орит. Задача с 68(а)

• Название: Задача с 68(а)
• Дата: 16.05.2023
• Размер: 7.51 Mb.
• Имя файла: Diffury_Metody_reshenia.pdf
• Тип: Задача; #1136653
• страница: 3 из 3

совпали с корнями
i



3 2
,
1

, поэтому:
)
sin cos
(
)
sin cos
(

3 3
x
Вx
x
Ax
e
x
B
x
A
e
x
y
x
x







V. Характеристическое уравнение имеет сопряженные,
чисто мнимые комплексные корни:
i




2
,
1
В таком диффуре отсутствует первая производная:
)
(x
f
qy
y



Пример: Рассмотрим неоднородное уравнение
)
(
4
x
f
y
y



Для соответствующего однородного уравнения
0 4



y
y
составим характеристическое уравнение
0 4
2



и найдем его корни:
i
2 2
,
1



Получены чисто мнимые сопряженные комплексные корни:
Правая часть
)
(x
f
В каком виде нужно искать частное решение
y

неоднородного уравнения?
Подбор частного решения осуществляется очевидным «штатным» образом, за исключением следующих видов правой части:
31.
x
x
f
sin
)
(

Коэффициент не совпадает с коэффициентом при характеристических сопряженных комплексных корнях
, поэтому частное решение ищем в обычном виде:
x
B
x
A
y
sin cos



32.
x
x
f
2
sin
3
)
(


Коэффициент
совпал с коэффициентом при характеристических сопряженных комплексных корнях
, поэтому при подборе «штатное» частное решение необходимо домножить на «икс»:
)
2
sin
2
cos
(

x
B
x
A
x
y



, то есть искать частное решение в виде:
x
Bx
x
Ax
y
2
sin
2
cos



33.
x
x
x
f
3
sin
2 3
cos
2
)
(


Коэффициенты не совпадают с коэффициентом при характеристических сопряженных комплексных корнях
, поэтому частное решение ищем в обычном виде:
x
B
x
A
y
3
sin
3
cos



34.
x
x
x
x
f
2
sin
2
cos
2
)
(


Коэффициенты
совпали с коэффициентом при характеристических сопряженных комплексных корнях
, поэтому при подборе очевидное частное решение опять же домножаем на «икс»:
)
2
sin
)
(
2
cos
)
((

x
D
Cx
x
B
Ax
x
y





, или:
x
Dx
Cx
x
Bx
Ax
y
2
sin
)
(
2
cos
)
(

2 2





Материал к уроку http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html
© http://mathprofi.ru
, Емелин А. Высшая математика – просто и доступно!
35.
x
x
x
f
4
cos
3
)
(


Коэффициент не совпадает с коэффициентом при характеристических сопряженных комплексных корнях
, поэтому частное решение ищем в «штатном» виде:
x
D
Cx
x
B
Ax
y
4
sin
)
(
4
cos
)
(






Материал к уроку http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html
© http://mathprofi.ru
, Емелин А. Высшая математика – просто и доступно!
Краткие итоги по пяти разделам:
Тип корней характеристического
уравнения
Когда следует проявить ПОВЫШЕННОЕ ВНИМАНИЕ
при подборе частного решения
I. Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, отличных от нуля
Если в правой части
)
(x
f
находится экспонента или экспонента, умноженная на многочлен (
примеры 5-8
)
II. Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, один из которых равен нулю
Если в правой части
)
(x
f
находится константа, многочлен, экспонента или экспонента, умноженная на многочлен
(
примеры 18-23
)
III. Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня
Если в правой части
)
(x
f
находится экспонента или экспонента, умноженная на многочлен (
примеры 24-26
)
IV. Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни:
i





2
,
1
, причём
0
,
0




Если в уравнении есть правые части, разобранные в примерах 27-30
:
x
e
x
f
x
2
sin
2
)
(
3


,
x
e
x
f
x
cos
2
)
(
3


,
)
sin
3
cos
5
(
)
(
x
x
e
x
f
x


и т.п.
V. Характеристическое уравнение имеет сопряженные, чисто мнимые комплексные корни:
i




2
,
1
Когда в правой части находится синус, косинус или синус и косинус одновременно; либо данные функции, умноженные на многочлены (многочлен) (
примеры 31-35
)