Занятие Расчет погрешностей результатов измерений
 Скачать 0.87 Mb.
|
1 Практическое занятие № Расчет погрешностей результатов измерений Правила округления результатов и погрешностей измерений. Результат измерения округляют до того же десятичного знака, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности. Лишние цифры в целых числах заменяют нулями. Если десятичная дробь в числовом значении результата измерений оканчивается нулями, тонули отбрасывают до того разряда, который соответствует разряду числового значения погрешности Пример. Результат 4,0800, погрешность 0,001. Решение. Результат округляют до 4,080 2. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то остальные цифры числа не изменяют. Лишние цифры в целых числах заменяют нулями, а в десятичных дробях отбрасывают. Пример. Число 174437 при сохранении четырех значащих цифр должно быть округлено до 174400, число 174,437 — до 174,4. 3. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов больше или равна 5, но за ней следуют отличные от нуля цифры, то последнюю сохраняемую цифру увеличивают на единицу. Пример. При сохранении трех значащих цифр число 12567 округляют до 12600, число до 126. 4. Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней — неизвестны или нули, то последнюю сохраняемую цифру не изменяют, если она четная, и увеличивают на единицу, если она нечетная. Пример. Число 232,5 при сохранении двух значащих цифр округляют до 232, а число 233,5 до 234. 5. Погрешность результата измерения указывают двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной — если первая цифра равна 3 или более. 6. Округление результатов измерений производят лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с одним-двумя лишними знаками Если руководствоваться этими правилами округления, то количество значащих цифр в числовом значении результата измерений дает возможность ориентировочно судить о точности измерения. Это связано стем, что предельная погрешность, обусловленная округлением, равна половине единицы последнего разряда числового значения результата измерения. Погрешности измерений: Основная задача физических измерений состоит в том, чтобы дать оценку истинного значения измеряемой величины и определить погрешность измерения. Результаты измерений принято записывать в следующей форме: Х изм = Х, (где Х изм – измеряемая физическая величина, Х – оценка её истинного значения, x - абсолютная погрешность. АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ – отклонение результата измерения Хот истинного значения Хи измеряемой величины: и Х Х (1.2) О точности измерения удобно судить по относительной погрешности. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ – отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины: % 100 и Х (Если абсолютная погрешность измерения неизвестна, то относительная погрешность равна 2 1 10 1 2 1 n m , (где α m – это первая значащая цифра числа a, n – общее число значащих цифр в этом числе. ПРИВЕДЕНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ – отношение абсолютной погрешности измерительного прибора к нормирующему значению Х. Приведенную погрешность также выражают в процентах % 100 % 100 Н В N Х Х Х . (ТОЧНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ – качество измерения, отражающее близость его результата к истинному значению измеряемой величины. и Х (1.6) ПОПРАВКА – равна систематической погрешности по величине и обратна ей по знаку Х = Х п + , где Х п – значение ФВ снятое с прибора. Пример поправки: Поправка линейки, связанная с изменением температуры где t – температура измерения, температура компарирования (сравнение с эталоном длина измерения объекта. ЦЕНА ДЕЛЕНИЯ ШКАЛЫ: N Х С к , (где Сцена деления Х к – конечное значение N – полное число делений на шкале прибо- ра. n С X , (где n – порядковый номер деления. Формулы для оценки абсолютной и относительной погрешности для значения функции и переменных 3 Задачи. Температура в масляном термостате измеряется образцовым палочным стеклянным термометром и поверяемым парогазовым термометром. Первый показал 111 С, второй С. Определите истинное значение температуры, погрешность поверяемого прибора, поправку к его показаниями оцените относительную погрешность термометра. Дано: t 1 = 111 С 110 °С Решение: 1. Истинное значение – это показания образцового прибора, те. t = 111 С. 2. Погрешность поверяемого прибора Δ=t д -t и, где д – действительное значение, и – истинное значение 110 С – 111 С = –1 С. Поправка – это погрешность измерения, взятая с обратным знаком ∇x = +1 С. Относительная погрешность термометра: % 9 , 0 % 100 и t % 9 , 0 % 100 111 111 110 0 0 0 С С С Ответ: t = 111 С ; Δ= – 1 С ; ∇= +1 С ; δ = 0,9%. Найти: t и , Δ, ∇, δ 1.2. Погрешность измерения одной и той же величины, выраженная в долях этой величины для одного прибора 2 10 -3 – для другого. Какой из этих приборов точнее? Дано: Δ 1 = 1·10 -3 Δ 2 = Решение Точности характеризуются значениями, обратными погрешностям, и Х т.е. для первого прибора это 1/(1 10 -3 ) = 1000, для второго 1/(2 10 -3 ) = 500; 1000 500. Следовательно, первый прибор точнее второго в 2 раза. Ответ точнее первый. Найти: 2 1 / 1.3. Определите действительное значение тока I в электрической цепи, если стрелка миллиамперметра отклонилась на n= 37 делений, его цена деления С = 2 мА/дел., а поправка для этой точки = −0,3 мА. Определите абсолютную погрешность измерения постоянного тока амперметром, если он вцепи с образцовым сопротивлением 5 Ом показал ток 5 А, а при замене прибора образцовым амперметром для получения тех же показаний пришлось уменьшить напряжение на 1 В Найти относительную погрешность произведения двух приближенных чисел a = 6,32 и b = 0,783. 1.6. Определите суммарное сопротивление двух последовательно соединенных образцовых катушек сопротивления при R 1 = (10 ± 0,05); R 2 = (1 ± 0,02) Ом Найти относительную погрешность функции 1.8. Частоту вращения двигателя (12 Гц) вычисляют по результатам измерения количества оборотов за определенный интервал времени. Устройство, считающее количество оборотов, не позволяет измерять угол поворота вала двигателя. Рассчитайте необходимый интервал времени измерения, чтобы погрешность измерения частоты не превышала Гц (погрешностью измерения времени пренебречь 4 1.9. Выравнивание температуры термометра и человеческого тела происходит по экспоненциальному закону с постоянной времени 1 минута. Оцените максимально допустимую абсолютную погрешность, если измерение выполняют за 3 минуты при температуре окружающей среды 20 СВ электрическом сигнале обнаружена помеха от сети 220 В 50 Гц: ) 2 sin( ) ( 0 t f A U t U , где U 0 – постоянное электрическое напряжение, 45 В A – величина помехи от сети, 84 мВ f – частота, 50 Гц φ– фаза, 1 рад. Определите относительную погрешность мгновенного однократного измерения напряжения. 1.11. Для уменьшения субъективной погрешности определения периода вращения электродвигателя проводят измерение времени совершения нескольких оборотов. Частота вращения электродвигателя 1,5 Гц, а реакция человека при нажатии на секундомер составляет с. По какому количеству оборотов необходимо проводить измерение периода, чтобы его относительная погрешность не превышала 0,5 %? При каком количестве оборотов субъективной погрешностью можно пренебречь, если относительная инструментальная погрешность секундомера составляет 0,1%? Дано v= 1 Гц t=0,22 с δ=0,2 % Решение То есть на 1 секунду приходится 1.5 оборота, тогда на 0.22 секунды приходится оборота. → (оборотов) (оборота) Ответ n=66 оборотов n=33 оборота. Найти: n 1 , n 2 1.12. Вольтметр имеет абсолютную погрешность Δ = ±0,1 В, из-за влияния температуры имеется дополнительная погрешность ϴ = 0,06 B. Определите суммарную погрешность. Задачи для самостоятельной работы Каждый студент должен решить одну задачу. Номер задачи соответствует номеру варианта в списке группы 1. Определите относительную погрешность измерения вначале шкалы (для 30 делений) для прибора с абсолютной погрешностью равной 0,5, имеющего шкалу 100 делений. Насколько эта погрешность больше погрешности на последнем – сотом делении шкалы прибора. Используя линейку с максимальной длиной 30 см, измерили два объекта контроля l 1 = 12 мм и l 2 = 255 мм. Измерение какого объекта более точное Ответ обоснуйте математическим неравенством. При измерении времени в беге нам использовался электронный секундомер с относительной инструментальной погрешностью 0.2 %. Ответьте, можно ли говорить о том, что показанный результат 8,70 с является новым рекордом, если время действующего рекорда было равно (8,745 ± 0.001) с. Ответ обоснуйте математическим неравенством. На бензоколонке заливают бензин с абсолютной систематической погрешностью Δ = – 0,1 л при каждой заправке. Вычислите относительные погрешности, возникающие при покупке 16 лил бензина. Определите выгоду от приобретения в течение года 1360 литров по цене 18 руб./л при покупках пол по сравнению с покупкой пол. При измерении длины используется метровая линейка с коэффициентом линейного расширения α = 10 -5 м/ºС. Вычислите дополнительные максимальные абсолютные погрешности линейки, связанные с изменением температуры в диапазоне от –40 до +40 С, если линейка была изготовлена при температуре +20 СВ цепь с сопротивлением R = 49 Ом и источником тока с Е = 10 В и R вн = 1 Ом включили амперметр сопротивлением R = 1 Ом. Определите показания амперметра и вычислите относительную погрешность его показания, возникающую из-за того, что амперметр имеет определенное сопротивление, отличное от нуля классифицируйте погрешность К зажимам элементов с Е = 10 В и r = 1 Ом подсоединим вольтметр с сопротивлением и = 100 Ом. Определите показания вольтметра и вычислите абсолютную погрешность его показания, возникновение которой обусловлено тем, что вольтметр имеет не бесконечно большое сопротивление классифицируйте погрешность. Какое средство измерения толщины изделия с волнистостью 0,035 мм является оптимальным для однократного измерения штангенциркуль (цена деления 0,05 мм) или микрометр (цена деления 10 мкм Ответ обоснуйте математическим неравенством Измеряется мощность трехфазного тока двумя ваттметрами. Какова наибольшая погрешность измерения, если стрелка первого ваттметра показывает 120 делений и погрешность этого прибора не более 0,5%, а стрелка второго ваттметра показывает 40 делений и погрешность прибора 1%. 10. Сигнал точного времени раздался в 12 ч 00 мин. При этом часы показали 12 ч 05 мин. Найдите абсолютную и относительную погрешности часов. 11. Определить относительную и приведенную погрешности вольтметра, если его диапазон измерений от –12 В до +12 В, значение поверяемой отметки шкалы равно 8 В. Действительное значение измеряемой величины 7,97 В. 12. Штангенциркулем (цена деления 0,01 мм) и линейкой (цена деления 1 мм) проведены измерения длины детали 25,35 мм и 26 мм, соответственно. Различаются лире- зультаты измерений 13. Номинальное напряжение в электрической сети 220 В, имеющее отклонение ± 10%. Необходимо ли скорректировать величину напряжения, если измеренное значение равно 199 В Ответ обоснуйте математическим неравенством Датчик путейской координаты ультразвукового дефектоскопа представляет собой катящийся по рельсу ролик известного диаметра. В результате измерения количества оборотов ролика длина одной плети бесстыкового пути оказалась равной 968 м. Оцените абсолютную погрешность измерения, если из-за износа диаметр ролика уменьшился до 98 % первоначального размера. При определении диаметра ведущего валика ручных часов допущена ошибка 5 мкм, а при определении расстояния до Луны допущена ошибка 5 км. Какое из этих двух измерений точнее Диаметр часового вала d=0,5 мм, расстояние до Луны 384300 км |