геометрия. Задачи на построение в курсе планиметрии
 Скачать 119.5 Kb.
|
|
Муниципальное общеобразовательное учреждение – лицей №102 Содержание, методическое обеспечение элективного курса «Задачи на построение в курсе планиметрии» Выполнил: Дудорева Людмила Эдуардовна, учитель математики. г. Челябинск 2010год Коренное улучшение подготовки специалистов различных областей производства не возможно без существенной опоры на высокий уровень математической подготовки в школе. Поэтому важной составной частью повышения качества учебно-воспитательного процесса является совершенствование математического образования, в частности, совершенствование методов и средств обучения, обеспечивающих глубокое и прочное усвоение знаний и умений. Важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой школьниками усваивается математическая теория, развиваются их творческие способности и самостоятельность мышления, является выполнение математических упражнений. Поэтому эффективность обучения во многом зависит от отбора, конструирования, организации упражнений – методики упражнений. С переходом на новое содержание обучения проблема использования задач в обучении математики приобретает особую актуальность. Важные методологические положения её решения содержатся в работах действительного члена АПИ П.М. Эрдниева. Одним из отправных положений является его мысль об упражнениях как основном элементе обучения математике. Эта идея, по его мнению, может быть реализована путем внедрения в процесс обучения математике специальных упражнений, в частности, упражнений на готовых чертежах. Особенно это важно сейчас, когда вводится ЕГЭ. Наиболее заметным исследованием проблемы использования задач является работа члена корреспондента АПН Ю.М. Колягина (70е годы). Исходным положением его исследования является концепция задачи как особого взаимодействия человека с задачной ситуацией, под которой автор понимает множество объектов и отношений между ними. Такой подход позволил Ю.М. Колягину получить интересные результаты в исследовании самого понятия задачи, классификации задач, наметить основные пути развития методики обучения математике через задачи, обосновать роль и место задачи в развитии математического мышления школьников. Отдельным сторонам проблемы задачи (функции задач, построение конкретных систем задач, использование задач как средства обучения математике) посвящаются работы таких авторов, как С.Б.Суворова, К.И. Нешкова, А.Д. Сёмушкина и др. В своей книге «Математика и правдоподобные рассуждения» Д.Пойа на многочисленных примерах из различных разделов математики иллюстрирует мысль о том, что « математика в процессе создания напоминает любые другие человеческие знания, находящиеся в процессе создания». В школе математика должна рассматриваться не как завершенная наука, а как вид деятельности, подчеркивает известный математик Г. Фройденталь. Приведенные высказывания подтверждают мысль о том, что гносеологические, дидактические, психологические исходные положения концепции упражнения как явления обучения имеет общий характер. В дидактике до сих пор сохраняется точка зрения на упражнение как на метод закрепления знаний, средство своеобразного тренажера в выработке навыков (А.Д. Данилов, Н.А. Сорокин, В.А. Онищук и др.). Упражнение – сознательное многократное выполнение сходных действий, опирающихся на знания, на различном материале, применяемое с целью овладения умением и навыком, отмечает М.А. Данилов в книге «Процесс обучения в советской школе». В работах некоторых методистов (С.И. Шорох-Троцкий, Н.А. Извольский) высказывались пожелания более широкого использования задач в обучении математике. В 60х годах академик АПН П.М. Эрдниев отмечал «Одним из условий успешного овладения наукой является выявление основного элемента определенной науки, которая позволяет, сосредоточив усилия исследователей на всестороннем анализе этого элемента, построить логически строгую систему изучаемой отрасли. В качестве основного элемента методики, на наш взгляд, следует взять понятие «математическое упражнение» в самом широком значении этого слова». Эта же мысль находит отражение в документах Международного конгресса математиков. В них подчеркивается, что решение задач наиболее эффективная форма не только для развития математической деятельности, но и для усвоения знаний, навыков, методов и приложений математики. С точки зрения содержания обучения упражнения являются носителем действий. Например, метод геометрических преобразований включает следующие действия: построение фигуры, в которую перейдет данная фигура при заданном преобразовании; нахождение соответственных при указанном преобразовании точек на заданных фигурах; выделение элементов, определяющих преобразование; построение соответственных при данном преобразовании точек на любых заданных фигурах; использование специфических свойств различных видов преобразований. Все перечисленные действия должны быть элементами содержания обучения геометрическим преобразованиям, а выполнить эту функцию они могут посредством упражнений. Познание окружающего мира - процесс очень сложный. Как показали исследования (В.И. Загвязинский, Т.И. Шамова, С.А. Шапоринский) в процессе обучения осуществляется взаимопроникновение созерцания, мышления и практики. Диалектика взаимоотношений пути познания и цикла обучения такова, что они редко могут быть изоморфными, т.е. соответствовать по звеньям, поэтапно, отмечает С.А.Шапоринский. По его мнению, звенья взаимопроникают не только в пути познания, но и в цикле процесса обучения. Хотя для обучения характерно разнообразие уровней и видов практики, однако, в целом характерно преобладание практики в единстве с применением научных знаний, подчеркивает он. Поэтому в процессе обучения упражнения должны выступать как средство связи теории и практикой. Причем практика может и предшествовать познанию, и сопутствовать ему, и заключать его. Отсюда следует, что упражнения должны не только заключать его изучение теорем, понятий, но и предшествовать, и сопутствовать ему, т. е. выступать в качестве средства усвоения знаний. Эффективность обучения находится в прямой зависимости от уровня активности ученика в познавательной деятельности, степени его самостоятельности в этом процессе, что, в свою очередь, определяется познавательными интересами школьников (Ю.К. Бабанский, М.А.Данилов, А.В. Усова, Г.И.Щукина). Исследования показали, что познавательный интерес зависит не столько от возрастных возможностей учащихся, сколько от обобщений умений. Так, Ю.К. Бабанский установил, что успешность учения имеет высокий коэффициент корреляции с такими компонентами интеллектуального развития, как умение выделять существенное, сравнивать, обобщать. Результаты этих исследований вызывают необходимость внедрения в обучение таких упражнений, процессе выполнения которых формировались бы обобщенные умения. Следовательно, упражнения должны выступать в процессе обучения способом стимулирования и мотивации учебно-познавательной деятельности. Исследования (П.И. Пидкасистый, А.В. Усова) структуры самостоятельной деятельности привели к выводу о необходимости повышения удельного веса самостоятельных работ в учебном процессе и их разнообразия. В обучении основным способом реализации самостоятельных работ являются упражнения, т.е. упражнения выступают как способ организации и управления учебно-познавательной деятельностью школьников. Осмыслению сущности упражнений способствуют исследования проблемы методов обучения (Ю.К. Бабанский, И.Д. Зверев, И.Я. Лернер, В.В. Краевский), т.е. упражнения в процессе обучения математике выступают в качестве одной из форм проявления почти всех групп методов обучения. Итак, анализ интерпретаций процесса обучения, учебного познания, взаимоотношений пути познаний и цикла обучения, структуры урока, методов обучения математике приводит к выводу о том, что упражнения - многоаспектное явление обучения, занимающее большое место в учебном процессе и выступающее способом целенаправленного развития ученика. В статье «О геометрии» академик А.Д. Александров подчеркивает, что особенностью геометрии, выделяющей её не только среди остальных частей математики, но и среди наук, является то, что в ней самая строгая логика соединена с наглядным представлением. Поэтому каждый элемент курса геометрии (аксиома, теорема, определение) должен опираться на возможно более простое и ясное наглядно представление. Соответственно этому изложение следует начать с наглядной картины – с рисунка на доске, показа модели, примеров. Вместе с рисунком должно идти разъяснение его содержания, возбуждающее верное пространственное представление. Логика математики заключена не только в отдельных понятиях, теоремах и их доказательствах, но и во всей системе в целом. Поэтому очень важна в обучении математике систематизация знаний по различным основаниям. Вся эта работа осуществляется в процессе специальных упражнений. Таким образом, роль упражнений в организации усвоения понятий и теорем велика. Выполнение упражнений протекает в определенных формах: фронтальная работа с классом, индивидуальная работа с отдельными учащимися, самостоятельная работа на уроке и т.д. Теоретические сведения и практические навыки, получаемые учащимися при изучении геометрии в школе, необходимы всем. Понимание чертежа, способность представить по данному чертежу изображаемую фигуру, умение изобразить данную фигуру на чертеже нужны всем, поэтому одной из основных задач преподавания геометрии является сообщение учащемуся знаний и навыков в такой форме, которая способствовала бы развитию воображения и конструктивных способностей учащихся. Когда возникла геометрия? И зачем? Можно ответить так: геометрия родилась для удовлетворения практических нужд. Другой ответ: геометрия есть порождение таинственной потребности человека в познании, в духовности, в стремления его к красоте и совершенству. Зачем учить геометрию? Какие цели может преследовать геометрическое образование? В Древней Греции считали, что в человеке надо развивать душу, тело и мозг, кроме того, ему необходимо дать некоторое количество знаний, чтобы было легче ориентироваться в окружающем мире. В школе Пифагора преподавались: гармония – для «тренировки» души, арифметика – для ориентации в «близкорасположенной» действительности, астрономия – доя того, чтобы иметь представление об окружающем мире, геометрия- для тренировки мозга, для развития логического мышления, для получения базовых знаний обо всем том, что окружает человека. И роль геометрии в этом образовании не чем не может быть заменена. Как каждому здоровому человеку должна быть понятна роль физкультуры для здоровья и развития тела, всеми нами должна быть осознана особая роль тренировки и гармонического развития наших мыслительных способностей, нашего мозга. Но за всю историю человечества пока не найдено лучшего способа развития интеллектуальных и творческих способностей человека, чем при помощи математики. Но при этом не надо «мучить» бедного школьника, а доставлять ему радость, так же как доставляет ему радость лыжная прогулка в солнечное морозное утро, как наделяет нас счастьем плавание в море, как радостен бег, прыжки или спортивные игры. Трудно оспорить, что любой человек достоин того, чтобы он с раннего детства научился ценить материальные и духовные достижения человечества, чтобы сердце его радостно трепетало «пред созданиями искусств и вдохновения». Умение ценить интеллектуальные «создания» также должно быть присуще любому человеку. Вряд ли какой из школьных предметов подходит для этого лучше, чем геометрия. Где еще можно поставить перед человеком, лишь начинающем мыслить, задачу, которая была бы доступна его пониманию и решение которой требовало бы немалых интеллектуальных затрат? А сколько их в геометрии! Высоты в треугольнике пересекаются в одной точке (Евклид), точки пересечения высот, медиан и центр описанного круга лежат на одной прямой (Эйлер), точка в остроугольном треугольнике такая, что сумма расстояний от нее до вершин треугольника минимальна, характеризуется тем, что из неё все стороны видны под равными углами (Ферма, Торричелли)-вот примеры задач, в которых истина сокрыта под таинственным покровом, но каждый может приоткрыть его собственным разумом и тем самым как бы сравниться с людьми, столь много принесшими науке! А сколько других красивейших задач и проблем можно еще поставить в геометрии! Итак, школьная геометрия тренирует мозги ,занимается эстетическим развитием ребенка. В школах всех государств преподается история. Как правило, это история воин, царствований, экономических и политических преобразований. Но помимо истории сражений и реформ, есть история культуры, история идей. История идей – долгий и нередко драматический путь к постижению остается ,как правило, за пределами школьного образования .И очень не трудно, базируясь на истории геометрии, ознакомить школьника с историей науки и естествознании вообще. И ещё. Человек, рождаясь, не знает о своих возможностях. А эти возможности, как правило, велики. Особенно в области интеллекта. Раскрыть перед человеком его возможности в области интеллекта - одна из важнейших задач геометрии, ибо для активной работы в ней важны обе половины мозга , но достаточно развития любой из них, и это даёт возможность получить творческое удовлетворение человеку с любым уровнем развития. Итак, трудно переоценить роль геометрии в развитии человека. В свою очередь при изучении геометрии трудно переоценить роль чертежа при решении задач, доказательстве теорем. В школьном курсе геометрии выделяют: а) чертежи, иллюстрирующие содержание вводимого понятии; б) чертежи, образно представляющие условие задачи; в) чертежи, иллюстрирующие преобразования геометрических фигур. Центральным видом учебной деятельности, в процессе которой учащиеся усваивают математические теории, у них развиваются самостоятельность мышления и творческие способности, является решение задач. Органической частью обучения всем учебным предметам, особенно предметам, естественно-математического цикла, в том числе геометрии и черчения, является решение различных графических задач. В данной работе мы рассмотрим частный вид класса графических задач – задачи на построение. Задачи на построение – это задачи, решаемые различными инструментами (линейка, циркуль и т.д.), которые предполагаются абсолютно точными. Геометрические задачи на построение играют важную роль в обучении и эта роль сводится к следующему: они являются надежным средством систематического повторения геометрического материала; эти задачи позволяют учащимися обстоятельно и глубоко разобраться в известном им геометрическом материале; они способствуют развитию пространственных представлений у учащихся; они приучают учащихся логически рассуждать; эти задачи успешно формируют у учащихся алгоритмическую культуру; посредством этих задач реализуются межпредметные связи геометрии со смежными дисциплинами и особенно с черчением; эти задачи дисциплинируют внимание у учащихся, приучают их проявлять настойчивость, инициативу и изобретательность в достижении намеченной цели. В зависимости от выбора инструментов определяется цикл зада, которые могут быть решены этими средствами. Основным набором инструментов являются циркуль и линейка. Любая задача на построение, решаемая при помощи циркуля и линейки может быть решена при помощи и других инструментов: одним циркулем; линейкой с двумя параллельными краями, которая может быть заменена угольником; линейкой и окружностью, заданной в плоскости чертежа с отмеченным центром. В данной работе мы рассматриваем задачи на построение, которые будут решаться циркулем и линейкой. Это мы делаем по той причине, что именно такие задачи рассматриваются в школьном курсе геометрии и именно они являются основными, обеспечивающими межпредметную связь геометрии и черчения. Укажем основные построения, которые допускают циркуль и линейка (постулаты циркуля и линейки): построение прямой, проходящей через две данные точки; построение окружности с центром в данной точки и радиусом, равным данному отрезку; построение точки пересечения двух данных непараллельных прямых; построение точки пересечения данной окружности и данной прямой, если они существуют; построение точек пересечения двух данных окружностей, если они существуют. А теперь укажем основные построения, которые используются для решения задач на построение в курсе геометрии, они сводятся к следующему: от данной точки прямой отложить отрезок заданной длины, отложить от данного луча в данную полуплоскость угол, равный данному углу, разделить данный отрезок пополам, разделить отрезок на несколько равных частей, разделить данный угол пополам, из данной точки прямой восстановить перпендикуляр к этой пря мой; из точки вне прямой опустить на эту прямую перпендикуляр; провести серединный перпендикуляр к отрезку; построить треугольник по трем сторонам; построить треугольник по трем сторонам и углу между ними; построить треугольник по двум прилежащим к ней углам; построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету; построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу; построить прямую проходящую через данную точку параллельно данной прямой; построить касательную к окружности в данной на ней точке; построить касательные к окружности, проходящие через точку вне окружности; построить касательные к окружности, параллельные данной прямой; описать окружность около данного треугольника; вписать в данный треугольник окружность; построить отрезок, пропорциональный к трем данным; построить точки, делящие отрезок в данном отношении внутренним и внешним способом ; построить общие касательные к двум данным окружностям. Основными методами решения геометрических задач на построение являются три метода: а) метод геометрических мест точек (ГМТ); б) метод геометрических преобразований; в) алгебраический метод. Метод геометрических преобразований подразделяется на следующие группы: параллельного переноса; осевой симметрии; центральной симметрии; вращения (поворота); подобия; гомотетии; спрямления; обратности; инверсии. При использовании данных методов необходимо помнить следующее: Метод спрямления применяется к тем задачам, в условии которых содержится сумма или разность отрезков. Метод состоит в том, что сначала строят вспомогательную фигуру , в которую непосредственно входит данная сумма или разность отрезков, а затем строят искомую фигуру. Метод симметрии заключается в том, что проведя анализ задачи, замечают, что вместо искомой фигуры можно построить фигуру, симметричную ей относительно некоторой прямой или точки, а затем от нее перейти к построению искомой фигуры, произведя повторную симметрию. Метод параллельного переноса заключается в том, что переносят на некоторый вектор какой-нибудь отрезок или часть искомой фигуры и сводят построение вспомогательной, более простой фигуры, а затем выполняют обратный перенос и получают искомую фигуру. Метод вращения (поворота) при решении задач на построение заключается в том, что, повернув какую-нибудь данную или искомую фигуру вокруг выбранного центра на некоторый угол, сводят построение искомой фигуры к построению вспомогательной, более простой фигуры, а затем совершают обратное вращение и получают искомую фигуру. Метод подобия (гомотетии) при решении задач заключается в следующем. Проводя анализ задачи, отбрасывают одно из условий характеризующих размеры искомой фигуры; выясняют сначала возможность построения не искомой фигуры, а фигуры, гомотетичной искомой. Затем стоят вспомогательную фигуру и подвергают ее гомотетии так, чтобы после преобразовании уже выполнялось и ранее отброшенное условие, при этом получают искомую фигуру. В задачах на построение среди данных элементов могут быть некоторые точки, а также отрезки, углы и их отношения. Данный угол можно заменить заданием трех отрезков - сторон треугольника, имеющего угла, равный данному. Данное отношение углов может быть заменено отношением двух отрезков. Нахождение неизвестных отрезков через известные, сводится к уравнениям, решение которых сводится к алгебраическим формулам, то есть решение задачи на построение отрезков, выраженных формулами. Такой метод решения задач на построение называется алгебраическим. Метод обратности заключается в том, что в некоторых случаях сначала так изменяют условия предложенной геометрической задачи, чтобы искомые стали данными, а данные- искомыми ,а затем, решив обратную задачу, определяют те зависимости, посредствам которых можно решить предложенную задачу. I. Психолого – педагогическое обоснование актуальности проблемы. Из истории развития геометрии Разнообразные пространственные формы, образы и фигуры окружают человека повсюду. Геометрические точки, прямые, кривые и ломаные линии, плоскости, поверхности, многоугольники, круги и их части, многогранники и тела вращения – это абстрактные понятия, которые формируются в нашем сознании вследствие длительного общения с конкретными предметами и наблюдениями над реальными объектами, встречающими в домашней обстановке, в природе и на производстве. Люди на протяжении тысячелетий изучали свойства геометрических форм в первую очередь для своих практических потребностей. Геометрия, как и другие науки, возникла из практики. При этом уже на первых стадиях своего развития она стояла близко к искусству (живописи, архитектуре), отображающему действительность в художественный образах. Потребность в способе, который давал бы точное и наглядное изображение, появилось ещё во времена глубокой древности; она определялась главным образом практическими запросами зарождавшейся строительной техники. Размер и сложность архитектуры дворцов, крепостей, храмов, гидротехнических сооружений, построенных в странах древней культуры – Вавилоне, Египте, Китае, Греции, - позволяют предложить, что ещё в те времена применялись изображения, предназначенных для технических целей. При раскопках развалин Вавилона была найдена статуя, которая изображает зодчего, читающего чертеж, выполненный на плите. В России способы отражения предметов на чертежах развивались самобытно, во многих случаях опережая по своим замыслам западноевропейские образцы. Первые Русские чертежи не сохранились до нашего времени, но исторические документы, а также памятники старинной архитектуры Киева, Владимира, Новгорода и других городов указывают на применение чертежей зодчими Древней Руси. Древнерусские чертежи-рисунки не являлись планами в современном понимании этого слова, они представляли собой как бы виды на местности или сооружения с высоты птичьего полета. В 17 в. начали появляться чертежи, составленные по иному принципу. На их планах и фасады сооружений размещались в одной плоскости. Примером такого чертежа может служить план северной части Красной площади Москвы, составленный Афанасием Фоминым в конце 17в.. Свободно владел методом наглядного изображения землемер В. Шишков; один из его чертежей, датированный 1737г., приведен на рис.2. Большого развития инженерная графика достигла в нашей стране. Выросшая на основе русской национальной школы графики, российская графическая наука широко ставит разработку научных проблем, неразрывно связывая развитие науки с ее практическим применением. Важные научные результаты в области теории изображений получены известным русским ученым Н.Ф.Четверухиным, создавший ряд выдающихся научных трудов. Большое значение для развития графической науки имеют труды профессоров А. И. Добрякова, Д. И. Каргина. Теоретические сведения и практические навыки, получаемые учащимися при изучении геометрии в современной школе, необходимы большинству из них либо в предстоящем изучении целого ряда технических дисциплин в высшей школе, либо в их работе на производстве. Понимание чертежа, способность представить по данному чертежу изображаемую фигуру, умение изобразить данную фигуру на чертеже необходимы в той или иной степени как квалифицированному рабочему и мастеру, так и инженеру – конструктору, изобретателю и строителю, поэтому одной из основных задач преподавания геометрии является сообщение учащимся умений и навыков в такой форме, которая способствовала бы пространственного воображения и конструктивных способностей учащихся. Наглядность, как один из аспектов активизации мыслительной деятельности учащихся. Основным условием, удовлетворяющим поставленному требованию, является преподавания геометрии как один из приемов стимулирования активной мыслительной деятельности учащихся на уроках геометрии. Основоположники отечественной психологии Л. С. Выготский, С. Л. Рубинштейн, А. Н. Леонтьев рассматривают мышление как процесс сознательного отражения действительности недоступного непосредственному чувственному восприятию. Мышление, как познавательная теоретическая деятельность, теснейшим образом связано с действием. Человек познает действительность, взаимодействуя на нее, понимает мир, изменяя его. Начальным моментом мыслительного процесса обычно является проблемная ситуация, т.е. ситуация, для которой нет готовых средств решения. Мыслить человек начинает тогда, когда у него появляется потребность что-то понять, познать. Мышление обычно начинается с проблемы или вопроса, с удивления или недоумения, с противоречия. Виды мышления: словесно - логическое, наглядно - образное, наглядно – действенное. Все виды, конечно, взаимодействуют и взаимно проникают друг в друга. Пространственное мышление – вид умственной деятельности, обеспечивающей создание пространственных образов и оперирование или в процессе практических и теоретических задач. В пространственном мышлении происходит переход от пространственных образов реальных объектов к их условно – графическим изображениям, от трехмерных изображений к двухмерным и обратно. Различны способы создания предметных образов по чертежам, схемам. Одни учащиеся опираются на наглядность, ищут в ней своеобразную сенсорную опору. Другие легко и свободно действуют в уме. Некоторые учащиеся быстро создают образы на основе наглядности, долго сохраняют их в памяти, но теряются тогда, когда требуется видоизменить образ (рисунок, чертеж). Другие хорошо оперируют образами. Сущность наглядности. Наглядность есть показатель простоты и понятия для данного человека того психического образа, который он создает в процессе восприятия, памяти, мышления и воображения. Поэтому не наглядным может быть образ реального предмета или явления и , наоборот, в полнее наглядным может быть образ предмета и явления, несуществующего реально, а созданного нашим воображением. Наглядность или не наглядность образа, возникающего у человека, зависит от уровня развития его познавательных интересов, способностей и склонностей, от потребления и желания увидеть, услышать, ощутить данный объект, понять его, создать у себя яркий, понятный образ этого объекта. «Сам по себе непроизвольно наглядный образ, как правило, не возникает. Он образуется только в результате активной работы, направленной на его создание» Л. М. Фридман. Наглядность в обучении. Наглядный материал служит как бы внешней опорой внутренних действий, совершаемых учащимися под руководством учителя в процессе овладения знаниями. Введение в обучение наглядного материала должно учитывать два следующих психологических момента: 1. Какую конкретную роль наглядный материал выполняет в усвоении; 2. В каком отношении находится предметное содержание данного наглядного материала к предмету, подлежащему осознанию и усвоению. Виды учебной наглядности. 3. Натуральные вещественные модели (реальные предметы, муляжи, геометрические тела, макеты различных объектов, технические образцы, фотографии и т.д.). 4. Условные графические изображения (чертежи, наглядные изображения в системе аксонометрических, изометрических проекций, разрезы, сечения, эскизы и различные технические и технологические схемы и т.д.). 5. Знаковые модели (графики, географические карты, топографические планы, диаграммы, химические формулы и уравнения, математические символы и другие интерпретированные знаковые системы). Функции наглядного материала. Обобщая опыт учащихся или помогая им в анализе изучаемой проблемы, средства наглядности облегчают и труд учителя. Однако избыток наглядности может не облегчить, а затруднить учебный процесс. Удобными (более воспринимаемыми) являются абстрактные схемы и знаковые модели. Как известно, они лучше усваиваются и приносят наибольший развивающий эффект при самостоятельном построении учащимися. Преподавание геометрии при современных условиях. Общеизвестен факт, что подавляющего большинства учащихся отсутствует интерес к геометрии, а знания по этому предмету находятся на низком уровне. Об этом говорят и учителя и преподаватели вузов и родители, и сами учащиеся. Ученые, психологи и методисты выделяют две основные причины этого положения: 1. Обучение геометрии в школе не всегда учитывает психологические закономерности развития мышления, особенности процесса восприятия, личный опыт учащихся. 2. Пространственное мышление является преимущественно разновидностью образного мышления. Сложившаяся традиция преподавания привела к представлению о том, что основная цель обучения геометрии - развитие логического мышления у учащихся. На самом же деле цели геометрического образования более разнообразны и содержательнее, это развитие у учащихся таких свойств интеллекта, как: - геометрическая интуиция (на образы конструкции, свойства, методы построения и доказательства); - пространственное мышление (одно-, двух-, трехмерное евклидовые представления и пространственные абстракции, их обобщенность, подвижность, устойчивость, анализ и синтез геометрических образов, пространственное воображения); - логическое мышление (геометрические понятия и общие понятийные связи, владения правилами логического вывода, понимание и сохранения в памяти конкретных доказательств, владение разнообразными методами геометрии); - способность к конструктивной геометрической деятельности (умение определять, измерять и вычислять длины, площади, объемы геометрических фигур, умение изображать геометрические фигуры и выполнять геометрические построения, моделировать и конструировать геометрические объекты); - владение хотя бы в минимальном объеме символическом языком геометрии. Изучение геометрии важно с различных точек зрения: - логической; - активного и интеллектуального развития человека, его умственных способностей; - познавательной; - прикладной – трехмерная евклидовая геометрия является той базой, которая обеспечивает готовность человека к овладению, как смежными дисциплинами, так и многими профессиями, делает для него доступным непрерывное образование; - исторической – на примерах из истории развития геометрии прослеживается развитие не только математики, но и человеческой культуры в целом; - философской – геометрия помогает осмыслить мир, в котором мы живем, сформировать у человека развивающиеся научные представления в реальном физическом пространстве. Следовательно, при изучении геометрии необходимо стремиться к развитию у учащихся не только мышления вербально – логического, но и наглядно – действенного, а также наглядно – образного. Именно образная стратегия мышления учащихся лежит в основе их собственных интуитивных способов решения задач. Одной из основных идей новой концепции школьного математического образования является приоритет развивающей функции обучения, что требует учитывать в процессе обучения периоды, наиболее чувствительные к развитию определенных компонентов мышления. Таким периодом для развития образных компонентов мышления является школьный возраст до 12 – 13 лет. Исследования психологов показали, что представления о геометрических фигурах находится в стадии прогрессивного развития до 15 лет, но только с этого возраста учащиеся начинают изучать геометрию. По окончании начальной школы у учащихся объемные представления более развиты, чем плоскостные, хотя в рамках традиционной программы по математике младших школьников знакомят только с элементами плоской геометрии. Как считают психологи К. Д. Мдивани, Б. Ф. Ломов и др. у учащихся 9 – 11 классов преобладают планиметрические представления, хотя программа старших классов предусматривает изучение объемных фигур. Поэтому пространственное мышление как разновидность образно – наглядного мышления целесообразно развивать у учащихся 5 – 6 классов. Содержание учебного материала, направленное на развитие пространственного мышления и его изучения должны учитывать основные качества образного мышления: Субъективность, многозначность образа, целостность восприятия, динамичность создаваемых образов. Задачи на построение в курсе планиметрии.I. Урок решения задач. Задачи по математике, физике и другим предметам подразделяются на элементарные и неэлементарные. Роль первых сводится к формированию навыков необходимых для решения вторых. Неэлементарная задача сводится к нескольким простым. II. Основные цели. При решении элементарных задач у учащихся формируется навыки применения отдельных теорем определений, аксиом при решений более сложных задач у учащихся формируется умение и навыки их решения и одновременно - навыки выполнения простых промежуточных операций. Научить учащихся осознанно решать задачи можно только при переходе от элементарных задач к более сложных. Длительность этого перехода может определить только учитель, исходя из уровня развития и знаний учащихся. Реализацию постепенного и осторожного перехода позволяют осуществлять задачи по готовым чертежам, в результате чего удается «наращивать» число умозаключений в решении задач. При этом значительно лучше результаты получаются, если на ряду с устными решениями ученики учатся письменно оформлять решения задач. Это обязательное условие, поскольку навыки устной и письменной речи у учащихся неодинаковы. Стиль и умение письменно оформлять решения, обрабатываются путем коллективного обсуждения с записью на доске. Далее умение письменного оформления решения задач обрабатываются сочетанием коллективных и самостоятельных и контрольных работ. III. Организовать на уроке коллективное решение неэлементарной задачи – дело не простое. Трудность заключается в том, что обычно не все учащиеся класса могут полностью решить неэлементарную задачу. Выход их этого положения можно найти, если тщательно отработать со всеми учащимися все этапы решения задачи. IV. Организация учебного занятия. Решения задачи подразделяются на следующие задания (они могут видоизменяться): - усвоение условия; - продумывание плана, идеи решения; - коллективное обсуждение идеи решения; - оформление решения. Эти задания у доски выполняет не один, а поочередно несколько учащихся. 1. Усвоение условия задачи. Один из учащихся ( иногда сам учитель) кратко записывает на доске условия задачи, анализирует его. Например, когда дается геометрическая задача, ученик выполняет чертеж, записывает, что дано и что требуется доказать, вычислить, построить и т.д.. 2. Обдумывание идеи решения. Классу дается задание: наметить, продумать идею решения задачи. Выдерживается необходимая пауза, во время которой учащимся рекомендуется делать наброски решения на черновике, разрешается советоваться друг с другом. Записывать решение в тетради не рекомендуется, т.к. решение может оказаться нерациональным или неверным, а также, чтобы отдельные учащиеся не сидели без дела, когда весь класс будет записывать решение задачи. Во время паузы обычно наступает либо напряженная тишина, либо «рабочий шум». Чтобы не мешать работе класса, учитель беседует с отдельными учащимися только шепотом или вполголоса, отвечает на их вопросы, выслушивает предложения, помогает. 3. Обсуждение идеи решения. Учащимся предлагает обсудить идею решения задачи. Иногда рассматривают несколько способов решения, выбирают из них наиболее рациональный. Обсуждение часто выливается в дискуссию, что способствует повышению интереса к предмету. Ученики высказывают идею решения в виде краткого плана, без подробных обоснований. Если ученик изложит идею, то почти всегда знает и детали решения, а их могут объяснять и другие учащиеся, которые во время дискуссии руки не поднимают. 4. Оформление решения задачи. При оформлении решения задачи можно использовать следующие варианты: а) Одному из учащихся предлагается записать решение задачи на доске, т.к. идея решения задачи уже обсуждалась и неясных вопросов не осталось, то к доске можно вызвать тех учащихся, которые не принимали активного участия в обсуждении плана решения; б) Предлагается устно изложить решение задачи с подробными объяснениями; в) Решение задачи предлагается записать самостоятельно; г) Иногда целесообразно заранее запланировать для одной – двух задач выполнить только первые три задания. А записать решение этих задач предложить либо во время самостоятельной работы в конце урока, либо дома. Все учащиеся, принимавшие участие в обсуждении решения задачи, получают отметки за ответы, кроме того все ученики получают отметки за самостоятельную работу. 5. Деятельность после учебного занятия. После каждого урока, приходится проверять тетради всех учащихся. Это трудно, но необходимо. Иначе невозможно отработать у всех учащихся умения обоснованного и грамотного письменного оформления решения задач. Такая система позволяет выдавать каждому учащемуся индивидуальное дифференцированное задание, а учителю проследить ход мысли решения и оформления. Школьный чертеж и его особенности. В учебном процессе чертеж главным образом служит наглядным пособием. Его значение – вызвать в умах учащихся надлежащие пространственные представления, и помочь им найти пути правильного решения задачи. Потому чертеж должен быть в достаточной степени наглядным и содержать все элементы, необходимые для понимания теоремы или задачи. Кроме того чертеж должен быть легко и просто выполним, быть верным, т.е. выполнен с соблюдением всех свойств параллельного проецирования. Требования простоты построения, верности и наглядности в большинстве случаев легко выполняются и чертеж удовлетворяет целям обучения в школе, если он представляет собой какую – либо параллельную проекцию оригинала. Можно доказать, что параллельной проекцией любого треугольника (в том числе равностороннего или прямоугольного) может служить любой треугольник. Всякий параллелограмм делиться диагональю на два равных треугольника. Поэтому параллельной проекцией любого параллелограмма (в том числе прямоугольника, ромба и квадрата) может служить любой параллелограмм. Задачи для самостоятельного решения. Задача 1. Построить треугольник по стороне и двум медианам. Задача 2.Построить треугольник по стороне, высоте и медиане. Задача 3.Построить треугольник по углу, высотой и медианой. Задача 4.Построить треугольник по стороне, противолежащим углом и суммой или разностью длин двух других сторон. Задача 5.Построить треугольник по стороне, прилежащим к ним углам и суммой или разностью длин двух других сторон. Задача 6.Построить треугольник, в котором дано основание, прилежащий к ней угол и угол, образованный медианой, проведено из вершины данного угла, и стороной, к которой проведена медиана. Задача 7.Построить треугольник по углу, высоте и периметром. Задача 8.Построить треугольник по стороне, разностью прилежащих углов и суммой или разностью двух других сторон. Задача 9.Дана окружность и три прямые, которые проходят через центр окружности. Описать около окружности треугольник так, чтобы биссектриса его углов были на данных прямых. Задача 10. Вписать в данную окружность треугольник так, чтобы три данные прямые, которые проходят через центр окружности, были серединными перпендикулярами его сторон. Задача 11. На плоскости даны n прямых l. Построить n – угольник, для которого эти прямые являются: а) является серединными перпендикулярами к его сторонам; б) биссектрисами углов или биссектрисами внешних углов. Задача 12. На плоскости дана точка М и прямые l . Построить n -угольник так, чтобы середина стороны А1А2 совпадала с точкой М, а серединные перпендикуляры к сторонам, совпадали с данными прямыми. Задача 13. Вписать в данную окружность n – угольник так, чтобы его стороны были параллельны заданным n прямым. Задача 14. Построить квадрат, зная его центр и две точки, принадлежащие прямым, на которых находятся две стороны квадрата. Задача 15. Построить квадрат по вершине и середине одной из сторон. Задача 16. На прямой даны четыре точки А, В, С, D. Через две из них провести две // прямые, а через две другие, ещё две // прямые так, чтобы пересечением двух построенных полос был квадрат. Задача 17. Построить квадрат АВСD по вершине А и точкам М, N, принадлежащим соответственно отрезкам СВ и СD. Задача 18. Построить параллелограмм по стороне, сумме диагоналей и углом между ними. Задача 19. Построить ромб по сумме диагоналей и углу, образованному диагональю и стороной. Задача 20. В данный четырехугольник вписать параллелограмм по двум данным вершинам. Список литературы. 1. Атанасян Л.С. Геометрия, 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений, М., Просвещение, 2003. 2. Боковнев О.А.. Преподавание алгебры и геометрии в школе / Пособие для учителей. М., 1982. 3. Возрастная и педагогическая психология / под ред. А.В. Петровского, М., 1979. 4. Глейзер Г.И. История развития математики в школе VII-VIII классы, М., Просвещение, 1982. 5. Груднев Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики, М., Просвещение,1990. 6. Дидака средней школы. Некоторые проблемы современной дидактики, /под редакцией Скаткина М.Н., М., Просвещение, 1982. 7. Калмыкова З.И. Психологические принципы развивающего обучения,М., Знание, 1979. 8. Колягин Ю.М. Методические проблемы применения задач в обучении математике, М., Просвещение, 9. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике, ч.1 и 2, М., Просвещение, 1972. 10.Крутецкий В.А. Основы педагогической психологии, М., 1972. 11.Лоповок Л.М. 1000 проблемных задач по метематике, М., Просвещение,1995. 12. Махмутов М.И. Современный урок. Вопросы теории, М., Педагогика, 1981. 13. Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении, М., 1972. |