Эконометрика. эконометрика-4,1+вар._3.11. Задача 1 7 Задача 2 18 Заключение 24 Список литературы 24 Введение
 Скачать 111.21 Kb.
|
Задача № 2Имеется следующая модель: y1 a1 b12 y2 e1 y a 2 2 b21 y1 c21 x1 e2 y3 a3 b31 y1 c32 x2 e3 Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели. Напишите, каким методом можно решить каждое уравнение. Запишите приведенную форму модели. Определите параметры первого уравнения структурной формы модели, оцените качество этого уравнения помощью критериев Фишера и Стьюдента.
Решение: Проверим каждое уравнение модели на идентификацию. Необходимое условие идентификации. Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели. Модель включает K=3 эндогенные переменные (y1, Y2, y3) и M=3 предопределенные (экзогенные) переменные (y2, x1, x2). K-1 = 2; K + M = 6 Приведенная форма модели. y1=A11y2+A12 x1+A13 x2+U1 Y2=A21y2+A22 x1+A23 x2+U2 y3=A31y2+A32 x1+A33 x2+U3 Уравнение №1. y_1=a_1+b_12*y_2+e_1 Это уравнение включает 1 эндогенную переменную (y1), т.е. k1 = 1 и 1 предопределенную переменную (y2), т.е. m1 = 1. M-m1 = 2 > k1 - 1 = 0, то уравнение сверхидентифицируемо (при выполнении достаточных условий идентификации). Уравнение №2. Y_2=a_2+b_21*y_1+c_21*x_1+e_2 Это уравнение включает 2 эндогенные переменные (y1, Y2), т.е. k2 = 2 и 1 предопределенную переменную (x1), т.е. m2 = 1. M-m2 = 2 > k2 - 1 = 1, то уравнение сверхидентифицируемо (при выполнении достаточных условий идентификации). Уравнение №3. y_3=a_3+b_31*y_1+c_32*x_2+e_3 Это уравнение включает 2 эндогенные переменные (y1, y3), т.е. k3 = 2 и 1 предопределенную переменную (x2), т.е. m3 = 1. M-m3 = 2 > k3 - 1 = 1, то уравнение сверхидентифицируемо (при выполнении достаточных условий идентификации). Матрица коэффициентов при переменных модели.
Достаточное условие идентификации. Уравнение №1. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид: Ее ранг равен 2, следовательно, detA ≠ 0. Достаточное условие идентификации для уравнения №1 выполняется. Уравнение №2. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид: Ее ранг равен 2, следовательно, detA ≠ 0. Достаточное условие идентификации для уравнения №2 выполняется. Уравнение №3. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид: Ее ранг равен 2, следовательно, detA ≠ 0. Достаточное условие идентификации для уравнения №3 выполняется. Сделаем выводы: Так как каждое уравнение системы идентифицируемо, причем уравнение №1 сверхидентифицируемо, уравнение №2 сверхидентифицируемо, уравнение №3 сверхидентифицируемо, то система сверхидентифицируема. Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения: s = (XTX)-1XTY К матрице с переменными Xj добавляем единичный столбец:
Матрица Y
Матрица XT
Умножаем матрицы, (XTX)
В матрице, (XTX) число 10, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы XT и 1-го столбца матрицы X Умножаем матрицы, (XTY)
Находим обратную матрицу (XTX)-1
Вектор оценок коэффициентов регрессии равен Y(X) = (XTX)-1XTY =
Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии) Y = -0.2453-0.1172X1 + 0.04303X2 + 0.046X3 + 0.00127X4 Интерпретация коэффициентов регрессии. Константа оценивает агрегированное влияние прочих (кроме учтенных в модели хi) факторов на результат Y и означает, что Y при отсутствии xi составила бы -0.2453. Коэффициент b1 указывает, что с увеличением x1 на 1, Y снижается на 0.1172. Коэффициент b2 указывает, что с увеличением x2 на 1, Y увеличивается на 0.04303. Коэффициент b3 указывает, что с увеличением x3 на 1, Y увеличивается на 0.046. Коэффициент b4 указывает, что с увеличением x4 на 1, Y увеличивается на 0.00127. 3. Анализ параметров уравнения регрессии. Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии: проверке значимости уравнения и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных ошибок аппроксимации Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления: Несмещенная ошибка ε = Y - Y(x) = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации)
Средняя ошибка аппроксимации Оценка дисперсии равна: se2=(Y-Y(X))T(Y-Y(X))=0.0334 Несмещенная оценка дисперсии равна: Оценка среднеквадратичного отклонения (стандартная ошибка для оценки Y): Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = S2 • (XTX)-1
Дисперсии параметров модели определяются соотношением S2i = Kii, т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали 5. Проверка гипотез относительно коэффициентов уравнения регрессии (проверка значимости параметров множественного уравнения регрессии). Число v = n - m - 1 называется числом степеней свободы. Считается, что при оценивании множественной линейной регрессии для обеспечения статистической надежности требуется, чтобы число наблюдений, по крайней мере, в 3 раза превосходило число оцениваемых параметров. 1) t-статистика Tтабл (n-m-1;α/2) = (5;0.025) = 3.163 Статистическая значимость коэффициента регрессии b0 не подтверждается. Статистическая значимость коэффициента регрессии b1 не подтверждается. Статистическая значимость коэффициента регрессии b2 подтверждается. Статистическая значимость коэффициента регрессии b3 не подтверждается. Статистическая значимость коэффициента регрессии b4 не подтверждается. Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии. Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими: (bi - tтабл*Sbi; bi + tтабл*Sbi) b0: (-0.245 - 3.163*0.241 ; -0.245 + 3.163*0.241) = (-1.006;0.516) Поскольку найденный интервал включает 0, то коэффициент b0 не значим. b1: (-0.117 - 3.163*0.0615 ; -0.117 + 3.163*0.0615) = (-0.312;0.0775) Поскольку найденный интервал включает 0, то коэффициент b1 не значим. b2: (0.043 - 3.163*0.00207 ; 0.043 + 3.163*0.00207) = (0.0365;0.0496) b3: (0.046 - 3.163*0.0346 ; 0.046 + 3.163*0.0346) = (-0.0635;0.156) Поскольку найденный интервал включает 0, то коэффициент b3 не значим. b4: (0.00127 - 3.163*0.0103 ; 0.00127 + 3.163*0.0103) = (-0.0312;0.0337) Поскольку найденный интервал включает 0, то коэффициент b4 не значим. 6. Проверка общего качества уравнения множественной регрессии. F-статистика. Критерий Фишера. = Проверим гипотезу об общей значимости - гипотезу об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных: H0: R2 = 0; β1 = β2 = ... = βm = 0. H1: R2 ≠ 0. Проверка этой гипотезы осуществляется с помощью F-статистики распределения Фишера (правосторонняя проверка). Если F < Fkp = Fα ; n-m-1, то нет оснований для отклонения гипотезы H0. Табличное значение при степенях свободы k1 = 4 и k2 = n-m-1 = 10 - 4 - 1 = 5, Fkp(4;5) = 5.19 Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно (т.е. коэффициенты bi совместно значимы). Выводы. В результате расчетов было получено уравнение множественной регрессии: Y = -0.2453-0.1172X1 + 0.04303X2 + 0.046X3 + 0.00127X4. Возможна экономическая интерпретация параметров модели: увеличение X1 на 1 ед.изм. приводит к уменьшению Y в среднем на 0.117 ед.изм.; увеличение X2 на 1 ед.изм. приводит к увеличению Y в среднем на 0.043 ед.изм.; увеличение X3 на 1 ед.изм. приводит к увеличению Y в среднем на 0.046 ед.изм.; увеличение X4 на 1 ед.изм. приводит к увеличению Y в среднем на 0.00127 ед.изм. Статистическая значимость уравнения проверена с помощью коэффициента детерминации и критерия Фишера. Установлено, что в исследуемой ситуации 99.91% общей вариабельности Y объясняется изменением факторов Xj. Установлено также, что один или несколько параметров модели статистически не значимы. ЗаключениеВ итоге, в соответствии с поставленными задачами и проведённым исследованием, автор пришел к следующим выводам: 1. Значение коэффициента корреляции может варьироваться от -1 до 1. При значении коэффициента корреляции от 0,3 до 0,5 связь между переменными слабая, при значении от 0,5 до 0,7 связь умеренная, при значении свыше 0,7 связь тесная. При значении, равном нулю, связь отсутствует. Положительное значение коэффициента свидетельствует о наличии прямой связи, а отрицательное – обратной связи. 2. Значимость параметров парной регрессии и корреляции определяют с помощью t-критерия Стьюдента или F-критерия Фишера. При этом расчетное значение t-критерия или F-критерия сравнивают с табличным. Превышение расчетного значения над табличным свидетельствует о значимости модели. 3. Основными причинами возникновения отклонений фактических данных от прогнозных являются: — выбранная кривая для прогнозирования не является единственно возможной для описания тенденции; — прогноз осуществляется на основании ограниченного числа исходных данных; — тенденция характеризует изменение среднего уровня ряда динамики, поэтому отдельные наблюдения могут от него отклоняться. Таким образом, в соответствии с целью работы, автор пришёл к выводу о том, что коэффициент парной корреляции представляет собой статистический показатель, характеризующий степень тесноты связи между двумя переменными. Коэффициент детерминации показывает долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака. Индекс корреляции характеризует тесноту выбранного при построении модели типа связи между учтёнными в модели факторами и исследуемой переменной. Список литературыАнтохонова, И. В. Методы прогнозирования социально-экономических процессов : учеб. пособие для вузов / И. В. Антохонова. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2018. — 213 с. Бабайцев, В. А. Математические методы финансового анализа : учеб. пособие для вузов / В. А. Бабайцев, В. Б. Гисин. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2019. — 215 с. Гармаш, А. Н. Экономико-математические методы и прикладные модели : учебник для бакалавриата и магистратуры / А. Н. Гармаш, И. В. Орлова, В. В. Федосеев ; под ред. В. В. Федосеева. — 4-е изд., перераб. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2017. — 328 с Ковалев, Е. А. Теория вероятностей и математическая статистика для экономистов : учебник и практикум для бакалавриата, специалитета и магистратуры / Е. А. Ковалев, Г. А. Медведев ; под общ. ред. Г. А. Медведева. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2019. — 284 с. Красс, М. С. Математика в экономике. Базовый курс : учебник для бакалавров / М. С. Красс. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2019. — 470 с. 1 Гармаш, А. Н. Экономико-математические методы и прикладные модели : учебник для бакалавриата и магистратуры / А. Н. Гармаш, И. В. Орлова, В. В. Федосеев ; под ред. В. В. Федосеева. — 4-е изд., перераб. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2017. — 328 с |