контрольная работа. Задача Даны векторы а 2 12 0, b

• Название: Задача Даны векторы а 2 12 0, b
• Дата: 16.05.2023
• Размер: 158.5 Kb.
• Имя файла: контрольная работа.doc
• Тип: Задача; #1135275

Задача 1.

Даны векторы а = {2; 12; 0}, b = {4.75; -4; 3.75}, c = {6; 6; 2}, и d = {12,75; 15; 5,75} в декартовой системе координат. Показать, что векторы а, b, c, образуют базис Найти координаты вектора d в этом базисе.

Решение. Так как каждый вектор задан тремя координатами, то в рассматриваемом векторном пространстве существует базис и размерность пространства, равная трем, совпадает с числом заданных векторов а, b, c. Поэтому векторы а, b, c образуют в нем базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство.

₁а + ₂b + ₃с = ,

которое можно записать для соответствующих координат этих векторов

2 ₁ + 4,75₂ + 6₃ = 0,

12₁ - 4₂ + 6₃ = 0,

3,75₂ + 2₃ = 0.

Решим полученную систему линейных уравнений методом Гаусса.



.

Отсюда получаем единственное нулевое решение ₁ = ₂ = ₃ = 0, то есть векторы а, b, c являются линейно независимыми и, следовательно, образуют базис пространства. Найдем теперь разложение вектора d по базису а, b, c из условия выполнения векторного равенства

d = ₁а + ₂b + ₃c,

которое для соответствующих координат запишется

2 ₁ + 4,75₂ + 6₃ = 12,75,

12₁ - 4₂ + 6₃ = 15,

3,75₂ + 2₃ = 5,75.

Полученную квадратную систему линейных уравнений относительно неизвестных ₁, ₂, ₃ решим по формулам Крамера. Вычислим определители 3–го порядка:

= 95,

= 108,

= 99,

= 87,5.

Тогда по формулам Крамера находим координаты вектора d в базисе а, b, c:

, , .

В итоге имеем

d = a + b + c.
Задача 50.

Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

а) =


б) . Непосредственной подстановкой убеждаемся, что существует неопределенность . Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители:

,

.

Отсюда

.
в) . Непосредственной подстановкой убеждаемся, что существует неопределенность . Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на :


г)


д)



Задача 80.

Найти производные для данных функций:

а) .



б) .



в) .



г) .



Задача 90.

Для данных функций найти , : а) ; б) х = 2t³ + t; y = lnt.

Решение.

а) ;

.

б) ;

.

Задача 110.

Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы:

а)


б)

Рассмотрим

Отсюда

.