|
Теория вероятностей. Задача 1 Пусть а в. Упростить выражения а в, АВ, а в с, АВС
,
.
Случайная величина может принимать только одно значение: два с вероятностью, равной единице .
2
1
Задача 7. Дана функция ![](8060_html_18c958ad.gif)
При каком значении функция является плотностью распределения случайной величины Найти функцию распределения случайной величины .
Решение. Из основного свойства плотности следует
![](8060_html_m4ba3a6ef.gif)
.
Для .
Для .
Для ![](8060_html_m1a26bb44.gif)
. Для ![](8060_html_1849020d.gif)
.
Таким образом, ![](8060_html_c041379.gif)
![](8060_html_451cad1a.gif)
Задача 8. Время Tмежду двумя сбоями ЭВМ распределено по показательному закону с параметром : при . Решение определенной задачи требует безотказной работы машины в течение времени . Если за время произошел сбой, то задачу приходится решать заново. Сбой обнаруживается только через время после начала решения задачи. Рассматривается случайная величина - время, за которое задача будет решена. Найти ее закон распределения и математическое ожидание (среднее время решения задачи).
Решение. Случайная величина может принимать следующие значения: ( за время не произошло сбоя), 2 (на первом промежутке сбой произошел, на втором промежутке сбоя не было), 3 (на первых двух промежутках длины сбои происходили, на третьем сбоя не было) и т. д.
.
Обозначим тогда - вероятность того, что за время сбой произошел; , и т. д.
![](8060_html_3fe21826.gif) ![](8060_html_3fe21826.gif) ![](8060_html_3fe21826.gif) Ряд распределения случайной величины ![](8060_html_m16b0b4a9.gif)
![](8060_html_53b87c2b.gif) Х 2 ... ![](8060_html_m53e192f.gif) ...
... ...
(вычисление суммы ряда смотри методические указания к проведению практических занятий по теории вероятностей, часть 2, стр. 15).
Задача 9. Известно, что детали, выпускаемые по размерам диаметра, распре-деляются по нормальному закону. Параметры этого закона , . Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали имеет размеры в пределах от 4 до 7 см.
Решение. где - математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение. Таким образом, ![](8060_html_m477e0664.gif)
Х/Y 20 40 60
10 0
20 ![](8060_html_m76d52bb7.gif)
30 ![](8060_html_m51396c84.gif) Задача 10. Закон распределения системы дискретных случайных величин ![](8060_html_75aafbde.gif)
задан таблицей:
![](8060_html_m7c675076.gif)
Найти: а) ; б) частные законы распределения случайных величин ;
в) , ; г) коэффициент корреляции ; д) вероятность попаданий
двумерной случайной величины в область ; .
Решение: так как ![](8060_html_m5f5f6671.gif)
то .
Закон распределения случайной величины X
![](8060_html_m461c47a9.gif) Х 10 20 30
Р , т. к. . Закон распределения случайной величины Y
Y 20 40 60
P .
Отсюда:
![](8060_html_67ae1731.gif)
![](8060_html_46f91c54.gif)
Задача 11. Плотность совместного распределения системы двух случайных величин задана выражением .
Найти: а) коэффициент А; б) плотности распределения случайных величин , входящих в систему; в) определить зависимы или независимы случайные величины.
Решение. Из основного свойства плотности
![](8060_html_m3a7edd6c.gif)
Т.к. ![](8060_html_m33e4ee7e.gif)
случайные величины - независимы.
|
|
|