Задача на условный экстремум 61 нелинейное программирование 72 метод Ньютона в нелинейном программировании 88 выпуклое программирование 96
 Скачать 0.96 Mb.
|
|
Переходя теперь от открытых множеств системы ? или ? к их дополнениям, получим, что пересечение любой системы замкнутых множеств и объединение любого конечного числа замкнутых множеств также замкнуто. ¤ Замечание. Легко видеть, что все пространство R n , а также пустое множество являются одновременно открытыми и замкнутыми. При этом каждое конечное множество F из R n замкнуто, поскольку оно вообще не имеет предельных точек и, значит, содержит их все. Позволим себе привести весьма прозрачную иллюстрацию второй части последнего замечания, заимствованную из книги [25]. Пример 1. Будем говорить, что некий человек обладает свойством (Р), если его рост больше роста его детей. Тогда, очевидно, любой человек, вообще не имеющий детей, будет обладать свойством (Р). Аналогичным образом, любое конеч- ное множество вообще не имеет предельных точек, и потому содержит их все. Пусть a 1 , a 2 , . . . , a k , . . . (10) некоторая бесконечная последовательность точек простран- ства R n и пусть M множество точек последовательности (10). Последовательность (10) отличается от множества M не толь- ко тем, что ее точки занумерованы, но и тем, что различные точки этой последовательности могут совпадать между собой. Поэтому множество M точек бесконечной последовательности (10) может быть уже конечным. 22 Гл. 1. Основы многомерного анализа Последовательность (10) называется ограниченной, если существует такое положительное число r, что для каждой точ- ки a k этой последовательности выполнено неравенство |a k | < r. Аналогичным образом, произвольное множество E простран- ства R n называется ограниченным, если существует такое по- ложительное число r, что для каждой точки x ? E выполнено неравенство |x| < r. При этом говорят, что последовательность (10) сходится к точке a ? R n , если имеет место равенство lim k?? |a k ? a| = 0. (11) Замечание. Легко видеть, что последовательность (10) ограничена тогда и только тогда, когда ограничены последо- вательности a i 1 , a i 2 , . . . , a i k , . . . , i = 1, . . . , n. Аналогичным образом, равенство (11) справедливо тогда и только тогда, когда lim k?? |a i k ? a i | = 0, i = 1, . . . , n. Предположим теперь, что M некоторая часть действи- тельной оси R. Не предполагая ограниченности множества M, предположим теперь, что существует такое действительное число r, что для всех x ? M выполнено неравенство x < r. Тогда существует наименьшее действительное число ? M , для которого еще выполнено неравенство x ? ? M . Такое число ? M называется точной верхней гранью множества M , что обозначается ? M = sup x?M x. џ1. Топология евклидовых пространств 23 Легко видеть, что точная верхняя грань множества M мо- жет как принадлежать к множеству M, так и нет. Пример 2. Предположим, что множество M представляет собой интервал (0, 1). В этом случае ? M = sup 0 x = 1 не принадлежит M. Если же M отрезок [0, 1], то ? M = sup 0?x?1 x = 1 уже принадлежит M. Если существует такое действительное число r, что для всех точек x ? M выполнено неравенство x > r, то существует наибольшее действительное число ? M , для ко- торого еще выполнено неравенство x ? ? M . Такое число ? M называется точной нижней гранью множе- ства M, что обозначается ? M = inf x?M x. При этом как и в случае точной верхней грани ? M точная нижняя грань ? M может как принадлежать множеству M, так и нет. Возвращаясь теперь к ограниченным множествам, заме- тим, что имеет место следующая фундаментальная Теорема 2 (Больцано Вейерштрасс). Каждое бесконеч- ное ограниченное множество имеет по крайней мере одну предельную точку. Доказательство. Пусть E некоторое бесконечное ог- раниченное множество на действительной прямой R. Обозна- чим через M множество всех точек x прямой R, обладающих следующим свойством: справа от точки x имеется бесконечное множество точек множества E. Множество M непусто, так как оно содержит, например, нижнюю грань ? E множества E. При 24 Гл. 1. Основы многомерного анализа этом справа от точной верхней грани ? E множества E нет ни одной точки множества M. Поскольку множество M ограничено и непусто, оно име- ет точную верхнюю грань, которую для простоты обозначим через b. Тогда оказывается, что точка b является предельной точкой множества E. В самом деле, пусть ? произвольное положительное чис- ло и пусть (b ? ?, b + ?) соответствующая окрестность точки b . Легко видеть, что отрезок [b ? ?, b] содержит по крайней мере одну точку множества M, причем справа от b нет ни од- ной точки множества M; в частности, точка b + ? не является точкой множества M. Но так как x есть точка множества M, то справа от x и, следовательно, b ? ? имеется бесконечное множество точек множества E. При этом, однако, поскольку точка b + ? не принадлежит к множеству M, то справа от b + ? имеется лишь конечное число точек множества E. Поэтому на интервале (b ? ?, b + ?) содержится бесконечное множество то- чек множества E. Но так как (b ? ?, b + ?) есть произвольная окрестность точки b, то b есть предельная точка множества E ¤ В качестве следствия теоремы Больцано Вейерштрасса справедлива следующая важнейшая Теорема 3. Из всякой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Доказательство. Рассмотрим ограниченную числовую последовательность x 1 , x 2 , . . . , x k , . . . (12) и, прежде всего, покажем, что из последовательности (12) всегда можно выбрать либо стационарную подпоследователь- ность (т.е. последовательность, все элементы которой совпа- дают, начиная с некоторого), либо подпоследовательность, со- стоящую из попарно различных элементов. В самом деле, положим k 1 = 1 и будем искать в после- довательности (12) первый элемент x k 2 , не равный x k 1 . Если џ1. Топология евклидовых пространств 25 такого элемента нет, то x 1 = x 2 = . . . = x k = . . . и последовательность (12) стационарна. Если же такой эле- мент существует, то будем искать первый элемент x k 3 , где k 3 > k 2 > k 1 , отличный как от x k 2 , так и от x k 1 . Продол- жая действовать аналогичным образом, несложно построить либо бесконечную подпоследовательность x k 1 , x k 2 , . . . , x k p , . . . lim p?? k p = ? (13) последовательности (12), состоящую из попарно различных элементов, либо выбрать конечное число элементов x k 1 , x k 2 , . . . , x k s (14) обладающих тем свойством, что каждый из элементов после- довательности (12) совпадает с одним из элементов множества (14). В последнем случае существует некоторая бесконечная подпоследовательность x m 1 , x m 2 , . . . , x m k , . . . (15) последовательности (12), состоящая из элементов, которые все равны одному и тому же элементу конечного множества (14). Последовательность (15) стационарна и, следовательно, сходится. Поэтому остается рассмотреть случай, когда в по- следовательности (12) существует бесконечная подпоследова- тельность (13), состоящая из попарно различных элементов. Эти элементы образуют бесконечное ограниченное множество, имеющее в силу теоремы 2 предельную точку a. К этой точке, очевидно, и сходится последовательность (13). ¤ Для точечных множеств в пространстве R n справедливы, вообще говоря, теоремы, аналогичные теоремам 2 и 3. Объеди- няя эти теоремы в одну, имеем следующую фундаментальную теорему. Теорема 4. Из каждой ограниченной последовательно- сти можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. При этом всякое ограниченное бесконечное множество E имеет по крайней мере одну предельную точку. 26 Гл. 1. Основы многомерного анализа Доказательство. Переходя к координатной форме за- писи, положим a k = (a 1 k , . . . , a n k ), k = 1, 2, 3, . . . Если последовательность (10) ограничена, то существует такое положительное число r, что |a i k | < r, i = 1, . . . , n, k = 1, 2, 3, . . . Поэтому последовательность a 1 1 , a 1 2 , . . . , a 1 k , . . . (16) действительных чисел ограничена и, значит, в силу теоремы 3 из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Для простоты обозначений будем считать, что выбранная под- последовательность совпадает с последовательностью (16). То- гда имеем lim k?? a 1 k = a 1 , где a 1 некоторое действительное число. Заметим теперь, что последовательность a 2 1 , a 2 2 , . . . , a 2 k , . . . (17) также ограничена и потому из нее можно выбрать сходящую- ся подпоследовательность. Для простоты будем считать, что выбранная подпоследовательность совпадает с последователь- ностью (17). Продолжая действовать аналогичным образом, видим, что из последовательности (10) можно выбрать сходя- щуюся подпоследовательность a l 1 , a l 2 , . . . , a l k , . . . lim k?? l k = ?, (18) такую, что lim k?? a i l k = a i , i = 1, . . . , n. (19) Положим a = (a 1 , . . . , a n ). Тогда из равенства (19) следует, что lim k?? |a l k ? a| = 0, џ1. Топология евклидовых пространств 27 т.е. из последовательности (10) выбрана сходящаяся подпосле- довательность (18), и, таким образом, первая часть теоремы 4 доказана. Покажем теперь, что всякое ограниченное бесконечное множество E имеет предельную точку. В самом деле, если множество бесконечно, из него можно выбрать последовательность a 1 , a 2 , . . . , a k , . . . , (20) все точки которой попарно различны. Но, если множество E ограничено, то последовательность (20) также ограничена. По- этому из нее можно выбрать сходящуюся подпоследователь- ность a l 1 , a l 2 , . . . , a l k , . . . lim k?? l k = ?, (21) сходящуюся к некоторой точке a ? R n . Все точки последова- тельности (21) по постороению попарно различны. Следова- тельно, точка a является предельной точкой множества E. ¤ Во многих ситуациях, например, в теории экстремальных задач, огромную роль играют множества, называемые ком- пактными. Формальное определение компактного множества может быть введено следующим образом. Множество M точек пространства R n называется ком- пактным, если каждое его бесконечное подмножество имеет предельную точку, принадлежащую к M. Одно из основных свойств компактных множеств в пространстве R n выражает следующая Теорема 5. Множество M в пространстве R n компакт- но тогда и только тогда, когда оно одновременно ограничено и замкнуто. Доказательство. Достаточность. Предположим, что множество M ограничено и замкнуто. Рассмотрим некоторое бесконечное подмножество E множества M. Так как множе- ство E ограничено, то в силу теоремы 4 оно имеет предельную точку a. Точка a, очевидно, является также и предельной точ- кой множества M. Но множество M замкнуто, а множество 28 Гл. 1. Основы многомерного анализа E выбиралось произвольным образом. Поэтому всякое беско- нечное подмножество множества M имеет предельную точку, принадлежащую к M, т.е. множество M компактно. Необходимость. Предположим теперь, что множество M компактно. Предположим также, что оно не является огра- ниченным. Тогда из M можно выбрать такую последователь- ность a 1 , a 2 , . . . , a k , . . . (22) попарно различных точек, что |a k | > k, k = 1, 2, 3, . . . Пусть a произвольная точка пространства R n . В силу неравенства (5) имеем |a k | ? |a k ? a| + |a|, откуда следует, что |a k ? a| ? k ? |a|. Последнее означает, что расстояние от точки a k до точки a неограниченно возрастает с ростом k. Поэтому любая окрест- ность точки a содержит лишь конечное число точек множества M , т.е. бесконечное подмножество (22) множества M не име- ет предельной точки, принадлежащей M, что противоречит компактности множества M. Сказанное означает, что для до- казательства теоремы 5 остается показать, что множество M замкнуто. Пусть b предельная точка множества M. Тогда, посколь- ку каждая окрестность точки b содержит точку множества M, отличную от b, то из M можно выбрать последовательность b 1 , b 2 , . . . , b l , . . . (23) попарно различных точек, сходящуюся к b. Но точка b яв- ляется единственной предельной точкой множества (23) (см. упражнение 3). Следовательно, бесконечное множество (23) имеет единственную предельную точку b. Эта точка в силу компактности множества M принадлежит M, т.е. множество M замкнуто. ¤ џ1. Топология евклидовых пространств 29 Замечание. Как уже отмечалось ранее, каждое конечное множество F из R n замкнуто. Но каждое конечное множе- ство ограничено и, следовательно, компактно. Поэтому везде в дальнейшем данный тривиальный случай рассматриваться не будет. Непрерывные отображения. Пусть A и B два про- извольных множества. Говорят, что задано отображение f множества A в множество B, если каждой точке x ? A по- ставлена в соответствие точка y = f(x) множества B. Ина- че говоря, отображение f множества A в множество B есть функция, определенная на множестве A и принимающая зна- чения на множестве B. Последнее часто обозначается записью f : A ? B Пусть C некоторое множество точек из A. Тогда образом f (C) множества C при отображении f называется множество всех точек вида y = f(x), где x произвольная точка множе- ства C. При этом, если D некоторое множество точек из B, то прообразом f ?1 (D) при отображении f называется совокуп- ность всех точек x из A, таких, что точка f(x) принадлежит D Пусть R p и R q два евклидовых пространства размерно- сти p и q соответственно, M некоторое подмножество про- странства R p и пусть f отображение множества M в про- станство R q . Отображение f называется непрерывным в точке a ? M , если для каждого положительного числа ? существу- ет такое положительное число ?, что для произвольной точки x ? M , удовлетворяющей условию |x?a| < ?, выполнено нера- венство |f (x) ? f (a)| < ?. Функция (отображение) f считается непрерывной на всем мно- жестве M, если она непрерывна в каждой точке a этого мно- жества. Функция называется равномерно непрерывной на M, если для каждого положительного числа ? можно указать та- кое положительное число ?, что для всяких двух точек x 1 и x 2 множества M, удовлетворяющих условию |x 1 ? x 2 | < ? , вы- полнено неравенство |f (x 1 ) ? f ( |