метрология. Метрология 6 вар (1). Задача 1 Оценка случайных погрешностей и обработка результатов многократных равноточных измерений 2

• Название: Задача 1 Оценка случайных погрешностей и обработка результатов многократных равноточных измерений 2
• Анкор: метрология
• Дата: 23.03.2022
• Размер: 0.55 Mb.
• Имя файла: Метрология 6 вар (1).docx
• Тип: Задача; #411774

Содержание

Задача 1 Оценка случайных погрешностей и обработка результатов многократных равноточных измерений 2

Задача 2 Вероятностные оценки погрешности результата измерений на основании ряда наблюдений 10

Задача 3 Измерение тока и напряжения в электрических цепях 13

Задача 4 Методы и погрешности электрических измерений 15

Список использованных источников 19

Задача 1 Оценка случайных погрешностей и обработка результатов многократных равноточных измерений

С помощью моста постоянного тока произведено 20 равноточных измерений сопротивления R_i резистора (табл. 1.1).

Таблица 1.1 – Числовые значения для задачи 1

Измеренные значения сопротивлений, Ом	6
Последняя цифра шифра
R1	492
R2	505
R3	496
R4	498
R5	500
R6	566
R7	500
R8	502
R9	503
R10	504
R11	495
R12	500
R13	497
R14	498
R15	502
R16	503
R17	499
R18	499
R19	500
R20	501
Предпоследняя цифра шифра 3
Доверительная вероятность	0,95
tn	2,26

Полагая, что в приведенном ряду отсутствуют систематические погрешности, а случайные погрешности распределены по нормальному закону, требуется определить:

1. Среднее арифметическое значение R_ср (математическое ожидание, результат измерения).

2. Среднеквадратическое отклонение σ результата отдельного измерения в данном ряду.

3. При наличии грубой погрешности (промаха) исключить результат измерения с грубой погрешностью, пользуясь правилом «3σ», и повторить расчёты по п. 1 и 2 для нового значения числа измерений n₁ = n – m , где n = 20 – количество измерений, m – количество промахов.

4. Среднеквадратическое отклонение S среднего арифметического.

5. Доверительный интервал ΔR (ΔR = t_n·S) при заданной доверительной вероятности P (табл. 1.1). Коэффициент Стьюдента t_n взять из табл. 1.1 по заданной доверительной вероятности P и количеству n измерений. Доверительный интервал ΔR округлить до двух значащих цифр.

6. Записать результат измерения в виде

R = R_cp ± ΔR при P = 0,95 (значение P – из табл. 1.1).

7. Построить гистограмму распределения случайных погрешностей, взяв ширину интервалов Δ₁ = 0,5σ, где σ – среднеквадратическое отклонение, определённое в п. 2.

8. Составить алгоритм (схему) обработки результатов измерения.

Решение

1. Заполним следующую таблицу.

Таблица 1.2 – К определению среднего арифметического и среднеквадратического отклонения (n = 20)

№ измерения	Ri, Ом	Δi = Ri – Rср, Ом	Ом2
1	492	-11	121
2	505	2	4
3	496	-7	49
4	498	-5	25
5	500	-3	9
6	566	63	3969
7	500	-3	9
8	502	-1	1
9	503	0	0
10	504	1	1
11	495	-8	64
12	500	-3	9
13	497	-6	36
14	498	-5	25
15	502	-1	1
16	503	0	0
17	499	-4	16
18	499	-4	16
19	500	-3	9
20	501	-2	4
Сумма	10060	–	4368

Среднее арифметическое значение R_ср



Среднеквадратическое отклонение σ результата отдельного измерения в данном ряду



2. Исключим результат 6-го измерения с грубой погрешностью (промахом), пользуясь правилом «3σ»:

3. Повторим расчёты по п. 1 (табл. 1.3) для нового значения числа измерений n₁ = n – m = 20 – 1 =19.

Таблица 1.3 – К определению среднего арифметического и среднеквадратического отклонения (n = 19)

№ измерения	Ri, Ом	Δi = Ri – Rср, Ом	Ом2
1	492	-7.684	59.05
2	505	5.316	28.26
3	496	-3.684	13.57
4	498	-1.684	2.84
5	500	0.316	0.10
6	500	0.316	0.10
7	502	2.316	5.36
8	503	3.316	10.99
9	504	4.316	18.63
10	495	-4.684	21.94
11	500	0.316	0.10
12	497	-2.684	7.20
13	498	-1.684	2.84
14	502	2.316	5.36
15	503	3.316	10.99
16	499	-0.684	0.47
17	499	-0.684	0.47
18	500	0.316	0.10
19	501	1.316	1.73
Сумма	9494	–	190.1

Среднее арифметическое значение R_ср



Среднеквадратическое отклонение σ результата отдельного измерения в данном ряду



4. Пользуясь правилом «3σ»:



заключаем, что исправленные наблюдения не имеют грубых погрешностей (промахов).

5. Среднеквадратическое отклонение среднего арифметического



6. Доверительный интервал при заданной доверительной вероятности



где коэффициент Стьюдента t_n = 2,26 взят из табл. 1.1 по заданной доверительной вероятности P = 0.95 и количеству n измерений. Доверительный интервал округлили до двух значащих цифр.

7. Результат измерения

R = 499.7 Ом ± 1.7 Ом, при P = 0.95.

8. Построим гистограмму распределения случайных погрешностей, взяв ширину интервалов Δ₁ = 0,5σ, где σ – среднеквадратическое отклонение, определённое в п. 3.

Таблица 1.4 – Распределение случайной погрешности на интервалах

Интервал случайной погрешности Δ	Средина интервала Δk, Ом		p(x)
			0
		–3	0.0014
		–2,5	0.0054
		–2	0.0166
		–1,5	0.0399
		–1	0.0745
		–0,5	0.1083

Продолжение таблицы 4

	0	0	0.1228
		0,5	0.1083
		1	0.0745
		1,5	0.0399
		2	0.0166
		2,5	0.0054
		3	0.0014
			0

Рисунок 1 - Гистограмма и график распределения случайной погрешности

9. Составим схему алгоритма обработки результатов измерения (рис. 1.2).



Рисунок 2 - Схема алгоритма обработки результатов измерения

Задача 2 Вероятностные оценки погрешности результата измерений на основании ряда наблюдений

Проведено пять независимых наблюдений одного и того же напряжения U. Найдите результат измерения и доверительную вероятность того, что абсолютная погрешность измерения не превышает по модулю ΔU. Систематической погрешностью можно пренебречь.

Исходные данные приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1 – Числовые значения для задачи 2

Наименование величины	Единица измерения	6
Последняя цифра шифра
U1	мВ	1944
U2	мВ	1961
U3	мВ	1951
U4	мВ	1955
U5	мВ	1967
Предпоследняя цифра шифра 3
ΔU	мВ	25

Полагая, что в приведенном ряду систематической погрешностью можно пренебречь, а случайные погрешности распределены по нормальному закону, в данной задаче требуется определить:

1. Среднее арифметическое значение U_ср (математическое ожидание, результат измерения).

2. Среднеквадратическое отклонение σ результата отдельного измерения в данном ряду.

3. При наличии грубой погрешности (промаха) исключите результат измерения с грубой погрешностью, пользуясь правилом «3σ», и повторить расчёты по п. 1 и 2 для нового значения числа измерений n₁ = n – m , где n = 5 – количество измерений, m – количество промахов.

4. Среднеквадратическое отклонение S среднего арифметического.

5. Доверительный интервал ΔU (ΔU = t_n·S) при заданной доверительной вероятности P (табл. 1.1). Коэффициент Стьюдента t_n взять из табл. 1.1 по заданной доверительной вероятности P и количеству n измерений. Доверительный интервал ΔU округлить до двух значащих цифр.

6. Записать результат измерения в виде

U = U_cp ± ΔU при P = 0,95 (значение P – из табл. 1.1).

7. Определить, не превышает ли абсолютная погрешность по модулю ΔU.

Решение:

Заполним следующую таблицу.

Таблица 2.2 – К определению среднего арифметического и среднеквадратического отклонения (n = 20)

№ наблюдения	Ui, мВ	Δi = Ui – Uср, мВ	мВ2
1	1944	-11.6	134.56
2	1961	5.4	29.16
3	1951	-4.6	21.16
4	1955	-0.6	0.36
5	1967	11.4	129.96
Сумма	9778	–	315.2

1. Среднее арифметическое значение



2. Среднеквадратическое отклонение σ результата отдельного измерения в данном ряду



3. Пользуясь правилом «3σ»:



заключаем, что наблюдения не имеют грубых погрешностей (промахов).

4. Среднеквадратическое отклонение среднего арифметического



5. Доверительный интервал при заданной доверительной вероятности



где коэффициент Стьюдента t_n = 2,26 взят из табл. 1.1 по заданной доверительной вероятности P = 0.95. Доверительный интервал округлили до двух значащих цифр.

6. Результат измерения

U = 1955.6 мВ ± 9.0 мВ, при P = 0.95.

7. Вероятность того, что абсолютная величина отклонения ΔU не превышает заданное значение ΔU_зад = 25 мВ



где Ф(x) – табличная функция Лапласа.

Абсолютная погрешность ΔU не превышает заданное значение ΔU_зад = 25 мВ с вероятностью P = 0,995, т.е. достоверное событие.

Задача 3 Измерение тока и напряжения в электрических цепях

У вольтметра и амперметра с пределами измерений U_m = 300В и I_m = 5А, включенных соответственно через измерительные трансформаторы напряжения (тн) K_U = 6000/100 и тока (тт) K_I = 600/5, отсчет по шкале составил U₂ = 80 В и I₂ = 3,5 А. Определите напряжение и ток в сети, а также предел допускаемой абсолютной и относительной погрешностей измерений, если известны классы точности приборов N_в = 0,5 и N_а = 1,0 и измерительных трансформаторов N_тн = 0,2 и N_тт = 0,5.

Приведите схему измерения.

Решение:

Схема измерения напряжения и тока через измерительные трансформаторы напряжения и тока представлена на рис. 3.1.



Рисунок 3.1 - Включение измерительных приборов в однофазную цепь через измерительные трансформаторы

1 Напряжение и ток в сети:

(3.1)

где K_U и K_I – коэффициенты трансформации напряжения и тока.

2 Если класс точности прибора выражается одним числом N, то предельная погрешность

, (3.2)

где – абсолютная погрешность, – предел шкалы измерительного прибора.

Для оценки абсолютной погрешности однократного измерения полагаем

. (3.3)

Относительная погрешность однократного измерения

, (3.4)

где – измеренное значение электрической величины.

3 При определении напряжения и тока по формулам (3.1) абсолютная погрешность дается выражением

.

Откуда с учетом (3.3) абсолютная погрешность измерения напряжения и тока



3. Относительная погрешность измерения напряжения и тока



или

Задача 4 Методы и погрешности электрических измерений

Для измерения сопротивления косвенным методом использовались два прибора: амперметр и вольтметр магнитоэлектрической системы.

Измерение сопротивления производилось при температуре t°С приборами группы А, Б или В.

Определить:

1) величину сопротивления по показаниям приборов и начертить схему;

2) сделать вывод о целесообразности той или иной схемы;

3) величину сопротивления с учетом схемы включения приборов;

4) наибольшие возможные (относительную и абсолютную ΔR) погрешности результата измерения этого сопротивления;

5) в каких пределах находятся действительные значения измеряемого сопротивления.

Дано:

1. 
   данные вольтметра В; А; %, В;
   
2. 
   данные амперметра А; В; %, А;
   
3. 
   Приборы группы А; °C.
   

1. Определим величину сопротивления по показаниям приборов и начертим схему включения приборов (рис. 4.1, 4.2). Приближенное значение сопротивления согласно закону Ома определится как

Ом.

При измерении сопротивления методом двух приборов – амперметра и вольтметра, применяются две схемы (рис. 4.1).



Рисунок 4.1

Относительная методическая погрешность измерения сопротивления

а) ; б) .

Первая схема измерения сопротивления (ключ К в положении «а», рис. 4.2) используется тогда, когда измеряемое сопротивление велико по сравнению с сопротивлением амперметра

или .



Рисунок 4.2

Вторая схема (ключ К в положении «б», рис. 4.3) используется в тех случаях, когда измеряемое сопротивление мало по сравнению с сопротивлением вольтметра

или .



Рисунок 4.3

2. Величина сопротивления с учетом схемы включения приборов.

Находим

Ом;

Ом.

Так как



то выбираем схему «а» рис. 4.2.

;

Ом.

3. Наибольшие (относительная и абсолютная ΔR) погрешности результата измерения сопротивления.

Общая погрешность измерения равна алгебраической сумме основной погрешности (класс точности прибора) и дополнительной погрешности прибора

,

где изменение показаний прибора , вызванное отклонением температуры окружающего воздуха от нормальной 20° до любой t в пределах рабочих температур, не должно превышать значений, указанных в таблице 2.10, на каждые ±10°С изменения температуры

.

1) для вольтметра

%;

%

2) для амперметра

%;

.

Относительная погрешность результата измерения сопротивления при косвенном методе измерения

%.

Абсолютная погрешность результата измерения сопротивления

Ом.

4. Действительные значения измеряемого сопротивления находятся в пределах:



Ом.

Список использованных источников

1. 
   Байда, Л.И. Электрические измерения: учебник для вузов / Л.И. Байда, Н.С. Добротворский, Е.М. Душин. – Л.: Энергия, 1980.
   
2. 
   Красных, А.А. Метрология, стандартизация и сертификация: учебн. пособие / А.А. Красных, С.Н. Епифанов. – Киров: Изд-во ВятГТУ, 2001.
   
3. 
   Справочник по электроизмерительным приборам / под ред. К.К. Илюнина. – М.: Энергия, 1993.
   
4. 
   Шуйский, А.С. Измерения в электротехнических устройствах железнодорожного транспорта: учебник для техникумов ж.-д. трансп. / А.С. Шуйский, В.М. Мельничук, С.А. Кучер – М.: Транспорт, 1989.
   
5. 
   Электрические измерения / под ред. А.В. Фремке. – М.: Энергия, 1997.
   
6. 
   Литвинцев, В. Г. Метрология, стандартизация и сертификация: метод, указания и задания к контрольной и расчетно-графическим работам / В.Г. Литвинцев. – Чита: ЗабИЖТ, 2013. – 29 с.