шпоры к зачету по математике 2 курс 2 семестр. мат зачет. Зачёт Испытания и события. Пространство элементарных событий. Вероятность Р(А) есть числовая характеристика возможности появления события а в испытании.

• Название: Зачёт Испытания и события. Пространство элементарных событий. Вероятность Р(А) есть числовая характеристика возможности появления события а в испытании.
• Анкор: шпоры к зачету по математике 2 курс 2 семестр
• Дата: 26.10.2022
• Размер: 4 Mb.
• Имя файла: мат зачет.docx
• Тип: Документы; #756461
• страница: 1 из 4

зачёт

1. 
   Испытания и события. Пространство элементарных событий.
   

Вероятность Р(А) есть числовая характеристика возможности появления события А в испытании.

Испытание – осуществление определенных действий в условиях, которые можно повторить.

Событие – результат испытания.

Пространство элементарных событий Ω – это множество, содержащее все возможные результаты опыта, которые взаимно исключают друг друга. Элементами этого множества являются элементарные события, каждое из которых – и только одно – происходит в результате опыта.

Событие , которое не может произойти в конкретном испытании, называется невозможном, событие , которое всегда происходит, – достоверным. Случайным считается событие А, которое может в испытании как произойти, так и не произойти. События, которые вместе в одном опыте осуществиться не могут, являются несовместными. Событие , состоящее в том, что А не произошло, называется противоположным событию А.

2. 
   Операции над событиями
   

• 
  А  В – событие А включено в событие В (выбор точки внутри квадрата), если событие В всегда происходит, когда происходит А
  
• 
  События А и В эквивалентны (А = В), если А  В и В  А
  
• 
  Суммасобытий А + В (объединение А  В) – происходит хотя бы одно из этих событий
  
• 
  Произведение событий А*В (пересечение А  В) – происходят оба события (и А и В).
  
• 
  Разность событий А\В – происходит А и не происходит В.
  

Справедливы следующие соотношения:

;

;



;

, если события А и В несовместны, и наоборот.

3. 
   Частота событий, свойства частоты.
   

Относительной частотой (или кратко «частотой») w_n события А в серии испытаний называется отношение

,

где n_А – число испытаний, в которых зафиксировано событие А;

n – общее число испытаний.

Свойства частоты:

1) w_n() = 1; событие , которое всегда происходит, – достоверным

2) w_n() = 0; (Событие , которое не может произойти в конкретном испытании, называется невозможном)

3) ;

4) w_n(АВ) = , если события А и В несовместны; (События, которые вместе в одном опыте осуществиться не могут, являются несовместными).

5) , если события А и В несовместны;

6) ;

7) , если А  В.

Статистическое определение вероятности основано на свойстве устойчивости частоты. Относительная частотаw_n(А), полученная в достаточно длинной серии испытаний, может служить оценкой вероятности события А: Р(А) w_n(А).

4. 
   Классическое определение вероятности.
   

Классическое определение вероятности устанавливает вероятность события в классическом опыте, т.е. в испытании с конечным числом равновозможных исходов, образующих полную группу событий.

,

где n – общее число равновозможных исходов (элементарных событий);

m – число исходов, при которых происходит событие А (благоприятствующих событию А).

Геометрическое определение вероятности распространяет основной принцип классического определения – равновозможность исходов событий на случай бесконечного множества элементарных событий.

,

5. 
   Условная вероятность. Теорема умножения. Независимость событий.
   

Условной вероятностью события А относительно события В называется вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В произошло

.

События А и В называются независимыми, если и

Теорема умножения вероятностей: Р(АВ) = Р(А)Р(В/А);

для независимых событий: Р(АВ) = Р(А)Р(В).

6. 
   Теорема сложения вероятностей:
   

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А  В);

для независимых событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)Р(В);

для несовместных событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Если события А₁, А₂, А_n образуют полную группу событий, т.е. они единственно возможны и попарно несовместны, то Р(А₁ + А₂ +…+ А_n) = 1.

7. 
   Формула полной вероятности.
   

Вероятность события А (доопытная, априорная) находится по формуле полной вероятности:

Р(А) = ,

если событие А может произойти только вместе с одним из n событий Н_i(гипотез), единственно возможных , попарно несовместных (Н_i  Н_j = ; ).

8. 
   Формула Байеса.
   

Если событие А произошло, то послеопытная (апостериорная) вероятность гипотезы Н_iопределяется по формуле Байеса:

Р(Н_i/А) = = .

9. 
   Схема и формула Бернулли.
   

Испытания называются независимыми, если вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний. Схема Бернулли – последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может либо произойти («успех»), либо не произойти («неудача»). Вероятность «успехов» и «неудач» в испытаниях не меняется: Р(А) = р, . Вероятность того, что в n испытаниях число _n «успехов» равно m (0  m n), вычисляется по формуле Бернулли:
Р(_n = m) = ,

где − число сочетаний из n по m элементов.

Вероятность того, что в n испытаниях произойдет от m₁ до m₂ «успехов» (0  m₁  m₂  n):

.

Наивероятнейшее число «успехов» в испытаниях определяется двойным неравенством .

10. 
    Схема Бернулли для больших n. Приближенная формула Пуассона
    

При большом числе опытов n с малыми вероятностями р и  = np < 10 применяется приближенная формула Пуассона

11. 
    Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
    

при npq > 9 применяются приближенные формулы:

Локальная формула Лапласа:

,

где .

Интегральная формула Лапласа:
,
где .

Функции (х) и Ф₀(х) называются функцией Гаусса и функцией Лапласа. Для х  0 таблицы значений функций (х), Ф₀(х) представлены в приложениях А, В. При х > 4 можно принять (х)  0 и Ф₀(х)  0,5. Справедливы равенства: (–х) = (х) и Ф₀(–х) = –Ф₀(х).

Интегральная формула Лапласа позволяет оценить вероятность отклонения частоты события от вероятности этого события :

12. 
    Случайные величины. Дискретная (д.с.в.) и непрерывная (н.с.в.) случайные величины (примеры)
    

Случайной величиной Х называется переменная величина, принимающая в результате испытания одно из множества возможных значений.

Случайная величина х называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно. Дискретная случайная величина задается законом распределения, т. е. множеством упорядоченных пар (x_i; p_i), где х_i – возможные значения случайной величины, p_i – вероятности принятия случайной величиной значений x_i, .

Функция распределения полностью характеризует случайную величину. Функция распределения дискретной случайной величины определяется формулой , где суммируются вероятности значений x_i меньших x. График функции распределения представлен на рисунке


Непрерывная случайная величина может принимать все значения из некоторого (конечного или бесконечного) промежутка. Если функция F(х) дифференцируема, то ее производная f(х) = F(х) называется плотностью распределения вероятностей. Плотность вероятности полностью характеризует непрерывную случайную величину.
Пример. Доказать, что при любых значениях х₁, х₂ (х₁ < х₂) вероятность события {х₁  Х < х₂} равна F(х₂) – F(х₁).

А = {Х < х₁}, В = {Х < х₂}, Р(А) = F(х₁), Р(В) = F(х₂).

С = {х₁  Х < х₂}, А  С = , В = А + С, Р(В) = Р(А) + Р(С) .

Р{х₁  Х < х₂} = Р(С) = Р(В) – Р(А) = F(х₂) – F(х₁).

13. 
    Функция распределения вероятностей и ее свойства
    

Функция распределения F(х) случайной величины Х равна вероятности события {Х < x} для любого вещественного числа х:

F(х) = Р(Х < х).

Функция распределения полностью характеризует случайную величину. (см п.12)