Сал. Задача о распаде радия
 Скачать 1.78 Mb.
|
|
Дифференциальные уравнения Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Методы решения дифференциальных уравнений первого порядка Дифференциальные уравнения высших порядков. В дифференциальных уравнениях неизвестная функция содержится вместе со своими производными. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является изучение функций, представляющих собой решения этих уравнений. Пусть х(t) - количество радия в момент времени t. Задача о распаде радия Математические модели обладают свойством общности. Из результатов биологических опытов следует, что процесс размножения бактерий также описывается урав- нением ( ). Данным уравнением описывается модель естественного роста выпуска продукции Минус из-за того, что количество уменьшается Дифференциальные уравнения занимают особое место в математике и имеют многочисленные приложения в большом спектре наук. Исследования природных процессов и изучение закономерностей общественных процессов приводят к построению математических моделей, основой которых являются дифференциальные уравнения. По условию «скорость распада радия пропорциональна его наличному количеству x»: 𝑥′ 𝑡 = −𝑘 ∙ 𝑥 𝑡 (*) ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением , если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения Пример. 0 5 8 3 x y y x y x dx dy xy dx y d x 2 2 2 0 2 y z xy x z y 0 ,..., , , n y y y x F Обыкновенное дифференциальное уравнение : Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = φ(x), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество. Интегральной кривой называется график решения дифференциального уравнения y = φ(x) на плоскости ХОY. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения . Если решениедифференциального уравнения представлено в неявном виде Ф(х,у)=0, то оно называется интегралом дифференциального уравнения. Пример. 𝑦 ′ = 𝑥 2 Общее решение дифференциального уравнения – это множество решений, содержащее все без исключения решения этого дифференциального уравнения . Общее решение дифференциального уравнения записанное в неявном виде называют общим интегралом дифференциального уравнения 0 , , y y x F Теорема Коши (существования и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка) Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную, то какова бы не была точка (х 0 , у 0 ) в области D, существует единственное решение y= φ(х) уравнения yʹ=f(x, y), определенное в некотором интервале, содержащем точку х 0 , принимающее при х = х 0 значение φ(х 0 ) = у 0 , т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка: Решение вида 𝑦 = 𝜑 𝑥, 𝐶 0 называется частным решением дифференциального уравнения. Задачей Коши называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида 𝑦 = 𝜑 𝑥, 𝐶 0 , удовлетворяющего начальным условиям 𝑦 𝑥 0 = 𝑦 0 Огюсте́н Луи́ Коши́ (1789—1857) — французский математик и механик, член Парижской академии наук, Лондонского королевского общества, Петербургской академии наук и других академий. Особым решением дифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого условие единственности Коши не выполняется, т.е. в окрестности некоторой точки (x,y) существует не менее двух интегральных кривых. Особые решения не зависят от постоянной С. Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С. Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой. Пусть требуется решить уравнение (y') 2 − 4y = 0 Общее решение данного уравнения описывается функцией y = (x + C) 2 Функция y=0 также удовлетворяет дифференциальному уравнению. Однако эта функция не содержится в общем решении! Данная прямая является особым решением дифференциального уравнения. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида: 0 , , y y x F y x f y , – уравнение, разрешенное относительно производной 0 , , , dy dx y x f dx y x f dy y x f dx dy 0 , , , , , y x Q y x Q y x P y x f 0 , , dy y x Q dx y x P симметричная форма дифференциального уравнения первого порядка Рассмотрим уравнение вида 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑦′ = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 - определена в некоторой области G плоскости Oxy Это уравнение в каждой точке области G задает значение углового коэффициента касательной к проходящему через эту точку графика решения дифференциального уравнения. Если в точках области G отметить с помощью отрезка касательную, определяемую значением 𝑓 𝑥, 𝑦 , то получим поле направлений Изучая поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением, можно получить некоторое представление об интегральных кривых этого уравнения, а иногда и сами кривые. 𝑦′ = 𝑦 𝑥 Пример Пример 𝑦 ′ = − 𝑥 𝑦 При изучении поля направлений особый интерес представляют собой изоклины – линии, во всех точках которых направление поля одно и то же, т.е. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 1 . Уравнения вида x f y C dx x f y x f dx dy dx x f dy (уравнение не содержащее неизвестную функцию) Пример: 2 1 1 x y 2. Уравнения вида y f y (уравнение не содержащее независимую переменную) y f dx dy dx y f dy C y f dy x Пример: 2 1 1 y y Решите дифференциальное уравнение Решите дифференциальное уравнение Решение. Решение. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными 0 dy y Q dx x P C dy y Q dx x P Пример. 0 3 sin 5 dy e xdx y Решение. Решите дифференциальное уравнение Задача Коши: 0 2 2 1 1 dy y Q x P dx y Q x P ) ( ) ( 1 2 1 x P y Q 0 1 2 2 1 dy y Q y Q dx x P x P Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Пример. Решение. Решите дифференциальное уравнение Общее решение: Решение задачи Коши: Решить дифференциальные уравнения 1. 2. 4. 3. Однородные уравнения y x f t ty tx f n , , Функция 𝑓 𝑥, 𝑦 называется однородной n–го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество: Дифференциальное уравнение вида 𝑦 ′ = 𝑓 𝑥, 𝑦 называется однородным , если его правая часть 𝑓 𝑥, 𝑦 есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов. Оно приводится к виду x y dx dy С помощью подстановки , ux y u x u y однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными Пример. Решение. 1 ln x y x y y Решите дифференциальное уравнение Решить дифференциальные уравнения 1. (x + 2y) dx − xdy = 0. 2. (y 2 − 2xy)dx + x 2 dy = 0. (2 x − 4y + 6)dx + (x + y − 3)dy = 0. Пример. Решение. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде: - линейное приведенное д.у. C=C(x) 3 ) 0 ( ; 2 sin 2 cos y x y x y' v'u u'v y' uv; y Задача Коши: Пример. Решение. Пример. Решение. Замечание: Встречаются дифференциальные уравнения I-го порядка, являющиеся линейными относительно x, а не y. Тогда x=x(y) – функция, у – аргумент. Уравнение имеет вид: Пример. Решение. Уравнения в полных дифференциалах Уравнение называется уравнением в полных дифференциалах , если его левая часть является дифференциалом некоторой функции u(x;y): В этом случае u(x;y)=С – есть общий интеграл данного дифференциального уравнения Функция u(x;y) может быть найдена из системы уравнений: 0 4 6 6 3 3 2 2 2 dy y y x dx xy x - уравнение в полных дифференциалах Пример. Решение. Предположим что торговыми учреждениями реализуется продукция B, о которой в момент времени t из числа потенциальных покупателей N знает лишь x покупателей. Предположим далее, что для ускорения сбыта продукции B были даны рекламные объявления по радио и телевидению. Последующая информация о продукции распространяется среди покупателей посредством общения друг с другом. С большой степенью достоверности можно считать, что после рекламных объявлений скорость изменения числа знающих о продукции B пропорциональна как числу знающих о товаре покупателей, так и числу покупателей, о нем еще не знающих. с начальными условиями x= N/γ при t=0. В уравнение коэффициент k – это положительный коэффициент пропорциональности. Эффективность рекламы Если условится, что время отсчитывается после рекламных объявлений, когда о товаре узнало N/γ человек , то приходим к дифференциальному уравнению Интегрируем это уравнение (уравнение с разделяющимися переменными) Экономический пример Доход Y(t), полученный к моменту времени t некоторой отраслью, является суммой инвестиций I(t)b и величиной потребления C(t), т.е. 𝑌 𝑡 = 𝐼 𝑡 + 𝐶 𝑡 Скорость увеличения дохода пропорциональна величине инвестиций, т.е. 𝑏𝑌′ 𝑡 = 𝐼 𝑡 Где 𝑏 - коэффициент капиталоемкости прироста дохода 𝑌 𝑡 = 𝑏𝑌′ 𝑡 + 𝐶 𝑡 Таким образом, для нахождения динамики дохода получаем линейное дифференциальное уравнение: Пример. Решение. Найти функцию дохода 𝑌 = 𝑌 𝑡 , если известно, что величина потребления задается функцией 𝐶 𝑡 = 2𝑡; коэффициент капиталоемкости прироста дохода 𝑏 = 1/2, 𝑌 0 = 2 Изменение дохода Экономический пример 0 ,..., , , n y y y x F Общее решение дифференциального уравнения Общий интеграл дифференциального уравнения Задача Коши – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям где Краевая задача – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющего дополнительным условиям в граничных точках x 0 и x 1 : Краевую задачу часто называют граничной задачей Рассмотрим дифференциальное уравнение n-го порядка: 𝑦 = 𝜑 𝑥, 𝐶 1 , 𝐶 2 , … , 𝐶 𝑛 , 𝐶 1 , 𝐶 2 , … , 𝐶 𝑛 =const ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Уравнения, допускающие понижение порядка Уравнения вида x f y n x f b x a Если – функция непрерывная на некотором промежутке то решение может быть найдено последовательным интегрированием. ! 2 ! 1 ; ; 2 2 1 1 2 1 2 1 1 n n n n n C n x C n x C dx x f dx dx y C dx C dx x f y C dx x f y Пример. Решить уравнение x e y 2 с начальными условиями 0 ; 1 ; 1 ; 0 0 0 0 0 y y y x Решение. Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k–1 включительно 0 , , , , 1 n k k y y y x F В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц Для этого производят замену переменной: k n n k k z y z y z y ; ; ; 1 0 ,..., , , k n z z z x F Совокупность его решений: k n C C C x z , , , , 2 1 Обратная подстановка: k n k C C C x y , , , , 2 1 Интегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем n C C C x y , , , , 2 1 Пример. Найти общее решение уравнения x y y Решение. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной 0 ,..., , n y y y F Порядок таких уравнений может быть понижен на единицу с помощью замены переменных p y p dy dp dx dy dy y d dx y d y p dy dp p dy p d p dy p dy dp d p dy y d dx dy dy y d dx y d y 2 2 2 2 0 , , , , 1 1 1 n n dy p d dy dp p y F Совокупность его решений 0 , , , , , 1 2 1 n C C C p y и т.д. для решения данного дифференциального уравнения остается решить уравнение первого порядка: 0 , , , , , 1 2 1 n C C C y y Найти общее решение уравнения Пример. 0 4 2 y y y y y Решение. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков x f y p y p y p y p y p n n n n n 1 2 2 1 1 0 где n p p p , , , 1 0 – функции от х или постоянные величины, причем 0 0 p Обозначим y p y p y p y p y p y L n n n n n 1 2 2 1 1 0 - линейный дифференциальный оператор 1) y CL Cy L 2) 2 1 2 1 y L y L y y L Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами 0 1 2 2 1 1 0 y p y p y p y p y p n n n n n Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами: Структура общего решения 1 1 2 1 1 2 1 2 1 n n n n n n y y y y y y y y y W то этот определитель называется определителем Вронского (вронскиниан). Теорема. Теорема. Теорема. Теорема. n n y C y C y C y 2 2 1 1 i C – постоянные коэффициенты Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами x f y p y p y p y p y p n n n n n 1 2 2 1 1 0 Уравнение вида называют неоднородным линейным уравнением Общее решение неоднородного линейного уравнения Если известна фундаментальная система решений, то частное решение можно найти методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) n n oo y C y C y C y 2 2 1 1 n n чн y x C y x C y x C y 2 2 1 1 0 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 2 1 p x f y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x C n n n n n n n n n dx x x C i i n i x x C i i , 1 , Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Решение дифференциального уравнения вида 0 1 1 y a y a y n n n или 0 y L будем искать в виде kx e y , где const k Т.к. то kx n n kx kx kx e k y e k y e k y ke y , , , , 3 2 n n n kx kx a k a k e e L 1 1 Многочлен n n n a k a k x F 1 1 - характеристический многочлен дифференциального уравнения. 0 kx e L 0 k F e kx 0 kx e 0 k F – характеристическое уравнение Характеристическое уравнение 0 1 1 n n n a k a k имеет n корней Каждому корню характеристического уравнения i k соответствует решение д.у. Общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: Комплексные числа Рассмотрим уравнение 0 1 2 x 1 2 x 1 2 i Введем мнимую единицу i x i x 2 2 Символ i для обозначения мнимой единицы предложил Эйлер ( 1777 , опубл. 1794 ), взявший для этого первую букву слова лат. imaginarius — мнимый. Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i 2 = –1.Число a называется абсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами. Обозначаются: 𝑧 и 𝑧 Основные договорённости: 1. Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a+ 0 i или a – 0 i.Например, записи 5 + 0 i и 5 – 0 i означают одно и то же число 5 . 2. Комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом .Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi. 3. Два комплексных числа a+ bi и c+ di считаются равными, если a= c и b= d. В противном случае комплексные числа не равны. Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат). 2 2 b a ib a r Аргумент комплексного числа - это угол между осью OX и радиус-вектором соответствующей точки комплексной плоскости ib a arg a b tg Действия над комплексными числами Суммой комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число ( a+ c ) + ( b+ d ) i. Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты. Сложение. Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое) называется комплексное число ( a – c ) + ( b – d ) i. Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты. Умножение. Произведением комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число: ( ac – bd ) + ( ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований: 1) числа a+ bi и c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены, 2) число i обладает основным свойством: i 2 = –1. Разделить комплексное число a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) - значит найти третье число e+ f i (частное), которое будучи умноженным на делитель c+ di, даёт в результате делимое a+ bi. Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно. Деление. 2 2 2 2 2 b a b i a ib a ib a Пример . Пример . i i i i i i i i i i i 2 1 13 26 13 9 4 3 24 2 16 3 2 3 2 3 2 8 3 2 8 2 Тригонометрическая форма комплексного числа. sin cos i r b i a Показательная форма комплексного числа. i re z Пример. Решить уравнение 0 y y Решение Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Уравнения с правой частью специального вида x f y a y a y a y a y a n n n n n 1 2 2 1 1 0 Уравнение вида называют неоднородным линейным уравнением Общее решение неоднородного линейного уравнения Правая часть д.у. Корни характеристического уравнения (х.у.) Вид частного решения 1. Число 0 не является корнем х.у. Число 0 - корень х.у. кратности 2. Число не является корнем х.у. Число - корень х.у. кратности 3. Число ·i не является корнем х.у. Число ·i - корень х.у. кратности 4. Число + ·i не является корнем х.у. Число + ·i - корень х.у. кратности m m m m A x A x A x P 1 1 0 x P x f m m m m m B x B x B x M 1 1 0 x M y m чн x M x y m чн x P e x f m x x M e y m x чн x M e x y m x чн x x Q x x P x f n m sin cos ) , max( , sin cos n m S x x N x x M y S S чн ) , max( , sin cos n m S x x N x x M x y S S чн ) , max( , sin cos n m S x x N x x M e y S S x чн ) , max( , sin cos n m S x x N x x M e x y S S x чн ) sin cos ( x x Q x x P e x f n m x Пример. Решить уравнение x e y y y x 2 sin 8 4 2 Решение Пример. Решить уравнение x x y y 2 cos sin Решение Экономический пример Модель рынка с прогнозируемыми ценами В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар. Однако спрос и предложение в реальных ситуациях зависят еще и от тенденции ценообразования и темпов изменения цены. В моделях с непрерывными и дифференцируемыми по времени t функциями эти характеристики описываются соответственно первой и второй производными функции цены p(t). Пример. Пусть функции спроса D и предложения S имеют следующие зависимости от цены Р и ее производных: 𝐷 𝑡 = 3𝑝 ′′ − 𝑝 ′ − 2𝑝 + 18 𝑆 𝑡 = 4𝑝 ′′ + 𝑝 ′ + 3𝑝 + 3 Принятые в зависимости вполне реалистичны: поясним это на слагаемых с производными функции цены. 1. Спрос "подогревается" темпом изменения цены: если темп растет ( 𝑝 ′′ > 0), то рынок увеличивает интерес к товару, и наоборот. Быстрый рост цены отпугивает покупателя, поэтому слагаемое с первой производной функции цены входит со знаком минус. 2. Предложение в еще большей мере усиливается темпом изменения цены, поэтому коэффициент при 𝑝 ′′ в функции S(t) Больше, чем в D(t). Рост цены также увеличивает предложение, потому слагаемое, содержащее p', входит в выражение для S(t) со знаком плюс. Требуется установить зависимость цены от времени. Решение Поскольку равновесное состояние рынка характеризуется равенством D = S, приравняем правые части уравнений. После приведения подобных получаем |