задачи предпринимательство. Задача 1 Имеются данные об урожайности зерновых в хозяйствах в области

• Название: Задача 1 Имеются данные об урожайности зерновых в хозяйствах в области
• Анкор: задачи предпринимательство
• Дата: 14.11.2022
• Размер: 270.77 Kb.
• Имя файла: 1.docx
• Тип: Задача; #788574
• страница: 3 из 3

Частные коэффициенты корреляции.
Коэффициент частной корреляции отличается от простого коэффициента линейной парной корреляции тем, что он измеряет парную корреляцию соответствующих признаков (y и x_i) при условии, что влияние на них остальных факторов (x_j) устранено.
На основании частных коэффициентов можно сделать вывод об обоснованности включения переменных в регрессионную модель. Если значение коэффициента мало или он незначим, то это означает, что связь между данным фактором и результативной переменной либо очень слаба, либо вовсе отсутствует, поэтому фактор можно исключить из модели.
Частные коэффициенты корреляции вычисляются по формуле:

где R_ij - алгебраическое дополнение элемента r_ij матрицы R.


Теснота связи низкая.


Теснота связи низкая.
Определим значимость коэффициента корреляции r_yx2/x₁.
Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле:


Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим
Как видим, связь y и x₂ при условии, что x₁ войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x₂ остается нецелесообразным.
Определим значимость коэффициента корреляции r_yx2/y.
Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле:


Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим
Как видим, связь y и x₂ при условии, что y войдет в модель, стала сильнее.
При сравнении коэффициентов парной и частной корреляции видно, что из-за влияния межфакторной зависимости между x_i происходит завышение оценки тесноты связи между переменными.
Анализ мультиколлинеарности.
1. Анализ мультиколлинеарности на основе матрицы коэффициентов корреляции.
Если в матрице есть межфакторный коэффициент корреляции r_xjxi > 0.7, то в данной модели множественной регрессии существует мультиколлинеарность.
В нашем случае r(x₁x₂) имеют |r|>0.7, что говорит о мультиколлинеарности факторов и о необходимости исключения одного из них из дальнейшего анализа.
Анализ первой строки этой матрицы позволяет произвести отбор факторных признаков, которые могут быть включены в модель множественной корреляционной зависимости. Факторные признаки, у которых |r_yxi| < 0.5 исключают из модели. Можно дать следующую качественную интерпретацию возможных значений коэффициента корреляции (по шкале Чеддока): если |r|>0.3 – связь практически отсутствует; 0.3 ≤ |r| ≤ 0.7 - связь средняя; 0.7 ≤ |r| ≤ 0.9 – связь сильная; |r| > 0.9 – связь весьма сильная.
Проверим значимость полученных парных коэффициентов корреляции с помощью t-критерия Стьюдента. Коэффициенты, для которых значения t-статистики по модулю больше найденного критического значения, считаются значимыми.
Таким образом, связь между (y и x_x1), (y и x_x2) является существенной.
Наибольшее влияние на результативный признак оказывает фактор x₂(r = 0.967), значит, при построении модели он войдет в регрессионное уравнение первым.
Более объективную характеристику тесноты связи дают частные коэффициенты корреляции, измеряющие влияние на результат фактора x_i при неизменном уровне других факторов.
2. Ридж-регрессия.
Наиболее детальным показателем наличия проблем, связанных с мультиколлинеарностью, является коэффициент увеличения дисперсии, определяемый для каждой переменной как:

где R_j² коэффициент множественной детерминации в регрессии X_j на прочие X.
О мультиколлинеарности будет свидетельствовать VIF от 4 и выше хотя бы для одного j.

Поскольку VIF(b)₁ ≥ 4, что говорит о мультиколлинеарности факторов x₁, x₂ и о необходимости исключения одного из них из дальнейшего анализа.
Критерием плохой обсуловленности является высокая величина отношения λ_max/λ_min максимального и минимального собственных чисел матрицы X^TX — называемого показателем обусловленности. Это соотношение также позволяет судить о степени серьезности проблем мультиколлинеарности: показатель обусловленности в пределах от 10 до 100 свидетельствует об умеренной коллинеарности, свыше 1000 — об очень серьезной коллинеарности.
Тестирование и устранение мультиколлинеарности.
Коллинеарность – зависимость между факторами. В качестве критерия мультиколлинеарности может быть принято соблюдение следующих неравенств:
r(x_jy) > r(x_kx_j) ; r(x_ky) > r(x_kx_j).
Если одно из неравенств не соблюдается, то исключается тот параметр x_k или x_j, связь которого с результативным показателем Y оказывается наименее тесной.
Для отбора наиболее значимых факторов x_i учитываются следующие условия:
- связь между результативным признаком и факторным должна быть выше межфакторной связи;
- связь между факторами должна быть не более 0.7. Если в матрице есть межфакторный коэффициент корреляции r_xjxi > 0.7, то в данной модели множественной регрессии существует мультиколлинеарность.;
- при высокой межфакторной связи признака отбираются факторы с меньшим коэффициентом корреляции между ними.
Наиболее полным алгоритмом исследования мультиколлинеарности является алгоритм Фаррара-Глобера. С его помощью тестируют три вида мультиколлинеарности:
1. Всех факторов (χ² - хи-квадрат).
2. Каждого фактора с остальными (критерий Фишера).
3. Каждой пары факторов (критерий Стьюдента).

1. Проверим переменные на мультиколлинеарность методом Фаррара-Глоубера по первому виду статистических критериев (критерий "хи-квадрат").
Формула для расчета значения статистики Фаррара-Глоубера:
χ² = -[n-1-(2m+5)/6]ln(det[R]) = -[9-1-(2*2+5)/6]ln(0.000161) = 56.75
где m = 2 - количество факторов, n = 9 - количество наблюдений, det[R] - определитель матрицы парных коэффициентов корреляции R.
Сравниваем его с табличным значением при v = m/2(m-1) = 1 степенях свободы и уровне значимости α. Если χ² > χ_табл², то в векторе факторов присутствует мультиколлинеарность.
χ_табл²(1;0.05) = 3.84146

2. Проверим переменные на мультиколлинеарность по второму виду статистических критериев (критерий Фишера).
Определяем обратную матрицу D = R^-1:

D =

15,4193 1,2131 -16,1224 1,2131 401,6798 -402,3524 -16,1224 -402,3524 418,4418

Вычисляем F-критерии Фишера:

где d_kk - диагональные элементы матрицы.
Рассчитанные значения критериев сравниваются с табличными при v₁=n-m и v₂=m-1 степенях свободы и уровне значимости α. Если F_k > F_Табл, то k-я переменная мультиколлинеарна с другими.
v₁=9-2 = 8; v₂=2-1 = 2. F_Табл(8;2) = 19.4

Поскольку F₁ > F_табл, то переменная y мультиколлинеарна с другими.

Поскольку F₂ > F_табл, то переменная x₁ мультиколлинеарна с другими.

Поскольку F₃ > F_табл, то переменная x₂ мультиколлинеарна с другими.

3. Проверим переменные на мультиколлинеарность по третьему виду статистических критериев (критерий Стьюдента). Для этого найдем частные коэффициенты корреляции.
Можно сделать вывод, что при построении регрессионного уравнения следует отобрать факторы x₁, x₂.
Модель регрессии в стандартном масштабе.
Модель регрессии в стандартном масштабе предполагает, что все значения исследуемых признаков переводятся в стандарты (стандартизованные значения) по формулам:

где х_ji - значение переменной х_ji в i-ом наблюдении.

Таким образом, начало отсчета каждой стандартизованной переменной совмещается с ее средним значением, а в качестве единицы изменения принимается ее среднее квадратическое отклонение S.
Если связь между переменными в естественном масштабе линейная, то изменение начала отсчета и единицы измерения этого свойства не нарушат, так что и стандартизованные переменные будут связаны линейным соотношением:
t_y = ∑β_jt_xj
Для оценки β-коэффициентов применим МНК. При этом система нормальных уравнений будет иметь вид:
r_x1y=β₁+r_x1x2•β₂ + ... + r_x1xm•β_m
r_x2y=r_x2x1•β₁ + β₂ + ... + r_x2xm•β_m
...
r_xmy=r_xmx1•β₁ + r_xmx2•β₂ + ... + β_m
Для наших данных (берем из матрицы парных коэффициентов корреляции):
0.966 = β₁ + 0.999β₂
0.967 = 0.999β₁ + β₂
Данную систему линейных уравнений решаем методом Гаусса: β₁ = -0.0787; β₂ = 1.046;
Искомое уравнение в стандартизованном масштабе: t_y=β₁t_x1+β₂t_x2
Расчет β-коэффициентов можно выполнить и по формулам:


Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:
t_y = -0.0787x₁ + 1.046x₂
Найденные из данной системы β–коэффициенты позволяют определить значения коэффициентов в регрессии в естественном масштабе по формулам:


a = y - ∑b_j·x_j


Стандартизированные частные коэффициенты регрессии.
Стандартизированные частные коэффициенты регрессии - β-коэффициенты (β_j) показывают, на какую часть своего среднего квадратического отклонения S(у) изменится признак-результат y с изменением соответствующего фактора х_j на величину своего среднего квадратического отклонения (S_хj) при неизменном влиянии прочих факторов (входящих в уравнение).
По максимальному β_j можно судить, какой фактор сильнее влияет на результат Y.
По коэффициентам эластичности и β-коэффициентам могут быть сделаны противоположные выводы. Причины этого: а) вариация одного фактора очень велика; б) разнонаправленное воздействие факторов на результат.
Коэффициент β_j может также интерпретироваться как показатель прямого (непосредственного) влияния j-ого фактора (x_j) на результат (y). Во множественной регрессии j-ый фактор оказывает не только прямое, но и косвенное (опосредованное) влияние на результат (т.е. влияние через другие факторы модели).
Косвенное влияние измеряется величиной: ∑β_ir_xj,xi, где m - число факторов в модели. Полное влияние j-ого фактора на результат равное сумме прямого и косвенного влияний измеряет коэффициент линейной парной корреляции данного фактора и результата - r_xj,y.
Так для нашего примера непосредственное влияние фактора x₁ на результат Y в уравнении регрессии измеряется β_j и составляет -0.0787; косвенное (опосредованное) влияние данного фактора на результат определяется как:
r_x1x2β₂ = 0.999 * 1.046 = 1.0443
Выводы.
В результате расчетов было получено уравнение множественной регрессии: Y = -3.5036-0.01219X₁ + 0.1147X₂. Возможна экономическая интерпретация параметров модели: увеличение X₁ на 1 ед.изм. приводит к уменьшению Y в среднем на 0.0122 ед.изм.; увеличение X₂ на 1 ед.изм. приводит к увеличению Y в среднем на 0.115 ед.изм. По максимальному коэффициенту β₂=1.046 делаем вывод, что наибольшее влияние на результат Y оказывает фактор X₂.