Главная страница

Контрольная. Задача 37 b j a i запасы b 1 100


Скачать 59.61 Kb.
НазваниеЗадача 37 b j a i запасы b 1 100
Дата14.12.2021
Размер59.61 Kb.
Формат файлаdocx
Имя файлаКонтрольная.docx
ТипЗадача
#302802
страница1 из 2
  1   2

Содержание


Задание 1 3

Задание 2 12

Список литературы 19


Задание 1


Исходные данные к транспортной задаче

Задача № 37

Bj

Ai запасы

B1=100

B2=60

B3 =40

A1 =70




15




6




10










A2 =80




12




7




5










A3=50




8




4




12











Решение

Математическая модель транспортной задачи:

, (1)

при условиях:

∑xij = ai, i = 1,2,…, m, (2)

∑xij = bj, j = 1,2,…, n, (3)

xij ≥ 0

Запишем экономико-математическую модель для нашей задачи.

Переменные:

x11 – количество груза из 1-го склада к 1-у потребителю.

x12 – количество груза из 1-го склада к 2-у потребителю.

x13 – количество груза из 1-го склада к 3-у потребителю.

x21 – количество груза из 2-го склада к 1-у потребителю.

x22 – количество груза из 2-го склада к 2-у потребителю.

x23 – количество груза из 2-го склада к 3-у потребителю.

x31 – количество груза из 3-го склада к 1-у потребителю.

x32 – количество груза из 3-го склада к 2-у потребителю.

x33 – количество груза из 3-го склада к 3-у потребителю.

Ограничения по запасам:

x11 + x12 + x13 ≤ 70 (для 1 базы)

x21 + x22 + x23 ≤ 80 (для 2 базы)

x31 + x32 + x33 ≤ 50 (для 3 базы)

Ограничения по потребностям:

x11 + x21 + x31 = 100 (для 1-го потребителя.)

x12 + x22 + x32 = 60 (для 2-го потребителя.)

x13 + x23 + x33 = 40 (для 3-го потребителя.)

Целевая функция:



С целью составления двойственной задачи переменные xij в условии (2) заменим на u1, u2, ui,.., um, а переменные xij в условия (3) на v1, v2, vj,.., vn.

Поскольку каждая переменная xij входит в условия (2,3) и целевую функцию (1) по одному разу, то двойственную задачу по отношению к прямой транспортной задаче можно сформулировать следующим образом.

Требуется найти не отрицательные числа ui (при i = 1,2,…,m) и vj (при j = 1,2,..,n), обращающие в максимум целевую функцию:

G = ∑aiui + ∑bjvj

при условии:

u+ vj ≤ cij, i = 1,2,..,m; j = 1,2,..,n (4)

В систему условий (4) будет mxn неравенств. По теории двойственности для оптимальных планов прямой и двойственной задачи для всех i,j должно быть:

ui + vj ≤ cij, если xij = 0,

ui + vj = cij, если xij ≥ 0,

Эти условия являются необходимыми и достаточными признаками оптимальности плана транспортной задачи.

Числа ui , vj называются потенциалами. Причем число ui называется потенциалом поставщика, а число vj – потенциалом потребителя.

По первой теореме двойственности в оптимальном решении значения целевых функций прямой и двойственных задач совпадают: F = G.
Математическая модель двойственной задачи:

U – переменные для складов, поставщиков;

V - переменные для магазинов, потребителей.

U1 + V1≤15

U1 + V2≤6

U1 + V3≤10

U2 + V1≤12

U2 + V2≤7

U2 + V3≤5

U3 + V1≤8

U3 + V2≤4

U3 + V3≤12

G(y)=100U1 + 60U2 + 40U3 + 70V1 + 80V2 + 50V3 → max

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

 

B1

B2

B3

Запасы

A1

15

6

10

70

A2

12

7

5

80

A3

8

4

12

50

Потребности

100

60

40

 


Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.
∑a = 70 + 80 + 50 = 200

∑b = 100 + 60 + 40 = 200

Условие баланса соблюдается.

Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.





B1

B2

B3

Запасы

A1

15

6

10

70

A2

12

7

5

80

A3

8

4

12

50

Потребности

100

60

40





Этап I. Поиск первого опорного плана.

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj.

Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.

Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.
Искомый элемент равен c32=4. Для этого элемента запасы равны 50, потребности 60. Поскольку минимальным является 50, то вычитаем его.
x32 = min(50,60) = 50.


15

6

10

70

12

7

5

80

x

4

x

50 - 50 = 0

100

60 - 50 = 10

40




Искомый элемент равен c23=5.

Для этого элемента запасы равны 80, потребности 40.

Поскольку минимальным является 40, то вычитаем его.
x23 = min(80,40) = 40.

15

6

x

70

12

7

5

80 - 40 = 40

x

4

x

0

100

10

40 - 40 = 0





Искомый элемент равен c12=6.

Для этого элемента запасы равны 70, потребности 10.

Поскольку минимальным является 10, то вычитаем его.
x12 = min(70,10) = 10.

15

6

x

70 - 10 = 60

12

x

5

40

x

4

x

0

100

10 - 10 = 0

0




Искомый элемент равен c21=12. Для этого элемента запасы равны 40, потребности 100. Поскольку минимальным является 40, то вычитаем его.
x21 = min(40,100) = 40.

15

6

x

60

12

x

5

40 - 40 = 0

x

4

x

0

100 - 40 = 60

0

0




Искомый элемент равен c11=15. Для этого элемента запасы равны 60, потребности 60. Поскольку минимальным является 60, то вычитаем его.
x11 = min(60,60) = 60.

15

6

x

60 - 60 = 0

12

x

5

0

x

4

x

0

60 - 60 = 0

0

0









B1

B2

B3

Запасы

A1

15[60]

6[10]

10

70

A2

12[40]

7

5[40]

80

A3

8

4[50]

12

50

Потребности

100

60

40





В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность потребителей удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 5, а должно быть

m + n - 1 = 5.

Следовательно, опорный план является невырожденным.
Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 15*60 + 6*10 + 12*40 + 5*40 + 4*50 = 1840

Этап II. Улучшение опорного плана.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых

ui + vj = cij,

полагая, что

u1 = 0.

u1 + v1 = 15; 0 + v1 = 15; v1 = 15

u2 + v1 = 12; 15 + u2 = 12; u2 = -3

u2 + v3 = 5; -3 + v3 = 5; v3 = 8

u1 + v2 = 6; 0 + v2 = 6; v2 = 6

u3 + v2 = 4; 6 + u3 = 4; u3 = -2




v1=15

v2=6

v3=8

u1=0

15[60]

6[10]

10

u2=-3

12[40]

7

5[40]

u3=-2

8

4[50]

12


Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых

ui + vj > cij(3;1): -2 + 15 > 8;

∆31 = -2 + 15 - 8 = 5 > 0

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;1): 8

Для этого в перспективную клетку (3;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».




1

2

3

Запасы

1

15[60][-]

6[10][+]

10

70

2

12[40]

7

5[40]

80

3

8[+]

4[50][-]

12

50

Потребности

100

60

40




Цикл приведен в таблице (3,1 → 3,2 → 1,2 → 1,1).

Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 2) = 50.

Прибавляем 50 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 50 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.




B1

B2

B3

Запасы

A1

15[10]

6[60]

10

70

A2

12[40]

7

5[40]

80

A3

8[50]

4

12

50

Потребности

100

60

40





Проверим оптимальность опорного плана.

Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.

u1 + v1 = 15; 0 + v1 = 15; v1 = 15

u2 + v1 = 12;

15 + u2 = 12; u2 = -3

u2 + v3 = 5; -3 + v3 = 5; v3 = 8

u3 + v1 = 8; 15 + u3 = 8; u3 = -7

u1 + v2 = 6; 0 + v2 = 6; v2 = 6





v1=15

v2=6

v3=8

u1=0

15[10]

6[60]

10

u2=-3

12[40]

7

5[40]

u3=-7

8[50]

4

12

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vj ≤ cij.

Минимальные затраты составят:

F(x) = 15*10 + 6*60 + 12*40 + 5*40 + 8*50 = 1590

Проверим оптимальность найденного плана по первой теореме двойственности (в оптимальном решении значения целевых функций прямой и двойственных задач совпадают: F = G.

G = 0·70 -3·80 -7·50 + 15·100 + 6·60 + 8·40 = 1590

Анализ оптимального плана

Из 1-го склада необходимо груз направить к 1-у потребителю (10 ед.), к 2-у потребителю (60 ед.)

Из 2-го склада необходимо груз направить к 1-у потребителю (40 ед.), к 3-у потребителю (40 ед.)

Из 3-го склада необходимо весь груз направить к 1-у потребителю.

  1   2


написать администратору сайта