Эконометрика. Задание Парная регрессия и корреляция

• Название: Задание Парная регрессия и корреляция
• Дата: 02.11.2021
• Размер: 119.8 Kb.
• Имя файла: Эконометрика.docx
• Тип: Документы; #261418
• страница: 1 из 3

Содержание

Задание 1 . . . . . . . . . . 3

Задание 2 . . . . . . . . . . 17

Задание 3 . . . . . . . . . . 31

Список литературы . . . . . . . .

Задание № 1. Парная регрессия и корреляция

1. 
   Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
   
2. 
   Рассчитать параметры следующих функций:
   

А) линейной

Б) степенной

В) показательной

Г) равносторонней гиперболы

3. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Оценить качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.

5. Оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования в целом (F-критерий Фишера) и параметров регрессии в отдельности (t-критерий Стьюдента). Выбрать лучшее уравнение регрессии и обосновать его.

6. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α=0,05.

7. Оценить полученные результаты. Оформить выводы в аналитической записке.

Таблица 1.1

Исходные данные

	Прожиточный минимум, (руб. в месяц) 2009 г, х	Средний размер пенсии, (тыс.руб) 2009 г, у
Белгородская область	4172	5856
Брянская область	4311	5785,6
Владимирская область	4973	6048,3
Воронежская область	4924	5730,9
Ивановская область	4642	5912,8
Калужская область	4583	6077,4
Костромская область	4789	5852,6
Курская область	4493	5568,7
Липецкая область	4563	5776
Московская область	5850	6496
Орловская область	4145	5938,4
Рязанская область	4868	5830,4
Смоленская область	4977	5846,1
Тамбовская область	3805	5567,2
Тверская область	4968	5989,2
Тульская область	4752	6026,1
Ярославская область	5113	6160,7
г. Москва	7406	6578,5

Решение:

Линейная функция.

1. 
   Для расчета параметров линейной регрессии у=а+в*х решаем систему нормальных уравнений относительно а и в.
   

По исходным данным рассчитываем

Таблица 1.2

	х	у	yx	x^2	y^2	yx	y-yx	Ai
1	4172	5856	24431232	17405584	34292736	5756,4	99,7	1,7
2	4311	5785,6	24941721,6	18584721	33473167,36	5795,3	-9,7	0,2
3	4973	6048,3	30078195,9	24730729	36581932,89	5980,6	67,7	1,1
4	4924	5730,9	28218951,6	24245776	32843214,81	5966,9	-236,0	4,1
5	4642	5912,8	27447217,6	21548164	34961203,84	5888,0	24,9	0,4
6	4583	6077,4	27852724,2	21003889	36934790,76	5871,4	206,0	3,4
7	4789	5852,6	28028101,4	22934521	34252926,76	5929,1	-76,5	1,3
8	4493	5568,7	25020169,1	20187049	31010419,69	5846,2	-277,5	5,0
9	4563	5776	26355888	20820969	33362176	5865,8	-89,8	1,6
10	5850	6496	38001600	34222500	42198016	6226,2	269,8	4,2
11	4145	5938,4	24614668	17181025	35264594,56	5748,8	189,6	3,2
12	4868	5830,4	28382387,2	23697424	33993564,16	5951,2	-120,8	2,1
13	4977	5846,1	29096039,7	24770529	34176885,21	5981,8	-135,7	2,3
14	3805	5567,2	21183196	14478025	30993715,84	5653,6	-86,4	1,6
15	4968	5989,2	29754345,6	24681024	35870516,64	5979,2	10,0	0,2
16	4752	6026,1	28636027,2	22581504	36313881,21	5918,8	107,4	1,8
17	5113	6160,7	31499659,1	26142769	37954224,49	6019,8	140,9	2,3
18	7406	6578,5	48720371	54848836	43276662,25	6661,9	-83,4	1,3
Итого	87334	107040,9	522262495,2	434065038	637754628,5	107040,9	0,04	37,7
Среднее значение	4851,89	5946,72	29014583,07	24114724,33	35430812,69			2,095
σ	757,5	259,56
σ^2	573887,76	67373,19

=

Уравнение регрессии: у = а + вх = 4588,19 + 0,28х

С увеличением прожиточного минимума на 1 рубль средний размер пенсии увеличивается на 0,28 рублей.
Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:



Связь сильная, прямая.
Определим коэффициент детерминации:



Вариация результата на 65,6 % определяется вариацией фактора х.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации :

%
В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 2,095 %.
Рассчитаем F-критерий:

F = 0.656/0.344*16=30,51

F-критерий табличный равен 4,49; соответственно уравнение статистически значимое.

Рассчитаем t-критерий Стьюдента:

Определим случайные ошибки m_a, m_b, m_r.

m_a=

m_b= 0.000003

m_r=

Тогда,

t_a=

t_b=

t_r=
Фактические значения превосходят табличные значения (t_a,t_b,t_r ≥ 2,1199), значит уравнение статистически значимо.


Рисунок 1. Поле корреляции.

Степенная функция.

y=a*x^b

Таблица 1.3

	Х	У	ХУ	Х^2	У^2	yx	y-yx	Ai
1	3,6203	3,7676	13,6400	13,1069	14,1948	5757,1199	98,9	1,7
2	3,6346	3,7623	13,6745	13,2102	14,1553	5804,4852	-18,9	-0,3
3	3,6966	3,7816	13,9793	13,6650	14,3008	6015,5289	32,8	0,5
4	3,6923	3,7582	13,8766	13,6332	14,1242	6000,6558	-269,8	-4,7
5	3,6667	3,7718	13,8301	13,4447	14,2264	5912,8313	0,0	0,0
6	3,6611	3,7837	13,8528	13,4040	14,3165	5893,9530	183,4	3,0
7	3,6802	3,7673	13,8648	13,5442	14,1929	5959,0964	-106,5	-1,8
8	3,6525	3,7458	13,6815	13,3410	14,0307	5864,8014	-296,1	-5,3
9	3,6593	3,7616	13,7647	13,3901	14,1498	5887,5122	-111,5	-1,9
10	3,7672	3,8126	14,3628	14,1915	14,5363	6264,8138	231,2	3,6
11	3,6175	3,7737	13,6513	13,0865	14,2406	5747,7826	190,6	3,2
12	3,6874	3,7657	13,8854	13,5966	14,1805	5983,5213	-153,1	-2,6
13	3,6970	3,7669	13,9260	13,6676	14,1893	6016,7382	-170,6	-2,9
14	3,5804	3,7456	13,4107	12,8189	14,0298	5626,1054	-58,9	-1,1
15	3,6962	3,7774	13,9618	13,6618	14,2685	6014,0163	-24,8	-0,4
16	3,6769	3,7800	13,8987	13,5194	14,2887	5947,5529	78,5	1,3
17	3,7087	3,7896	14,0545	13,7543	14,3613	6057,4265	103,3	1,7
18	3,8696	3,8181	14,7746	14,9737	14,5781	6645,3082	-66,8	-1,0
Итого	66,2644	67,9297	250,0901	244,0095	256,3644			-7,1
Среднее значение	3,6814	3,7739	13,8939	13,5561	14,2425			-0,4
σ	0,0608	0,0186
σ^2	0,0037	0,0003

Рассчитаем С и в:

b=

C= =3.7739-0.25*3.6814=2,8535

Y= 2,8535+0,25*х

Уравнение регрессии равно:

y = 716.34x^0.25

Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов β_i, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.
Рассчитаем индекс корреляции:

Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Рассчитаем индекс детерминации.


Вариация результата на 66 % определяется вариацией фактора х.
Найдем величину средней ошибки аппроксимации :
%
В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 39,4 %.
Рассчитаем F-Критерий Фишера:


Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=16, F_табл = 4.49 F-критерий табличный равен 4,49; соответственно уравнение статистически значимое.

Рассчитаем t-Критерий Стьюдента:

t_крит (n-m-1;α/2) = (16;0.025) = 2.12

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.

(b - t_крит S_b; b + t_крит S_b)

(a - t_крит S_a; a + t_крит S_a)

Уравнение статистически значимо.


Рисунок 2. Поле и уравнение степенной функции

Показательная функция.
На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит показательный характер.

Показательное уравнение регрессии имеет вид y = a b^x + ε

	х	у	yx	x^2	y^2	yx	y-yx	Ai
1	4172	3,7676	15718,4317	17405584	14,1948	3,7603	0,0073	0,1927
2	4311	3,7623	16219,4840	18584721	14,1553	3,7631	-0,0008	-0,0205
3	4973	3,7816	18806,0625	24730729	14,3008	3,7764	0,0053	0,1394
4	4924	3,7582	18505,4892	24245776	14,1242	3,7754	-0,0172	-0,4565
5	4642	3,7718	17508,6640	21548164	14,2264	3,7697	0,0021	0,0544
6	4583	3,7837	17340,7788	21003889	14,3165	3,7686	0,0152	0,4006
7	4789	3,7673	18041,8336	22934521	14,1929	3,7727	-0,0053	-0,1415
8	4493	3,7458	16829,6719	20187049	14,0307	3,7668	-0,0210	-0,5608
9	4563	3,7616	17164,3048	20820969	14,1498	3,7682	-0,0065	-0,1737
10	5850	3,8126	22303,9792	34222500	14,5363	3,7939	0,0187	0,4917
11	4145	3,7737	15641,8599	17181025	14,2406	3,7598	0,0139	0,3675
12	4868	3,7657	18331,4196	23697424	14,1805	3,7743	-0,0086	-0,2274
13	4977	3,7669	18747,6933	24770529	14,1893	3,7764	-0,0096	-0,2542
14	3805	3,7456	14252,1481	14478025	14,0298	3,7530	-0,0074	-0,1966
15	4968	3,7774	18765,9683	24681024	14,2685	3,7763	0,0011	0,0294
16	4752	3,7800	17962,7327	22581504	14,2887	3,7719	0,0081	0,2142
17	5113	3,7896	19376,3785	26142769	14,3613	3,7792	0,0105	0,2763
18	7406	3,8181	28277,0477	54848836	14,5781	3,8250	-0,0069	-0,1805
Итого	87334	67,9297	329794	434065038	256,3644			-0,0454
Среднее значение	4851,8889	3,7739	18321,8860	24114724,33	14,2425			-0,0025
σ	757,560917	0,018611899
σ^2	573898,543	0,000346403

В=

А= =3.7739-0,00002*4851,8889=3,6769

Y= 2,8535+0,00002*х

Рассчитаем индекс корреляции:

Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Рассчитаем индекс детерминации:

Вариация результата на 66 % определяется вариацией фактора х.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации :
%
В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 2,5 %.
Рассчитаем F-Критерий Фишера:


Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=16, F_табл = 4.49

F-критерий табличный равен 4,49; соответственно уравнение статистически значимое.

Рассчитаем t-Критерий Стьюдента:

t_крит (n-m-1;α/2) = (16;0.025) = 2.12

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.

(b - t_крит S_b; b + t_крит S_b)

(a - t_крит S_a; a + t_крит S_a)

Уравнение статистически значимое.


Рисунок 3. Поле и уравнение показательной функции

Равносторонняя гипербола.
Гиперболическое уравнение регрессии имеет вид y = b/x + a + ε

Таблица 1.5

	z	у	yz	z^2	y^2	yx	y-yx	Ai
1	0,00024	5856	1,4036	0,000000057	34292736,0000	5968,5876	-112,5876	-1,9226
2	0,00023	5785,6	1,3421	0,000000054	33473167,3600	5964,3293	-178,7293	-3,0892
3	0,00020	6048,3	1,2162	0,000000040	36581932,8900	5947,3150	100,9850	1,6696
4	0,00020	5730,9	1,1639	0,000000041	32843214,8100	5948,4176	-217,5176	-3,7955
5	0,00022	5912,8	1,2738	0,000000046	34961203,8400	5955,2155	-42,4155	-0,7174
6	0,00022	6077,4	1,3261	0,000000048	36934790,7600	5956,7436	120,6564	1,9853
7	0,00021	5852,6	1,2221	0,000000044	34252926,7600	5951,5720	-98,9720	-1,6911
8	0,00022	5568,7	1,2394	0,000000050	31010419,6900	5959,1519	-390,4519	-7,0115
9	0,00022	5776	1,2658	0,000000048	33362176,0000	5957,2706	-181,2706	-3,1383
10	0,00017	6496	1,1104	0,000000029	42198016,0000	5930,7047	565,2953	8,7022
11	0,00024	5938,4	1,4327	0,000000058	35264594,5600	5969,4479	-31,0479	-0,5228
12	0,00021	5830,4	1,1977	0,000000042	33993564,1600	5949,7049	-119,3049	-2,0463
13	0,00020	5846,1	1,1746	0,000000040	34176885,2100	5947,2260	-101,1260	-1,7298
14	0,00026	5567,2	1,4631	0,000000069	30993715,8400	5981,3262	-414,1262	-7,4387
15	0,00020	5989,2	1,2056	0,000000041	35870516,6400	5947,4265	41,7735	0,6975
16	0,00021	6026,1	1,2681	0,000000044	36313881,2100	5952,4679	73,6321	1,2219
17	0,00020	6160,7	1,2049	0,000000038	37954224,4900	5944,2812	216,4188	3,5129
18	0,00014	6578,5	0,8883	0,000000018	43276662,2500	5910,9158	667,5842	10,1480
Итого	0,00378	107040,9	22,3984	0,000000808	637754628,4700			-5,1658
Среднее значение	0,0002	5946,7167	1,2444	0,000000045	35430812,6928			-0,287
σ	0,000027	259,564210
σ^2	0,000000001	67373,5792

В=

А= =5946.7167-551000*0.0002=5836.5167

Y= 5836.5167+551000*z

Рассчитаем индекс корреляции:

Для линейной регрессии индекс корреляции равен коэфииценту корреляции r_xy = 0.82.

Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Рассчитаем индекс детерминации:

R²= 0.899² = 0.81

Вариация результата на 81 % определяется вариацией фактора х.
Найдем величину средней ошибки аппроксимации :

%
В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 28,7%.
Рассчитаем F-Критерий Фишера:


Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=16, F_табл = 4.49

F-критерий табличный равен 4,49; соответственно уравнение статистически значимое.
Рассчитаем t-Критерий Стьюдента:

t_крит (n-m-1;α/2) = (16;0.025) = 2.12

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.

(b - t_крит S_b; b + t_крит S_b)

(a - t_крит S_a; a + t_крит S_a)

Уравнение статистически значимое.
Анализируя полученные результаты, наиболее лучшее уравнение регрессии – это равносторонняя гипербола.

Прогнозное значение результата:

Х прогнозное = 7939,45*1,1 = 8733,395

У прогнозное =

(a + bx_p ± ε)

где
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X_p = 5337
Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.

(a + bx_i ± ε)

где

t_крит (n-m-1;α/2) = (16;0.025) = 2.12
Анализ полученных результатов.

Проведя анализ полученных результатов можно сделать вывод о наличии достаточно тесной связи между рассматриваемыми признаками: прожиточным минимумом и средней пенсией Центрального федерального округа. Наиболее лучшее уравнение регрессии для исходных данных для составления прогнозных значений является уравнение равносторонней гиперболы.