Задача на условный экстремум 61 нелинейное программирование 72 метод Ньютона в нелинейном программировании 88 выпуклое программирование 96
 Скачать 0.96 Mb.
|
|
Оглавление Предисловие 4 Глава 1. Основы многомерного анализа 13 џ1. Топологические свойства евклидовых пространств 14 џ2. Дифференцирование 34 џ3. Дважды дифференцируемые функции 45 џ4. Экстремальные задачи в анализе 51 Глава 2. Основы общей теории математического программирования 59 џ1. Задача на условный экстремум 61 џ2. Нелинейное программирование 72 џ3. Метод Ньютона в нелинейном программировании 88 џ4. Выпуклое программирование 96 џ5. Линейное программирование 110 џ6. Cимплекс-метод 118 Глава 3. Основы оптимального управления 127 џ1. Простейшая задача вариационного исчисления 129 џ2. Вариационные задачи с ограничениями 138 џ3. Принцип максимума Понтрягина 146 џ4. Две простейшие задачи об оптимальном быстродействии 155 џ5. Линейные оптимальные быстродействия 167 Предметный указатель 182 Литература 185 3 Предисловие Предисловие к своей замечательной книге Моя система великий шахматный новатор А. Нимцович начинает словами: Вообще говоря, я не любитель предисловий. Мысль простая и понятная. Тем более, что подавляющее большинство чита- телей подавляющего большинства других книг любят преди- словия еще меньше. Последнее неудивительно, поскольку они (предисловия) часто служат попыткой обоснования необходи- мости прочтения (если угодно, написания) специальной лите- ратуры. Тем не менее... В последнее время в различных областях человеческой де- ятельности чрезвычайно широкое распространение получили задачи так или иначе, связанные с поиском экстремума. Это привело к парадоксальной ситуации, когда с методами реше- ния подобных задач стало необходимо познакомиться весьма широкому кругу практиков: инженерам, экономистам, вычис- лителям и т.д. Еще лет тридцать назад инженеру, экономисту или, напри- мер, вычислителю было достаточно трудно ориентироваться в литературе по соответствующей теории и методам, посколь- ку большинство из имеющихся в то время книг были напи- саны математиками для математиков. Многие из этих книг, безусловно замечательные, к сожалению остались невостребо- ванными у практиков, поскольку последним оказалось весь- ма трудно разобраться в многообразии задач, методов и алго- ритмов. В результате появились другие книги, расчитанные, главным образом, на инженеров и вычислителей. Эти книги, совершенно непригодные для математиков, оказались также 4 Предисловие 5 в большинстве своем непригодными и для экономистов. Ска- занное, вообще говоря, объясняется тем, что по сложившейся исторически традиции экстремальные задачи для экономистов в то время ограничивали кругом задач линейного программи- рования: транспортная задача, задача распределения произ- водственной программы, задача производственного планиро- вания и т.д. Поэтому нередко учебники по математическому программированию, расчитанные на экономистов, сводились к механическому описанию симплекс-метода. Появившаяся в последнее время литература ясно показа- ла, что сегодня одними из основных потребителей методов оптимизации стали именно экономисты. При этом экономи- стов гораздо больше волнуют задачи, которые с математиче- ской точки зрения являются задачами математического про- граммирования и оптимального управления. Однако, исполь- зуемый в книгах по экономике математический аппарат ча- сто содержит неточности, свидетельствующие о довольно по- верхностном изучении незнакомого предмета. Как утвержда- ют злые языки, известный людовед и душелюб Евг. Сазонов по этому поводу однажды заметил: Я слышал, что теперь эконо- мисты решают экстремальные задачи? Это любопытно! (см. [1]). Возникает естественный вопрос: неужели до настоящего времени не существует книг, способных по возможности удо- влетворить и математиков, и широкий круг практиков (в том числе и экономистов)? Ответ на этот вопрос неоднозначен, по- скольку подход к методам оптимизации у математиков, вычис- лителей и иных практиков совершенно различен. Так, матема- тиков в задачах оптимизации, прежде всего, интересуют необ- ходимые и достаточные условия экстремума. Эти условия ма- тематики используют для констуирования численных методов оптимизации, отдавая при этом должное вопросам сходимости разработанных методов (последнее особенно относится к спе- циалистам в различных областях вычислительной математи- ки). В соответствие со сказанным для математиков различных специальностей наиболее интересными представляются такие книги, как [2, 8, 9, 10, 14, 20, 22, 23]. 6 Предисловие Вычислители подходят к методам оптимизации с проти- воположных позиций. Объясняется это тем, что их в пер- вую очередь интересуют методы оптимизации, а не их стро- гое обоснование и корректность, причем требования, предъ- являемые здесь к методам, часто выглядят достаточно спе- цифично. Именно, метод должен быть универсальным, а его практическое применение не должно предполагать большой аналитической работы. Сам метод здесь должен быть дове- ден до окончательной формулировки алгоритма. Вычисли- телю желательно также иметь текст готовой программы и сравнительный анализ численых экспериментов использова- ния различных методов. Поэтому еще до недавнего времени многие вычислители отдавали предпочтение книгам типа [24]. Что же касается инженеров, экономистов, статистиков и дру- гих специалистов-практиков, то их требования во многом пе- ресекаются с требованиями вычислителей. При этом данные требования часто дополняются желанием практиков видеть примеры решения конкретных задач. Все это приводит к то- му, что практики обычно отдают предпочтение таким книгам, как [1, 4, 11, 12, 15, 24]. И, наконец, специалисты, широко использующие методы линейного программирования, обычно выберают книги типа [1, 12, 27]. Приведенный список литературы, конечно, ни в коей мере не может претендовать на полноту. Среди книг, не вошедших в него, на наш взгляд особо следует выделить книгу [16]. Эта книга, расчитанная на широкие круги инженеров, экономи- стов, статистиков и вычислителей, сталкивающихся с задача- ми оптимизации, пользуется доброй славой и у математиков. Включенный в эту книгу материал во многом отличается от традиционного. Так, в отличие от большинства других книг по математическому программированию, популярных у прак- тиков, здесь вопросы численных методов органично пересека- ются с общей теорией оптимизации. Особенно важным пред- ставляется то, что в [16] подробно рассмотрена общая теория нелинейного программирования и ее краеугольный камень теорема Каруша Джона. Вместе с тем, эта книга не явля- ется учебником и может показатьтся достаточно сложной для Предисловие 7 первоначального ознакомления с предметом. Поэтому возни- кает естественное желание иметь книгу, доступную по своему математическому уровню широкому кругу практиков, но при этом по возможности остающуюся достаточно строгой. Имен- но такую цель преследовали авторы при написании настоящей книги. Математический аппарат, используемый ниже, мало выхо- дит за рамки стандарного университетского курса математи- ческого анлиза, а все необходимые для понимания текста све- дения формально содержатся в главе 1. Изложение здесь, как и в главе 2, во многом следует [16], поскольку в качестве базо- вой книги для последующего более глубоко изучения матема- тического программирования авторы рассматривали именно [16]. Отметим, что читатель, желающий более глубоко изучить соотвествующий математический аппарат, может прочесть та- кие книги как, например, [3, 25, 26]. Современное же изложе- ние основ математического анализа, необходимое для нефор- мального чтения книги, менее подготовленный читатель мо- жет найти, например, в учебнике [5]. В соответствие с выбранной стратегией и математическим аппаратом в главе 2 излагаются основы собственно математи- ческого программирования. Основная цель, которую пресле- довали здесь авторы, попытка изложить весь материал с единых позиций, где в качестве основного приема поиска экс- тремума служит теорема Каруша Джона. Эта теорема сфор- мулирована и доказана вполне строго, хотя при этом нельзя сказать, что наилучшим образом. Однако, для понимания до- казательства читателю не потребуется никаких дополнитель- ных математических познаний (по крайней мере несодержа- щихся в данной книге). Теорема Каруша Джона, вообще говоря, дает только лишь необходимое условие минимума в задаче нелинейного программировнаия. Достаточные условия в настоящей книге не приведены по двум причинам. Во-первых, большинство из известных достаточных усло- вий выглядят довольно громоздко, а их доказательство тре- бует введения новых математических понятий. Во-вторых, на 8 Предисловие практике задача нелинейного программирования часто пре- вращается в задачу выпуклого программирования. Теория вы- пуклого программирования сейчас продвинута очень далеко и базируется, главным образом, на теореме Куна Таккера и ее разновидностях, дающих как необходимое, так и достаточное условие минимума. Доказательство теоремы Куна Таккера в настоящей кни- ге приведено только для частного случая задачи выпуклого программирования и основано на теореме Каруша Джона. Это объясняется тем, что доказательство теоремы Куна Так- кера в общем случае требует привлечения достаточно слож- ного и специфичного математического аппарата выпукло- го анализа. Выпуклый анализ несомненно является оружием огромной созидательной силы (см., например, [21]). Однако, также несомненно, что его изучение выходит за рамки ввод- ного курса. В результате сложилась следующая ситуация. Необходи- мое условие в задаче нелинейного программирования в кни- ге, как уже отмечалось, доказано строго, хотя и старомодно. Старомодность, однако, здесь, видимо, не очень страшна, по- скольку принятый метод доказательства более чем наглядно демострирует основную идею нелинейного программирования замену задачи с ограничениями задачей без таковых. Ряд важных утверждений, базирующийся на математическом ап- парате выпуклого анализа либо не доказан совсем, либо дока- зан недостаточно полно. Поэтому математики едва ли проявят интерес к настоящей книге, если только не рассматривать ее как вводный курс, предназначенный для самого первоначаль- ного ознакомления с предметом. В еще меньшей степени книга удовлетворит вычислителей и специалистов по вычислительной математике. Из всего мно- гообразия численных методов нелинейного и выпуклого про- граммирования рассмотрено только два метод Ньютона и метод штрафных функций, причем теорема о сходимости ме- тода Ньютона осталась недоказанной. Однако, авторы и не преследовали целью превращать учебник по математическо- му программированию в сборник алгоритмов и программ. До- казательство же сходимости метода Ньютона гораздо более Предисловие 9 уместно отнести к специальному разделу вычислительной ма- тематики численным методам решения систем нелинейных уравнений. Что же касается знаменитого симплекс-метода, то в книге приведено лишь его строгое описание, необходимое для понимания сути этого метода. Вопросы практической ре- ализации симплекс-метода здесь опущены, поскольку в насто- ящее время не составляет никакого труда найти соотвествую- щие высококачественные программы, например, в компьютер- ной сети INTERNET. Сказанное также относится и к методу Ньютона, и ко многим другим замечательным методам мате- матического программирования. Таким образом, из всего очерченного круга людей, воз- можно интересующихся математическим программированием, не охваченными остались только инженеры, экономисты, ста- тистики и другие специалисты-практики. По уровню используемого математического аппарата кни- га вплоне доступна им всем. Сам подбор материала ориенти- рован на выработку определенной математической культуры, позволяющей грамотно формулировать экстремальные зада- чи и определять пути их решения. С этой целью, следуя [16], авторы вынесли в упражнения не только простейшие задачи, но и ряд важных утверждений, самостоятельное доказатель- ство которых, как хотелось бы верить, должно привить необ- ходимые навыки и стимулировать читателя к более глубокому изучению предмета. Заметим теперь, что задачи математического программи- рования серьезно начали интересовать людей сравнительно недавно по крайней мере в начале прошлого века. Другие экстремальные задачи, известные как задачи вариационного исчисления, появились, видимо, гораздо раньше. Так, первая из дошедших до нас вариационных задач, связана с легендой об основании Карфагена (см., например, [28]). Согласно Энеиде Вергилия тирийцы, предводительству- емые Дидоной, столько купили земли,... сколько воловьей шкурой могли окружить на прибрежьи. 1 По этому поводу Л. 1 Перевод Н. Квашнина-Самарина. 10 Предисловие Янг пишет: Все мы знаем рассказ о том, как Дидона выторго- вала клочок земли, который она сможет ограничить воловьей шкурой. Никогда не следует недооценивать 2 способности жен- щины! Аккуратно разрезав шкуру и получив очень длинный и тонкий ремешок, она определила наибольший участок зем- ли, который им можно было ограничить. При этом она реши- ла так называемую изопереметрическую задачу; ее решением оказался круг. В интерпретации Дидоны изопереметрическая задача со- стоит в максимизации интеграла (площадь, ограниченая кри- вой) в классе кривых, для которых другой интеграл (длина кривой) принимает заданное значение. В таком виде изопере- метрическая задача были изучена еще Эйлером. Для ее реше- ния Эйлер сформулировал изопереметрическое привило, за- ключающееся в замене задачи с ограничениями задачей без таковых. Подобная задача общего вида была рассмотрена Лагран- жем. Для ее решения Лагранж ввел метод множителей, кото- рый, как он считал, позволит свести задачу с ограничениями к задаче без ограничений. При этом оказалось, что формальное применение метода множителей Лагранжа в известных слу- чаях, увы, приводит к таким фундаментальным открытиям, как 1 = 0 (!?) (см. пример 1 главы 2 и примеры 6 и 8 главы 3). Более сотни лет понадобилось человечеству для того, что- бы модифицировать метод Эйлера Лагранжа тривиальной заплаткой, как вдруг оказалось, что существуют вариацион- ные задачи, не имеющие в рассматриваемом классе кривых решений. Именно, замена в задаче Лагранжа ограничения ти- па равенства на ограничение типа неравенства привела к то- му, что экстремум в задаче достигался на кривых, получае- мых при помощи специальных новой вариации. Эта вариация, известная в настоящее время как вариация Мак-Шейна, при- обрела в наши дни огромное значение. 2 Да простят нас феминистки! Предисловие 11 Одно из крупнейших математических открытий двадца- того века, высказанное академиком Л.С. Понтрягиным в ка- честве гипотезы, дает необходимое условие в отпимальном управлении. Это условие, известное как знаменитый прин- цип максимума Понтрягина, выводится с использованием ва- риации Мак-Шейна и является краеугольным камнем совре- менной теории оптимального управления (см. [18]). При этом принцип максимума естественным образом оказывается моди- фикацией метода множителей Лагранжа, доведенной до со- вершенства. Таким образом, необходимое условие как в задаче нели- нейного программирования (теорема Каруша Джона), так и в задаче оптимального управления (принцип максимума Пон- трягина) представляют собой проявление одного и того же об- щего метода множителей Лагранжа. Принимая во внимание тот факт, что задачи вариационного исчисления легко сводят- ся к задачам оптимального управления и обратно, окончатель- но получаем, что различные задачи на экстремум решаются, вобще говоря, с единых позиций! Поэтому неудивительно, что в современном мире отчетливо наблюдается тенденция описа- ния различных экстремальных задач одним математическим языком (см., например, [2, 10, 13, 20]). В жизни, как известно, за все приходится чем-то платить. Поэтому попытка описания различных экстремальных задач одним языком предполагает использование совсем нетриви- ального математического аппарата, свободное владение кото- рым несомненно требует достаточно высокой математической культуры. По этой причине в рамках вводного курса авторы и не предполагали этого сделать, рассмотрев отдельно основы математического программирования и оптимального управле- ния. Что же касается оптимального управления и нужд мате- матиков, инженеров, экономистов, вычислителй и других при- кладников, то здесь сложилась следующая ситуация. Классическое изложение принципа максимума для класси- ческой задачи с ограничениями на управления, приведенное в классической книге [18], при известном желании доступно и математику, и прикладнику. Сказанное, однако, относится ко всему материалу этой книги, но не к доказательству общего 12 Предисловие принципа максимума. Данное доказательство, совсем нетри- виальное по уровню используемого математического аппара- та, оказывается также чрезвычайно громоздким: даже сейчас, спустя почти пятьдесят лет, не найдено (насколько нам из- вестно) строгого доказательства, достуного широкому кругу студентов-математиков. Что же касается более продвинутой задачи со смешанными ограничениями на фазовые координа- ты и управления, то здесь ситуация существенно усложняет- ся уже на уровне общего понимания предмета (регулярный принцип максимума), а используемый математический аппа- рат становится угрожающим уже для достаточно широкого круга читателей (см., например, [7]). Поэтому инженеры и экономисты обычно отдают предпочтение книгам типа [6], от- личающимся относительной простотой изложения и большим количеством различных практических примеров и задач. Чи- стым же вычислителям более близкими покажутся книги типа [15], а специалистам в области вычислительной математики [7, 23]. Отдавая должное классике [18], настоятельно рекоменду- емой для последующего изучения оптимального управления, авторы в рамках вводного курса не могли пройти мимо книги [28]. Объясняется это, конечно, не тем, что книга [28] написа- на чрезвычайно живо и увлекательно. Гораздо более важным представляется то обстоятельство, что в [28] четко прослежи- вается следующая более чем важная мысль: разделы теории экстремальных задач, обходящиеся только лишь необходимы- ми условиями, всегда следует подкреплять сколь-нибудь об- щими теоремами существования. И, наконец, отметим, что изучение всей главы 3 фактиче- ски предполагает свободное владение солидным курсом тео- рии обыкновенных дифференциальных уравнений, например, [17]. Глава 1 Основы многомерного анализа Hастоящая глава посвящена изложению основных фактов, относящихся к вопросам анализа в многомерных евклидовых пространствах и изучению простейших экстремальных задач в анализе. Данные факты связаны, прежде всего, с топологиче- скими свойствами евклидовых векторных пространств. Объяс- няется это не тем, что авторы стремились сделать свою книгу чрезвычайно умной и, даже, не тем, что любой современный курс анализа начинается с солидной топологической проклад- ки. Думается, что помимо общей математической культуры знание основ топологии совершенно необходимо для понима- ния общей теории экстремальных задач. В џ1 содержатся сведения, которые студентам не мате- матических специальностей в курсе анализа часто либо во- обще не читаются, либо читаются недостаточно полно. Важ- нейшее место џ1 отводится понятию открытого, замкнутого и компактного множества. Объясняется это тем, что в теории экстремальных задач изучаются функции, часто заданные на компактных множествах, а без четкого представления об от- крытом и замкнутом множестве невозможно представить себе компактное множество. Поэтому ясное понимание того, что из себя представляют открытое, замкнутое и компактное множе- ство позволяет осознать, например, смысл соответствующих теорем существования. Помимо топологических и алгебраических структур мно- жеств евклидовых пространств в џ1 также рассматриваются вопросы непрерывности и равномерной непрерывности отоб- ражений. Важнейшим результатом здесь является теорема 13 14 Гл. 1. Основы многомерного анализа Вейерштрасса о том, что непрерывная числовая функция, за- данная на компакте, достигает точной верхней и точной ниж- ней грани. Данная теорема, вообще говоря, существенным образом используется при получении условий существования экстремума. В частности, как будет показано в главе 2, теоре- ма Вейерштрасса оказывается более чем важной при рассмот- рении вопроса существования решений задач математического программирования. Вопросы дифференцирования функций в евклидовых век- торных пространствах рассматриваются в џ2. Большое вни- мание здесь уделено понятию производной по направлению или вариации. Объясняется это тем, что это понятие явля- ется одним из главных понятий дифференциального исчис- ления в многомерных евклидовых пространствах, поскольку оно во многом позволяет рассматривать различные проблемы, связанные с экстремальными задачами, с единых позиций. В продолжение этого в џ3 изучаются основные свойства дважды дифференцируемых числовых функций. В џ4 главы 1 собственно и изучаются экстремальные за- дачи в анализе. Здесь приводятся необходимые и достаточные условия существования локального и глобального экстремума числовых функций, причем условие глобального экстремума приводится для выпуклых функций. При этом необходимо от- метить, что понятие выпуклой функции и основные свойства выпуклых функций оказываются весьма важными не только при получении условий глобального экстремума, но и широ- ко используются в теории экстремальных задач, например, при изучении задач линейного и выпуклого программирова- ния (см. џ4 и џ5 главы 2). џ1. Топологические свойства евклидовых пространств Еще в 1895 году в своем знаменитом мемуаре Analysis Situs великий французский математик А. Пуанкаре писал: Геометрия n измерений занимается изучением действительно- сти; в этом теперь уже никто не сомневается. Тела в гиперпро- странстве поддаются точным определениям, подобно телам из џ1. Топология евклидовых пространств 15 обычного пространства, и если мы не можем их изобразить, то можем представить себе и изучать (см. [19]). И, хотя, современный математический язык вместо Ana- lysis Situs давно использует термин топология, геометриче- ская интерпретация различных формул по прежнему дает воз- можность установить связь между формулами и геометриче- скими образами. Более того, как отмечал А. Пуанкаре, язык геометрии более точен, нежели аналитический, а аналогия с обычной геометрией может создать ассоциации плодотвор- ных идей и подсказать полезные обобщения. Образцом связи анализа и геометрии может служить аналитическая геомет- рия, где геометрические образы в основном рассматривают- ся на плоскости и в трехмерном пространстве. В анализе, где изучаются свойства, например, функций многих переменных, изпользуется геометрический язык многомерных пространств. Это позволяет соединить мощь анализа и наглядность геомет- рии. В еще большей степени сказанное относится к теории экс- тремальных задач. В џ1 рассматриваются простейшие свойства многомерных евклидовых пространств. Эти пространства интерпретируют- ся как объект одновременно аналитический и геометрический. Важнейшими свойствами таких объектов являются топологи- ческие свойства, составляющие фундамент современного ана- лиза и современной геометрии. Евклидовы пространства. Будем называть n-мерным вектором последовательность, состоящую из n действитель- ных чисел, называемых координатами вектора. Если обозна- чить через x некоторый n-мерный вектор, то координаты век- тора x будем обозначать через x 1 , . . . , x n . При этом будем за- писывать x = (x 1 , . . . , x n ). Совокупность всех n-мерных векторов будем называть n- мерным векторным пространством. Сумму двух векторов x = (x 1 , . . . , x n ), y = (y 1 , . . . , y n ) определим по формуле x + y = (x 1 + y 1 , . . . , x n + y n ), (1) 16 Гл. 1. Основы многомерного анализа а произведение вектора x на действительное число ? по фор- муле ?x = (?x 1 , . . . , ?x n ). (2) Тогда разность x ? y = (x 1 ? y 1 , . . . , x n ? y n ) двух векторов x = (x 1 , . . . , x n ), y = (y 1 , . . . , y n ) может быть определена по формуле x ? y = (x 1 + (?1)y 1 , . . . , x n + (?1)y n ). Если R n-мерное векторное пространство, в котором определены операции сложения векторов (1) и умножения на скаляры (2), то будем говорить, что R n-мерное линейное действительное векторное пространство, и будем обозна- чать такое пространство через R n . Отметим, что особую роль в пространстве R n играет нулевой вектор 0, т.е. вектор, все координаты которого равны нулю. Помимо перечисленных операций в пространстве R n мож- но ввести также и операцию скалярного произведения векто- ров. Пусть x и y два произвольных вектора в R n . Этим век- торам можно поставить в соответствие действительное число hx, yi , называемое скалярным произведением векторов x и y и определяемое по формуле hx, yi = x 1 y 1 + . . . + x n y n . Если вектор x совпадает с вектором y, то скалярное произве- дение дает скалярный квадрат x 2 = hx, xi вектора x, который всегда неотрицателен и обращается в нуль тогда и только тогда, когда x = 0. Длина, или модуль, вектора x есть неотрицательное число |x|, задаваемое равенством |x| = + p hx, xi. (3) џ1. Топология евклидовых пространств 17 Линейное действительное пространство называется евклидо- вым векторным пространством, если в нем определена дли- на вектора, причем по формуле (3). Поскольку в дальнейшем линейные действительные пространства с иной длиной векто- ра не рассматриваются, будем обозначать n-мерное евклидово векторное пространство через R n В дальнейшем вектора часто будет удобно называть точ- ками пространства R n . При этом за расстояние между двумя точками x и y в R n примем неотрицательное число |x ? y|. Пусть x и y два произвольных вектора пространства R n Тогда имеют место неравенства hx, yi 2 ? x 2 y 2 (4) и |x + y| ? |x| + |y|, (5) выражающие важнейшие свойства скалярного произведения и расстояния; первое из этих неравенств называется неравен- ством Коши Буняковского, а второе неравенством тре- угольника. В самом деле, для доказательства неравенства (4) рас- смотрим вектор ?x + y, где ? некоторое действительное чис- ло, и составим скалярный квадрат этого вектора: (?x + y) 2 = ? 2 x 2 + 2?hx, yi + y 2 . (6) Поскольку скалярный квадрат есть величина неотрицатель- ная, то правая часть равенства (6) есть величина неотрица- тельная при всех значениях ?. Поэтому квадратное относи- тельно ? уравнение ? 2 x 2 + 2?hx, yi + y 2 = 0 не может иметь двух различных действительных корней. Сле- довательно, дискриминант D = hx, yi 2 ? x 2 y 2 этого уравнения есть величина неположительная, откуда и вы- текает неравенство (4). 18 Гл. 1. Основы многомерного анализа Для доказательства неравенства (5) возведем в квадрат величину |x + y| и запишем |x + y| 2 = x 2 + 2hx, yi + y 2 . Отсюда в силу неравенства (4) имеем |x + y| 2 ? |x| 2 + 2|x| |y| + |y| 2 = (|x| + |y|) 2 . (7) Но так как обе величины |x| и |y| неотрицательны, из неравен- ства (7) непосредственно следует неравенство (5). Точечные множества и их свойства. Пусть M 1 , M 2 , . . . , M k (8) произвольная система множеств пространства R n . Опреде- лим множество P , считая, что точка x пространства R n при- надлежит P тогда и только тогда, когда она принадлежит хотя бы к одному из множеств системы (8). В этом случае множе- ство P называется объединением множеств (8), что обознача- ется P = M 1 ? M 2 ? . . . ? M k . Определим теперь множество Q, считая, что точка x простран- ства R n принадлежит Q тогда и только тогда, когда она при- надлежит к каждому из множеств системы (8). В этом случае множество Q называется пересечением множеств (8), что обо- значается Q = M 1 ? M 2 ? . . . ? M k . Пусть теперь M произвольное множество точек про- странства R n . Определим множество D, считая, что каждая точка x ? R n принадлежит множеству D тогда и только то- гда, когда она не принадлежит ножеству M. В этом случае множество D называется дополнением к множеству M, что обозначается D = R n \ M. При этом дополнение D к пространству R n называется пу- стым множеством. Заметим теперь, что дополнение множества D совпадает с множеством M. Далее, пусть D 1 , D 2 , . . . , D k (9) џ1. Топология евклидовых пространств 19 система множеств, дополнительных к множествам (8), так что D i является дополнением к множеству M i . Тогда допол- нение к объединению множеств (8) является пересечением множеств (9) и, наоборот, дополнение к пересечению мно- жеств (8) является объединением множеств (9). Перейдем теперь к установлению некоторых простейших топологических свойств евклидовых пространств. Эти свой- ства непосредственно связаны понятиями открытого и замкну- того множества. Последние понятия, в свою очередь, непосред- ственно связаны с понятиями окрестности и предельной точки множества. Пусть a произвольная точка пространства R n и пусть r произвольное положительное число. Множество S точек из R n , расстояние которых до точки a меньше, чем r, называется шаром радиуса r с центром в a. Всякий шар S с центром в a называется окрестностью точки a. Множество G точек про- странства R n называется открытым, если для всякой точки a ? G существует ее окрестность, целиком содержащаяся в множестве G. Пусть M произвольное множество в пространстве R n Точка a ? R n называется предельной точкой множества M, если каждая ее окрестность содержит точку множества M, от- личную от a. Множество F точек пространства R n называется замкнутым, если каждая его предельная точка принадлежит F Теорема 1. Дополнение к любому открытому множе- ству замкнуто, а дополнение к любому замкнутому множе- ству открыто. Более того, объединение любой системы от- крытых множеств открыто, а пересечение любой системы замкнутых множеств замкнуто. Оказывается также, что пересечение любого конечного числа открытых множеств открыто, а объединение любого конечного числа замкнутых множеств замкнуто. Доказательство. Прежде всего, покажем, что дополне- ние к любому открытому множеству замкнуто, а дополнение к любому замкнутому множеству открыто. 20 Гл. 1. Основы многомерного анализа Пусть G некоторое множество действительных чисел, а F его дополнение. Предположим, что G открытое мно- жество, и покажем, что в этом случае F замкнутое мно- жество. Для этого обозначим через a некоторую предельную точку множества F и покажем, что a ? F . В самом деле, если точка a не принадлежит множеству F , то a ? G. Тогда, поскольку множество G по условию откры- то, то существует окрестность S(a) точки a, целиком содержа- щаяся в G и, следовательно, не содержащая ни одной точки множества F , отличной от a. Последнее, однако, невозможно, поскольку точка a является предельной точкой множества F , т.е. a ? F . Допустим теперь, что множество F замкнуто и докажем, что множество G открыто. Пусть a произвольная точка из G. Так как эта точка не может принадлежать множеству F в силу его замкнутости, она также не является предельной точкой для F , т.е. суще- ствует окрестность S(a) точки a, не содержащая отличных от a точек множества F . Но точка a не принадлежит множеству F и, потому, вся окрестность S(a) содержится в множестве G. Следовательно, множество G открыто. Покажем теперь, что объединение G любой системы ? от- крытых множеств открыто. В самом деле, пусть G k произвольное множество из си- стемы ? и пусть a произвольная точка множества G k . По- скольку множество G k открыто, существует окрестность S(a) точки a, целиком содержащаяся в множестве G k . Но множе- ство G k само целиком содержится в множестве G и, следова- тельно, S(a) ? G, т.е. множество G открыто. Покажем теперь, что пересечение любого конечного числа открытых множеств открыто. Пусть G 1 , G 2 , . . . , G k конечная система ? открытых множеств и пусть a произ- вольная точка, принадлежащая к пересечению G = G 1 ? G 2 ? . . . ? G k џ1. Топология евклидовых пространств 21 множеств системы ?. Поскольку точка a принадлежит к каж- дому из множеств G i системы ?, а множество G i открыто, то существует окрестность S(a, r i ) радиуса r i точки a, целиком содержащаяся в множестве G i . Обозначим через r наимень- шее из чисел r 1 , r 2 , . . . , r k . Тогда окрестность S(a, r) точки a содержится в каждом из множеств G i выбранной выше систе- мы ? и, следовательно, принадлежит множеству G. Поэтому множество G открыто. |