Контрольная работа по математике ТУСУР. Контольная работа 2.1. Задание Найти предел последовательности Решение

• Название: Задание Найти предел последовательности Решение
• Анкор: Контрольная работа по математике ТУСУР
• Дата: 18.02.2022
• Размер: 47.25 Kb.
• Имя файла: Контольная работа 2.1.docx
• Тип: Решение; #366573

Задание 1. Найти предел последовательности: .

Решение:

1. 
   Исходная последовательность является рациональной дробью, поэтому ее предел определяется как отношение коэффициентов при старших степенях .
   

Задание 2. Найти предел последовательности: .

Решение:

1. 
   Непосредственное применение предела к исходной последовательности дает неопределенность типа . Преобразуем исходную последовательность так, чтобы избавиться от этой неопределенности, а именно умножим и разделим общий член последовательности на выражение: , тогда в числителе получим разность квадратов и проведем преобразования:
   

2. 
   Теперь под знаком предела находится рациональная дробь, ее предел равен коэффициентам при старшей степени в числителе и знаменателе. В числителе имеем , в знаменателе – , кроме того, учтем, что в знаменателе выражение содержит сумму корней, следовательно:
   

Задание 3. Найти предел последовательности: .

Решение:

1. 
   Приведем исходную последовательность к виду: , предел которой, как мы знаем, при любом равен . Для этого разделим на почленно числитель:
   

2. 
   Сделаем замену , тогда:
   

3. 
   Под знаком внешней степени находится предел числа . Сам показатель внешней степени представляет собой рациональную дробь, предел которой также можно определить:
   

=

Задание 4. Написать в простейшей форме общий член ряда: .

Решение:

1. 
   Распишем заданные члены ряда, выделяя в их выражениях номер члена:
   

, откуда общий член: .

Задание 5. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

.

Решение:

1. 
   Сравним исходный ряд с геометрическим рядом при , то есть с рядом , откуда имеем , .
   

Так как геометрический ряд сходится, и каждый член исходного ряда меньше его членов, то на основании признака сравнения делаем вывод, что исходный ряд сходится. Ответ: исходный ряд сходится.

Задание 6. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

.

Решение:

1)Найдем предел отношения -го и -го членов:



=

Поскольку α меньше 1, то ряд расходится.

Задание 7. Вычислить какое число членов ряда надо взять, чтобы получить его сумму с точностью до 0,01: .

Решение:

1. 
   Покажем сходимость данного ряда, применяя признак Лейбница:
   

. Для этого вычислим несколько первых членов ряда и покажем, что они убывают по абсолютной величине:

>... Так как знаменатель увеличивает свое значение, величина дроби уменьшается. Отсюда, согласно признаку Лейбница, исходный ряд является сходящимся.

2. 
   По следствию теоремы Лейбница имеем , где . По условию . Запишем более сильное неравенство: , или
   

Задание 8. Исследовать сходимость ряда и, если он сходится, установить абсолютно или условно: .

Решение:

Установим сходимость ряда по признаку Лейбница:

1)вычислим предел общего члена:



2) запишем несколько членов последовательности и убедимся, что они убывают по абсолютной величине: , значит, по признаку Лейбница, ряд сходится.

Ряд будет абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из его абсолютных величин: .

3. 
   По признаку Даламбера:
   

, то

Поскольку α больше 1, то ряд сходится.

4. 
   При сравнении с геометрическим рядом при a=2 и q=1/2 следует вывод об абсолютной сходимости рассматриваемого ряда, т.к.:
   

, то есть .