Задание 2 Растяжение и сжатие. Задание 2 Расчет на прочность и жесткость стержня при центральном растяжении и сжатии
 Скачать 107.25 Kb.
|
|
Задание 2 – «Расчет на прочность и жесткость стержня при центральном растяжении и сжатии» Дан стальной стержень (модуль упругости Е = 2·105 МПа), нагруженный сосредоточенными силами F1, F2, F3. Стержень состоит из трех участков, два из которых имеют одинаковый тип и размер поперечного сечения. Требуется: Построить эпюру продольной силы Nz по длине стержня. Определить из расчета на прочность при [σ]р = [σ] с = 160 МПа размеры поперечных сечений стержня: прямоугольное поперечное сечение (h\b=2); круглое сплошное поперечное сечение. Выполнить проверку условия прочности. Построить эпюру нормальных напряжений σ по длине стержня и эпюры распределения нормальных напряжений σ по поперечным сечениям. Определить изменение длины стержня под действием внешних сил и построить эпюру перемещений поперечных сечений. Выполнить проверку условия жесткости стержня, если [Δl] = 1 мм.
  h d    F1 = 10 кН F2 = 150 кН F3 = 60 кН z l1=0,1 м l2 = 0,2 м l3 = 0,3 м Рисунок 1 – Схема ступенчатого стержня Определим реакции опор. Введем декартову систему координат. Ось z совместим с осью стержня; оси x и y расположим в плоскости поперечного сечения (рисунок 3.2, а). За положительное направление оси z выберем направление, указанное на чертеже. Под действием внешней нагрузки в жестко защемленной опоре возникает реакция опоры НА (рисунок 3.2, а), которая определяется из уравнения равновесия статики. Линия действия реакции опоры НА совпадает с осью стержня и линиями действия внешних сил F1, F2 и F3. Направление реакции опоры НА выбираем произвольно (в данном случае совпадает с направлением оси z). Спроецируем все усилия ( НА, F1, F2 и F3) на ось z: Z 0; H A F1 F2 F3 0; H A F1 F2 F3 10 150 60 80 кН . Определим продольную силу Nz на каждом участке нагружения стержня и построим эпюру. Разбиваем данный ступенчатый стержень на участки. Границам участков являются места приложения внешних сил и изменения размеров поперечного сечения. Обозначим границы участков буквами А, В, С и D, начиная от жесткой заделки. Стержень состоит из трех участков нагружения: участок АВ, участок ВС и участок СD (рисунок 1, а). Причем, участки АВ и ВС имеют одинаковые тип и размеры поперечного сечения - прямоугольное сечение; участок СD – круглое сплошное сечение. Для определения продольной силы Nz используем метод сечений: на каждом участке проведем сечение, перпендикулярное оси стержня; отбросим одну часть стержня; рассмотрим равновесие оставшейся части. Рассмотрим каждый участок в отдельности. Участок АВ (0 ≤ z1 ≤ 0,1 м) Проведем сечение I-I, перпендикулярное оси стержня, на расстоянии z1 от точки А. Отбросим правую от сечения часть стержня. Рассмотрим равновесие оставшейся левой части стержня. На левую часть стержня действует реакция опоры НА, которая направлена к проведенному сечению, следовательно, подставляем ее значение в формулу со знаком «-». Таким образом, в поперечном 1 сечении I-I возникает продольная сила NZ :  Z N 1 Fi H A 80 кН i1 (уравнение константы). Z 1 Продольная сила N участка АВ. в сечении I-I сжимающая, что означает сжатие Участок ВС, (0 ≤ z2 ≤ 0,2 м) Проведем сечение II-II на расстоянии z2 от точки В. Отбросим правую от сечения часть стержня. Рассмотрим всю левую часть стержня. На левую часть стержня действуют силы HA и F1. Сила F1 и реакция опоры HA направлены к сечению, следовательно, подставляем их значения в формулу со знаком «-». 2 Таким образом, в поперечном сечении II-II возникает продольная сила NZ :  Z N 2 Fi i1 H A F1 80 10 90 кН (уравнение константы). Z 2 Продольная сила N участка ВС. в сечении II-II сжимающая, что означает сжатие Участок CD (0 ≤ z3 ≤ 0,3 м) 3 Проведем сечение III-III на расстоянии z3 от точки D. Отбросим левую от сечения часть стержня. Рассмотрим всю правую часть стержня. На правую часть стержня действует сила F3. Сила F3 направлена от сечения, следовательно, подставляем их значения в формулу со знаком «+». Таким образом, в поперечном сечении III-III возникает продольная сила n NZ : Z N 3 Fi i1 F3 60 кН (уравнение константы). Z 3 Продольная сила N растяжение участка CD. в сечении III-III растягивающая, что означает По найденным значениям продольных сил для каждого участка строим эпюру продольных сил NZ (рисунок 1, б). Проверим правильность построения эпюры: в сечениях стержня, где приложены сосредоточенные нагрузки, на эпюре будут скачки, равные по величине приложенной сосредоточенной силе. Определим из расчета на прочность при σadmр = σadmс = 160 МПа размеры поперечных сечений стержня. Выполним проверку прочности по участкам. Построить эпюру нормальных напряжений σ по длине стержня и эпюры распределения нормальных напряжений σ по поперечным сечениям. Для определения размеров поперечных сечений используем формулу проектного расчета для определения требуемой по условию прочности площади опасного поперечного сечения. Определим сечения, в которых возникает максимальная продольная сила (опасные сечения), на каждом участке стержня. В пределах каждого участка продольная сила постоянна. Следовательно, на каждом участке все сечения равноопасны. По условию задачи участки АВ и ВС имеют одинаковые тип и размеры поперечного сечения. На участке ВС продольная сила по абсолютному значению больше, чем на участке АВ. Поэтому расчет требуемой площади поперечного сечения будем вести по участку ВС. Участок ВС (0 ≤ z2 ≤ 0,2 м) Участок ВС по условию задачи имеет прямоугольное поперечное сечение со сторонами b и h, причем h\b=2. Требуемая площадь поперечного сечения из условия прочности равна: A  тр . 2 [ ] Площадь прямоугольника с учетом условия задачи определяется по формуле: А b h b 2b 2b2. Откуда находим, что
   b 0,0168 м 1,68 см. Назначаем b = 1,7 см. Из заданного соотношения сторон прямоугольного сечения (h\b=2), находим, что: h 2b 2 1,7 3,4 см. Определим нормальные напряжения при назначенных размерах поперечного сечения стержня на участке ВС, учитывая, что фактическая площадь 2 поперечного сечения определяется по формуле Аф 2b2 : ВС NZ2 A ф 2 NZ2 2b2 90 103 2 1,72 104 15,57 107 Н м2 155,7 МПа (уравнение константы). max Так как все сечения в пределах участка ВС равноопасны, то σВС = σ р. Выполним проверку условия прочности: р ; max adm 155,7 МПа < 160 МПа.   Недогрузка стержня на участке ВС составляет:[ ] 100 % 160 100 % 2,7 %. Недогрузка не превышает 5 %, следовательно, условие прочности на участке ВС выполняется. Участок АВ (0 ≤ z1 ≤ 0,1 м) Определим нормальные напряжения при назначенных размерах поперечного сечения стержня на участке АВ, учитывая, что фактическая площадь 1 поперечного сечения определяется по формуле Аф 2b2 : АВ NZ1 A ф 1 80 103 2 1,72 104 13,84 107 Н 138,4 МПа м 2 (уравнение константы). max Так как все сечения в пределах участка равноопасны, то σАВ = σ р. Выполним проверку условия прочности: р ; max adm 138,4 МПа < 160 МПа. Недогрузка стержня на участке АВ составляет: [ ] 100 %   160100 % 13,5 %. Участок СD (0 ≤ z3 ≤ 0,3 м) Участок СD по условию задачи имеет круглое сплошное поперечное сечение диаметром d. Требуемая площадь поперечного сечения из условия прочности равна: A  тр . 3 [ ] Площадь сплошного круглого сечения определяется по формуле: Откуда находим, что   d d 2 А . 4
 0,0219 м 2,19 см. Назначаем d = 2,2 см. Определим нормальные напряжения при назначенных размерах поперечного сечения стержня на участке СD, учитывая, что фактическая площадь поперечного сечения определяется по формуле ф d 2 А3 4 : CD NZ3 N 3 Z ф 4 60 103 2 4 15,79 107 Н 157,9 МПа  (уравнение A3 константы). d 2 4 3,14 2,2 10 м max Так как все сечения в пределах участка равноопасны, то σСD = σ р. Выполним проверку условия прочности: р ; max adm 157,9 МПа < 160 МПа. Недогрузка стержня на участке СD составляет:   100 % 157,9 160 100 % 1,3 %.[ ] 160 Недогрузка не превышает 5 %, следовательно, условие прочности на участке СD выполняется. По найденным значениям нормальных напряжений на каждом участке строим эпюру распределения нормальных напряжений σ по длине стержня (рисунок 1, в). Для опасных сечений строим эпюру распределения нормальных напряжений по сечению (рисунок 1, г). Участок ВС более нагружен, чем участок АВ, следовательно, любое сечения на участке ВС более опаснее; поэтому эпюра распределения нормальных напряжений по высоте поперечного сечения строится на этом участке. Из эпюры нормальных напряжений по длине стержня следует, что наибольшие нормальные напряжения возникают на участке СD: CD max 157,9 МПа. Условие прочности стержня выполняется: 157,9 МПа <160 МПа. Определим изменение длины заданного стержня под действием внешних сил и построим эпюру перемещений поперечных сечений. Выполним проверку условия жесткости. Абсолютная деформация участка стержня определяется по формуле: l N dz l z . 0 EAz Составим уравнения изменения длины (абсолютной деформации) каждого участка, учитывая, что ф 2 ; ф 2 ; ф d 2 . А1 2b А2 2b А3 4 A 1 Участок АВ (0 ≤ z1 ≤ 0,1 м) z1 N dz z1 H dz H z H z Z1 A l 1 (уравнение наклонной 1 E Aф E Aф E Aф E 2 b2 1 A 1 0 прямой). 1 0 1 1 Определим значение абсолютной деформации в граничных сечениях данного участка: при z1 0 l1 0; 80 103 0,1 4 при z1 l1 0,1 м l1 2 1011 2 1,7 2 104 0,69 10 м 0,069 мм. Участок ВС (0 ≤ z2 ≤ 0,2 м) z2 N dz z2 (H F ) dz (Н F ) z (H F ) z Z2 2 l (уравнение 2 E Aф E Aф Е Аф E 2 b2 A 1 2 А 1 2 A 1 2 0 2 0 2 2 наклонной прямой). Определим значение абсолютной деформации в граничных сечениях данного участка: при z2 0 l2 0; (80 10) 103 0,2 4 при z2 l2 0,2 м l2 2 1011 2 1,72 104 1,56 10 м 0,156 мм. Участок СD (0 ≤ z3 ≤ 0,3 м) z3 N dz z3 F dz F z F z 3 E Aф E Aф E Aф d 2 l 0 Z3 3 3 3 3 0 3 3 3 3 3 3 E 4 (уравнение наклонной прямой). Определим значение абсолютной деформации в граничных сечениях данного участка: при z3 0 l3 0; при z3 l3 0,3 м l3 60 103 0,3 2 10 11 3,14 2,22 4 104 2,37 104 м 0,237 мм. Для определения изменения длины стержня вычислим перемещения граничных сечений. Просуммируем абсолютные деформации участков стержня, начиная от заделки. Тогда перемещение граничных сечений будут соответственно равны: - для сечения А: ∆lА = 0 (т.к. точка А находится в заделке); - для сечения В: ∆lВ = ∆lА +∆l1 = 0 - 0,069=-0,069 мм; - для сечения С: ∆lС = ∆lВ + ∆l2 = - 0,069 - 0,156 = - 0,225 мм; ф ф ф - для сечения D: ∆lD = ∆lС + ∆l3 = - 0,225 + 0,237 = 0,012 мм. Абсолютная деформация стержня составляет: n n N l1 N dz l2 N dz l3 N dz ф l li Zi E A Z1 1 E A Z2 2 E A Z3 3 E A i1 li i1 li i 0 1 0 2 0 3 l1 l2 l3 0,069 0,156 0,237 0,012 мм. По вычисленным значениям перемещений граничных сечений строим эпюру перемещений поперечных сечений стержня ∆l (рисунок 3.2, д). Выполним проверку условия жесткости: l ladm, 0,012 мм < 1 мм. Условие жесткости стержня выполняется. HА = 80 кН a) А h I  
 F1 = 10 кН В d II F2 = 150 кН С III F3 = 60 кН D l1=0,1 м z1 I l2 = 0,2 м z2 II l3 = 0,3 м z3 III б) 0 80 Эпюра Nz, кН 60 0 90 Эпюра σ, МПа 157,9 в) 0 138,4 0 155,7 Эпюра σ, МПа Эпюра σ, МПа 0 0 h = 3,4 см 155,7 d = 2,2 см 157,9 г) b=1,7 см 0 0 д) 0 0,069 Эпюра Δl, мм 0,225 0,012 0 Рисунок 1 – Эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений стержня. | ||||||||||||||||||||||||