х₂) = .
Для нормально распределенной случайной величины верна формула

.

21. 
    Вероятностный смысл параметров нормально распределенной с.в
    

Математическое ожидание и дисперсия: МХ = а, DХ = ^2..

(См. также пункт 20)

22. 
    Правило трех сигм.
    

Правило «трех сигм». Для нормально распределенной случайной величины Х практически достоверно, что все ее значения попадают в интервал (а – 3; а + 3).

Для распределений близких к нормальному используются также числовые характеристики: асимметрия и эксцесс . Они сравнивают «скошенность» (рис. 25) и «островершинность» (рис. 26) графиков плотности изучаемого и нормального распределений. Для нормального закона распределения, график плотности которого изображен на рисунках сплошной линией, асимметрия и эксцесс равны нулю.


Рис. 25 Рис. 26

23. 
    Неравенство Чебышёва
    

24. 
    Сходимость по вероятности. Теорема Чебышёва.
    

25. 
    Закон больших чисел для схемы Бернулли.
    

Закон больших чисел устанавливает устойчивость средних значений; при большом числе испытаний их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с достаточной точностью.

26. 
    Центральная предельная теорема
    

27. 
    Генеральная совокупность и выборка
    

Генеральной совокупностью Х называется множество изучаемых объектов, а также результаты наблюдений, характеризующие какое-нибудь свойство объекта. Выборкой называется случайно отобранный набор объектов множества Х или результаты наблюдений. Генеральную совокупность можно считать случайной величиной Х, а выборку – последовательностью случайных величин Х₁, Х₂,  … Х_n, каждая из которых имеет такое же распределение, как и генеральная совокупность. Число отобранных объектов n (или проведенных опытов) называется объемом выборки.

28. 
    Вариационный и статистический ряд. Полигон частот.
    

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем наблюдалось раз, – раз и т.д. При этом – объем выборки. Наблюдаемые значения называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом. Числа наблюдений называются частотами, а их отношение к объему выборки – относительными частотами.

Статистическим распределением выборки (статистическим рядом) называется перечень вариант и соответствующих им частот, который обычно оформляется в виде таблиц 1 или 2.
Таблица 1 Таблица 2

xi	x1	x2		xk		xi	x1	x2		xk
ni	n1	n2		nk		wi	n1/n	n2/n		nk/n

Сумма всех чисел второй строки таблицы 2 равна единице: . Графическое представление статистического ряда в виде ломаной линии (рис. 1) называется полигоном частот.



Рис. 1