задание №1 ЕГЭ профиль. Задание 1 егэ (профильная математика) Проверяемые требования (умения)
 Скачать 382.76 Kb.
|
|
Задание №1 ЕГЭ (профильная математика) Проверяемые требования (умения): уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. Требования к результатам освоения основной образовательной программы среднего общего образования, проверяемые заданиями экзаменационной работы: решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей) 1. В параллелограмме ABCD AB = 3, AD = 21, 𝒔𝒊𝒏 𝑨 = 𝟔 𝟕 . Найдите большую высоту параллелограмма. Решение: Большая высота параллелограмма проведена к меньшей его стороне. DH большая высота параллелограмма. Рассмотрим ∆ ADH: AD = 21, sin 𝐴 = 6 7 , DH – катет, противолежащий углу А. sin 𝐴 = DH 𝐴𝐷 ⇒ DH =𝐴𝐷 · sin 𝐴 = 21· 6 7 = 18. Ответ: 18. 2. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах. Решение: По условию задачи параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны a и b. Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними: S 1 = a·b·sinα. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину: S 2 = a·b. По условию площадь прямоугольника вдвое больше площади параллелограмма: S 2 = 2S 1. а·b =2 a·b·sinα ⇔ sinα = 0,5⇔ α = 30° Ответ: 30. 3. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону. Решение. ∠CBE = ∠BEA как накрестлежашие углы при пересечении параллельных прямых AD и BC секущей BE. При этом ∠ABE = ∠CBE, поскольку BE — биссектриса. Следовательно, ∠ABE = ∠BEA, тогда треугольник ABE — равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника), AE = AB = 5. Аналогично докажем, что DE = DC = 5. Следовательно, AD = AE + DE = 5 + 5 = 10. Можно воспользоваться свойством: Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Ответ: 10. 4. Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба. Решение: Так ка периметр ромба равен 200, то сторона ромба будет равна 50. (Р = 4а ⇒ а = Р:4) Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Пусть OB = 3x, тогда AO = 4x. По теореме Пифагора AO 2 + OB 2 = AB 2 , поэтому 25x 2 = 2500, откуда x = 10, d 1 = 2 · 3x = 60, d 2 = 2 · 4x = 80. Площадь ромба S = 1 2 d 1 · d 2 или S = a h S = 1 2 d 1 · d 2 = 1 2 ·60·80 = 2400 с другой стороны, S = a h=50· h получим уравнение 2400 = 50 · h, откуда h = 48. Ответ: 48. 5. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45°. Решение: Площадь трапеции 𝑆 = 𝐴𝐵+𝐶𝐷 2 ⋅ 𝐶𝐻 . AB = 6, DC = 2, CH =? Треугольник CHB — прямоугольный, ∠B = 45° значит, он также равнобедренный: CH = HB = 4. 𝑆 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 2 ⋅ 𝐶𝐻 = 4 · 4 = 16. Ответ: 16. 6. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей. Решение: Больший отрезок средней линии трапеции является средней линией треугольника ADB, а значит, равен половине его основания. ЕО = 1 2 АВ = 1 2 ·10 = 5. H 7. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию. Решение: Треугольники CFO и BEO равнобедренные, так как ∠ OCF = ∠COF= 45° и ∠ОВЕ = ∠ВОЕ = 45° Треугольники DOF и COF равны по катету и гипотенузе, следовательно, DF = FC = 1 2 DC. Аналогично AE = BE = 1 2 AB. Следовательно, средняя линия равна 1 2 (DC+AB) = FC + EB = FE = 12 Можно воспользоваться свойством: если в равнобедренной трапеции диагонали перепендикулярны, то средняя линия равна высоте трапеции. Ответ: 12. 8. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах. Решение: Из точки C хорда АВ видна под углом АCВ. Пусть большая часть окружности равна 7x, тогда меньшая равна 5x. 7x +5x =360° ⇔ 12х = 360° ⇔ х =30° Значит, меньшая дуга окружности равна 150°, а большая — 210°. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит, опирающийся на большую дугу угол АCВ равен 105°. Ответ: 105. 9. Хорда AB стягивает дугу окружности в 92°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах. Решение: Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними. Поэтому он равен 46°. Ответ: 46. 10. Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 118° и 38° 11. Ответ дайте в градусах. Решение: Угол между двумя секущими равен полуразности высекаемых ими дуг: ∠АСВ = 1 2 (ᵕАВ -ᵕDE) = 1 2 ( 118° - 38°) = 40° 12. Угол ACB равен 42°. Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 124°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах. Решение: Пусть искомый угол равен x. Тогда дуга DE, равна 2x. Угол между секущими CB и CA равен полуразности дуг AB и DE: 1 2 (124° - 2x) =42° ⇔ 62° - x = 42° ⇔ x = 20° Ответ: 20. 13. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 102°, угол CAD равен 46°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. Решение: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности равны, поэтому ∠ CDB = ∠ CAD = 46°/ Следовательно, ∠ABD =∠ABC - ∠CBD = 102° - 46°=56° О т в е т : 56. 14. Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь. Решение: Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру. Пусть площадь равна S, полупериметр равен p, радиус окружности равен R. Тогда S = p·R = 3· 1 2 ·20 = 30. О т в е т : 30. 15. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6. Решение: Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис. Так как треугольник правильный, то высота является медианой и биссектрисой. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Значит радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен одной трети высоты. Поэтому он равен 2. Ответ: 2. 16. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен √𝟑. Решение: Пусть точка О - центр окружности. Треугольник АОВ является равнобедренным с углом при вершине 60° (см. рис.), поэтому этот треугольник равносторонний. Радиус ОН вписанной в шестиугольник окружности является высотой, биссектрисой и медианой треугольника АОВ, поэтому: АВ = 2НВ = 2НО·tgHOB = 2√3·tg30° = 2 О т в е т : 2. 17. К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника. Решение: Покажем, что сумма периметров отсеченных треугольников равна сумме длин сторон треугольника АВС, то есть равна его периметру. Отрезки касательных, проведенных к окружности из точек K, H, O, F, N, M соответственно равны друг другу. Поэтому P CKM = CQ + CR, P AHO = AQ + AS, P BFN = BS + BR. Сложим правые части полученных равенств: (CQ +CR) +(AQ+AS) + (BC +BR) = AB + BC +AC = P ABC P ABC = P AOH + P KMC + P FNB = 24 О т в е т : 24. Для самостоятельного решения. 1, 2. 3. 4. 5. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 39. Найдите его большую сторону. 6. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 43. Найдите его большую сторону. 7. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 50. Найдите его большую сторону. 8. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 30. Найдите его большую сторону. 9. Диагонали ромба относятся как 5:8. Периметр ромба равен 89. Найдите высоту ромба. 10. Диагонали ромба относятся как 2:5. Периметр ромба равен 29. Найдите высоту ромба. 11. Диагонали ромба относятся как 6:7. Периметр ромба равен 170. Найдите высоту ромба. 12. Диагонали ромба относятся как 4:7. Периметр ромба равен 65. Найдите высоту ромба. 13. Основания прямоугольной трапеции равны 21 и 29. Ее площадь равна 200. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах. 14. Основания прямоугольной трапеции равны 6 и 18. Ее площадь равна 144. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах. 15. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 4 и 10, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45°. 16. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 18, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45°. 17. Основания трапеции равны 6 и 8. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей. 18. Основания трапеции равны 5 и 9. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей. 19. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 18. Найдите ее среднюю линию. 20. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 14. Найдите ее среднюю линию. 21. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 25. Найдите ее среднюю линию. 22. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 3. Найдите ее среднюю линию. 23. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 1 : 3. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах. 24. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 29 : 43. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах. 30. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5 : 13 Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах. 31. Хорда AB стягивает дугу окружности в 82°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах. 32. Хорда AB стягивает дугу окружности в 28°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах. 33. Хорда AB стягивает дугу окружности в 24° Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах. 34. Хорда AB стягивает дугу окружности в 42° Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах. 35. Угол ACB равен 51°. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 144°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах. 36. Угол ACB равен 21° Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 114° Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах. 37. Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 50. Найдите его площадь. 38. Около окружности, радиус которой равен 4, описан многоугольник, периметр которого равен 63. Найдите его площадь. 39. Около окружности, радиус которой равен 2, описан многоугольник, периметр которого равен 55. Найдите его площадь. 40. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 66. 41. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 60. 42. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 84. 43. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен 17√3. 44. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен 35√3. 45. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен 33√3. 46. К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 14, 85. Найдите периметр данного треугольника. 47. К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 10, 11, 63. Найдите периметр данного треугольника. 48. К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 7, 19, 12. Найдите периметр данного треугольника. |