задание. говно. Задача преподавания геометрии развить у учащихся соответствующие три качества пространственное воображение, практическое понимание и логическое мышление. При этом решаются следующие задачи
 Скачать 0.63 Mb.
|
|
25. Задача преподавания геометрии - развить у учащихся соответствующие три качества: пространственное воображение, практическое понимание и логическое мышление. При этом решаются следующие задачи: 1) приобретение систематических сведений об основных фигурах на плоскости и их важнейших свойствах; 2) формирование представления о равенстве и подобии фигур, основных типах геометрических преобразований и их применении в геометрии; 3) формирование навыков построений, измерение и вычисление длин, углов и площадей; 4) ознакомление с применением аналитического аппарата для решения геометрических задач (алгебраическими преобразованиями и уравнениями, элементами тригонометрии, аналитической геометрии и векторной алгебры). В программе по математике перечислены умения, которые должны быть результатом решения этих задач: - изображать геометрические фигуры, данные в условиях задач и теорем; - выделять известные фигуры на чертежах и моделях; - решать типичные задачи на доказательство, вычисление и построение; - вычислять значения геометрических величин; - выполнять основные построения циркулем и линейкой; - решать несложные комбинированные задачи; - применять аппарат алгебры и тригонометрии в ходе решения геометрических задач; - использовать векторы и координаты для решения стандартных задач. 26. Образовательная: Сообщение геометрических сведений. Сформировать умения использовать фундаментальные геометрические понятия и идеи для решения математических и прикладных задач; школьник должен знать: фундаментальные геометрические понятия (пространство, точка, прямая, плоскость, аксиома, вектор, многогранник…); уметь: решать задачи на нахождение площадей многоугольников, решать задачи на доказательство геометрических утверждений, владеть: опытом решения задач… Развивающая: сформировать пространственное, образное и логическое мышление. Школьник должен уметь: строить логические цепочки, приводящие к истинному положению; мог охватывать сразу весь чертеж (сначала простой, потом – посложнее) и улавливать те соотношения между элементами чертежа, которые могут быть нужны при решении данного вопроса Воспитательная: сформировать понимание того, что в основе научного мировоззрения лежат формы как объекты абстракции, честность, правдивость, настойчивость и мужество. Школьник должен уметь: преодолевать познавательные затруднения. 27. Суть аксиоматического метода построения научной теории состоит в следующем: перечисляются основные (неопределяемые) понятия, все вновь возникающие понятия должны быть определены через основные понятия и понятия, определенные ранее. Основные понятия делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми занимается теория, другие обозначают отношения между ними. Так, точка и прямая – это объекты геометрии, а то, что точка принадлежит прямой, – отношение между ними. Необходимость введения основных понятий очевидна, так как процесс, состоящий в том, чтобы определить одни объекты через другие, более простые, а эти в свою очередь через еще более простые, не будет ограничен до тех пор, пока некоторые объекты не будут считаться неопределимыми. Далее формулируются аксиомы – предложения, принимаемые без доказательства. Доказывая какое-либо утверждение, опираются на некоторые предпосылки, которые считаются известными. Но эти предпосылки необходимо в свою очередь обосновать, опираясь на другие, и т. д. Чтобы оборвать эту бесконечную последовательность, вводят аксиомы – предпосылки, которые принимаются за исходные и составляют основу для доказательства теорем. Все остальные предложения должны являться логическим следствием аксиом или ранее доказанных утверждений. Список основных понятий и формулировки аксиом составляет основу теории и, в частности, планиметрии. Необходимо отметить, что основные понятия и аксиомы (назовем их кратко системой) вовсе не обязательно имеют отношение к окружающему нас реальному миру (пример такой системы – система неевклидовой геометрии). Они являются основой абстрактной теории, которая выводится как логическое их следствие, безотносительно к тому, верна исходная система или нет с нашей точки зрения. Для того чтобы абстрактная теория приобрела определенный смысл, необходимо найти объект-модель, т.е. указать систему конкретных объектов и отношений между ними так, чтобы соблюдались установленные аксиомы. Такую модель иначе называют еще интерпретацией аксиоматики. Таким образом, изучаемая нами геометрия является моделью утвержденной ранее системы, в которой точку мы представляем как идеализацию следа остро отточенного карандаша, прямую – как идеализацию туго натянутой нити, а плоскость – как идеализацию гладкой поверхности стола. 28. Сравнительный анализ аксиоматики Гильберта и системы аксиом школьного учебника Атанасяна Л.С. Аксиоматика Гильберта содержит 20 аксиом, которые поделены на 5 групп. I группа Аксиомы принадлежности Аксиомы Гильберта этой группы описывают свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей. В учебнике Атанасяна аксиомы этой группы также характеризуют взаимное расположение точек, прямых и плоскостей. Но в аксиоматике Гильберта их всего восемь, а в учебнике Атанасяна к этой группе аксиом относится десять аксиом. Гильберт в своих аксиомах использует названия точек А и В, названия плоскостей и , а также название прямой а. В учебнике же не используются названия точек, кроме точки О, которая фигурирует как разделительная точка прямой, также имеются названия прямой и плоскости. В школьную аксиоматику включены аксиомы, имеющие понятие луча, полуплоскости и полупространства, чего нет в I группе аксиоматики Гильберта. Ещё одной особенностью аксиом данной группы является то, что в аксиоматике Гильберта используется термин "Каковы бы ни былидве точки…", а с другой стороны в школьном учебнике используется термин "Через любые две (три) точки…". Аксиомы Атанасяна с 1 по 7 построены более упрощенно для понимания школьника, но каждая из аксиом с 8 по 10 дают сразу несколько разных отношений для плоскостей, точек, лучей, пространства и полупространства, что может вызвать затруднение в общем понимании отдельно взятой аксиомы. Попробуем провести соответствие аксиом Гильберта и аксиом школьного учебника Атанасяна: I1 Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, проходящая через эти точки. I2 Каковы бы ни были две точки А и В, существует не более одной прямой, проходящей через эти точки. Этим аксиомам соответствует аксиома учебника: Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. Следующая аксиома Гильберта: I3 На каждой прямой лежит, по крайней мере, две точки. Существует, по крайней мере, три точки, не лежащие на одной прямой. Аксиома учебника включает также понятие плоскости: На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки. Аксиомы Гильберта: I4 Каковы бы ни были три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, существует плоскость , проходящая через эти точки. На каждой плоскости лежит хотя бы одна точка. учебник геометрия аксиома гильберт I5 Каковы бы ни были три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через эти точки. Им соответствует одна аксиома учебника: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна. Аксиома Гильберта: I6 Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости , то каждая точка прямой а лежит в плоскости . Ей соответствует: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Аксиома Гильберта: I7 Если две плоскости и имеют общую точку А, то они имеют еще, по крайней мере, одну общую точку В. В соответствие этой аксиоме: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Аксиома Гильберта: I8 Существуют, по крайней мере, четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Ей соответствует аксиома: Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой, и по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Следующие аксиомы школьного учебника содержат такие понятия, как "принадлежать", "лежать между" и входят в состав одной (первой) группы аксиом: 1. Каждая точка О прямой разделяет её на две части - два луча - так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О. При этом точка О не принадлежит ни одному из указанных лучей. 2. Каждая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны прямой а. При этом точки прямой а не принадлежат ни одной из этих полуплоскостей. 3. Каждая плоскость б разделяет пространство на две части (два полупространства) так, что любые две точки одного и того же полупространства лежат по одну сторону от плоскости б, а любые две точки разных полупространств лежат по разные стороны от плоскости б. II группа Аксиомы порядка Вторая труппа аксиом Гильберта описывает основные свойства неопределяемого отношения "лежать между" для точек, расположенных на одной прямой. II1 Если точка В лежит между точками А и С, то А.В. С - различные точки одной прямой и В лежит также между С и А. II2 Для любых двух точек А и С на прямой АС существует по крайней мере одна точка В такая, что С лежит между А и В. II3 Из трех точек прямой не более одной точки лежит между двумя другими. II4 Пусть А, В. С - три точки, не лежащие на одной прямой, и а - прямая в плоскости (АВС), не проходящая ни через одну из точек А, В.С. Тогда если прямая а проходит через одну из точек отрезка АВ, то она проходит также через одну из точек отрезка АС или через точку отрезка ВС. Аксиоме II2 и II3 соответствует следующая аксиома школьного учебника: Из трёх точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими. Во II группу аксиом Гильберта не входят такие понятия как пространство, полупространство, луч, полуплоскость. Об этом говорилось выше. III группа Аксиомы конгруэнтности Основным неопределяемым понятием в этой группе аксиом Гильберта является понятие "конгруэнтности", или "равенства", отрезков и углов. Будем использовать слово равенство и обозначения: AB = CD (для отрезков) и или ; (для углов). III1 Если А и В - две точки прямой а и А' - точка на той же прямой или на другой прямой , то всегда можно найти по данную от точки А' сторону прямой а' такую точку , что АВ = A. Для каждого отрезка АВ требуется АВ = ВА. ' III2 Если и , то . III3 Пусть АВ и BC - два отрезка прямой а, не имеющие общих внутренних точек, и пусть и В'С' - два отрезка на той же или другой прямой , тоже не имеющие общих точек. Если и , то . III4. Пусть в некоторой плоскости даны угол hk и луч h'. Тогда в заданной полуплоскости относительно прямой, содержащей луч , существует и единственный луч k' такой, что , и все внутренние точки лежат в заданной полуплоскости. Каждый угол равен самому себе: . III5 Пусть А, В, С - три точки, не лежащие на одной прямой, и - тоже три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом и , то и . Сравним эту группу аксиом с аксиомами учебника Атанасяна. Во-первых: Гильберт не использует такое понятие как "наложение". Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки. Также нет в аксиомах Гильберта такого понятия как "неразвернутый угол". От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один. Во-вторых, в школьном учебнике практически нет обозначений отрезков, углов, которые используются у Гильберта, но введено такое понятие как "фигура", обозначается буквой Ф. И если у Гильберта рассматривается равенство отрезков, как в аксиоме III2, то у Атанасяна рассматривается равенство фигур. Если фигура Ф равна фигуре Ф1, то фигура Ф1 равна фигуре Ф. Если фигура Ф1 равна фигуре Ф2, а фигура Ф2 равна фигуре Ф3, то фигура Ф1 равна фигуре Ф3. В аксиоме Гильберта III4 имеется утверждение: Каждый угол равен самому себе: . В аксиоматике Атанасяна имеется отдельная аксиома: Любая фигура равна самой себе. Имеется также аксиома, показывающая совмещение углов наложением: Два равных угла hk и h1k1, лежащие в плоскостях, являющихся границами полупространств P и P1, можно совместить наложением так, что при этом совместятся полупространства P и P1, причем это можно сделать двумя способами: в одном случае совместятся лучи h и h1, k и k1, а в другом лучи h и k1, k и h1. IV группа. Аксиомы непрерывности Основное назначение этой группы аксиом состоит в том, чтобы ввести длину отрезка и величину угла, а также описать свойства непрерывности расположения точек на прямой. IV1. Пусть АВ и CD - произвольные отрезки. Тогда на луче АВ существует конечное число точек , расположенных так, что точка А1лежит между А и А2, точка А2лежит между А1, и А3и т.д., отрезки равны отрезку СD иточка В лежит между А и Ап. IV2. Пусть, на какой угодно прямой а, дана бесконечная последовательность отрезков , из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего; пусть далее, каким бы ни был заранее данный отрезок, найдется номер n, для которого меньше этого отрезка. Тогда на прямой а существует точка, лежащая внутри всех отрезков . В учебнике Атанасяна эта группа аксиом представлена двумя аксиомами, которые характеризуют измерение отрезков: При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом. V группа Аксиома параллельности У Гильберта данная аксиома звучит так: V. Даны: прямая а и, не принадлежащая ей, точка A. В плоскости, определяемой прямой а и точкой A, существует не более одной прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой а. В учебнике Атанасяна дана очень схожая формулировка, не имеющая, правда обозначений для плоскости, прямой и точки. В любой плоскости через точку, не лежащую на данной прямой этой плоскости, проходит только одна прямая, параллельная данной. 29. Рассуждение с целью обоснования истинности какого-либо утверждения есть доказательство. Существуют различные методы доказательства теорем. Под методом доказательствабудем понимать способ связи аргументов при переходе от условия к заключению суждения. Методы доказательства, используемые в школьном курсе математики, можно выделить по двум основаниям: по пути обоснования тезиса (прямое и косвенное); по математическому аппарату, используемому в доказательстве. К прямым приемам доказательстваотносятся: 1. Прием преобразования условия суждения (синтетический). 2. Прием преобразования заключения суждения: а) отыскание достаточных оснований справедливости заключения (восходящий анализ); б) отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждений (нисходящий анализ). 3. Прием последовательного преобразования то условия, то заключения суждения. К косвенным приемам поиска доказательствотносятся: 1. Метод “от противного” (истинность доказываемого тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждения). 2. Разделительный метод или метод разделения условий (тезис рассматривается как один из возможных вариантов предположений, когда все предположения отвергаются, кроме одного), иначе этот метод называют методом исключения. К методам доказательства, выделенным по второму основанию, когда способ связи аргументов согласуется с определенной математической теорией в школьном курсе математики, относятся: 1. Метод геометрических преобразований. Этот метод в школе используется как средство обоснования некоторых отношений между элементами евклидовой геометрии. Состоит он из выполнения последовательности шагов: выбирается геометрическое преобразование, обладающее свойством, которое позволяет обосновать наличие указанного отношения между объектами евклидовой геометрии; выполняется преобразование, при котором один объект переходит в другой; обосновывается наличие указанного отношения между объектами с помощью свойств выбранного геометрического преобразования. 2. Алгебраические методы(уравнений, неравенств, тождественных преобразований). 3. Векторный метод,использующий аппарат векторной алгебры. 4. Координатный метод, Координатный метод - это способ определения положения точки на прямой, на плоскости или в пространстве с помощью чисел (например, в декартовой системы координат ли какой-либо другой). Используя координатный метод, алгебраические уравнения можно истолковать в виде геометрических образов (графиков или фигур) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических выражений (уравнений, неравенств или их систем). 30. Методические рекомендации по решению задач геометрическим методом 1. При решении задач геометрическим методом используются теоремы и факты проективной геометрии, например, теоремы Паппа, Дезарга, Паскаля, Брианшона, свойства полного четырехвершинника. 2. При решении задач геометрическим методом из данных задачи необходимо выделить какую-либо известную фигуру или комбинацию нескольких фигур проективной плоскости, например, два трехвершинника, шестивершинник, вписанный в овальную линию второго порядка, шестисторонник, описанный около овальной линии второго порядка, полный четырехвершинник и др.. 3. Чтобы применить проективную теорему, необходимо: а) четко выделить в формулировке этой теоремы условие и заключение; б) пользуясь условием задачи, а также свойствами данных фигур, доказать, что выполняется условие теоремы; в) применить теорему и сделать соответствующее заключение. В основной школе традиционно изучается курс планиметрии, содержание которого определяется “Программой для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 классы” [17]. Оно группируется вокруг нескольких стержневых содержательно-методических линий: “Геометрические фигуры и их свойства”, “Геометрические величины”, “Векторы”. Наибольшую остроту в обсуждении вопросов содержания курса планиметрии приобрел вопрос о включении в него линии геометрических преобразований. В настоящее время этот вопрос решен в пользу традиционного содержания: геометрические преобразования изучаются как периферийный вопрос курса. Вернемся к основным содержательно-методическим линиям курса планиметрии. Вопросы их изучения будут подробно рассматриваться далее. Сейчас же ограничимся краткими пояснениями. Раздел “Геометрические фигуры и их свойства” является основным. Его изучению посвящен материал 7-го класса, значительная часть материала 8-го и 9-го классов. Изложение практически во всех учебниках ведется традиционно. Аналогично обстоит дело с содержательно-методической линией “Геометрические величины”: она представлена также преимущественно традиционно, появляясь в курсе планиметрии по мере надобности. Векторы впервые вошли в курс геометрии отечественной школы только в середине 70-х годов XX в. и получили всеобщее признание в силу большой общеобразовательной значимости и обширных практических приложений. Однако методика применения векторов к решению задач, а тем более использования векторного метода в теории находится еще в стадии разработки. Поэтому векторы недостаточно широко используются в современном курсе планиметрии. С ними, по-видимому, могут быть связаны перспективы курса, как, впрочем, и с линией геометрических преобразований. Основное содержание школьного курса планиметрии своими истоками имеет “Начала” Евклида. Все попытки “отойти от Евклида”, в том числе предпринимавшиеся в отечественном образовании в 70-е годы XX в., оказались неудачными. 31. Задачи выделения из всей совокупности решений такого решения, которое обладает некоторым свойством в максимальной или минимальной степени, обычно называются экстремальными или оптимизационными. Приведем примеры экстремальных комбинаторных задач. 1) Задача коммивояжера: заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города точно по одному разу с последующим возвратом в исходный город. 2) Задача о рюкзаке. Постановка задачи следующая. Пусть имеется набор предметов, каждый из которых имеет два параметра — вес и ценность, и есть рюкзак, определенной вместимости. Задача заключается в том, чтобы собрать рюкзак с максимальной ценностью предметов внутри, соблюдая при этом весовое ограничение рюкзака. 3) Задача о назначениях - задача о наилучшем распределении некоторого числа работ между таким же числом исполнителей при условии взаимно однозначного соответствия между множествами работ и исполнителей. 4) Задачи теории расписаний. В этих задачах требования обслуживаются приборами и нужно составить такие перестановки обслуживания требований, которые были бы оптимальными по тому или иному критерию. 32. https://univerlib.com/mathematical_analysis/limit_sequence/infinite_sequence/ 33. https://www.hse.ru/data/2010/10/25/1222763003/Лекция%2004.pdf страница 10 34. http://math4school.ru/predel_neprerivnost_funkcii.html 35. https://infotables.ru/matematika/59-differentsialnoe-ischislenie/583-ponyatie-proizvodnoj 36.  37. Что такое исследование функции Одна из важных задач исследования функции — определение промежутков её возрастания и убывания. Как отмечалось, в тех точках, в которых функция возрастает, её производная (угловой коэффициент касательной) положительная, а в точках убывания функции её производная отрицательная  Правильными будут следующие утверждения. Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительная, то функция на этом промежутке возрастает. Если производная в каждой точке промежутка отрицательная, то функция на этом промежутке убывает. Если производная в каждой точке промежутка тождественно равна нулю, то на этом промежутке функция постоянная. Строгое доказательство этого утверждения достаточно громоздкое, поэтому мы его не приводим. Заметим только, что в нём выражается достаточный признак возрастания или убывания функции, но не необходимый. Поэтому функция может возрастать и на промежутке, в некоторых точках которого она не имеет производной. Например, функция   Из сказанного следует, что два соседних промежутка, на одном из которых функция возрастает, а на другом — убывает, могут разделяться только такой точкой, в которой производная функции равна нулю или не существует. Внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции. Следовательно, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции  нужно решить неравенства  или найти все критические точки функции,разбить ими область определения функции на промежутки, а потом исследовать, на каких из них функция возрастает, а на каких — убывает. 38. Функция F (х) называется первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения на заданном промежутке, если для любого х из этого промежутке F' (х) = f (х).    https://www.evkova.org/integral#Правила%20нахождения%20первообразных%20(правила%20интегрирования) 39.  https://www.evkova.org/metodyi-integrirovaniya-neopredelennogo-integrala#Замена%20переменной%20в%20неопределенном%20интеграле 40. https://www.evkova.org/opredelyonnyij-integral#Понятие%20определенного%20интеграла |